Sejam $m,n\in\N$ primos entre si e sejam $r_m\in\{0,\ldots,m-1\}$ e $r_n\in\{0,\ldots,n-1\}$. Existe um único inteiro $a$ entre $0$ e $mn-1$ tal que o resto de $a$ quando dividido por $m$ é $r_m$ e o resto de $a$ quando dividido por $n$ é $r_n$, respetivamente.
Seja $a\in\{0,\ldots,mn-1\}$ e escreva $a=q_mm+r_m=q_nn+r_n$ onde $r_m\in\{0,\ldots,m-1\}$ e $r_n=\{0,\ldots,n-1\}$. Defina a aplicação $\psi$ na seguinte forma:
\begin{align*}
\psi&:\{0,\ldots,mn-1\}\to \{0,\ldots,m-1\}\times\{0,\ldots,n-1\}\\
a&\mapsto(r_m,r_n).
\end{align*}
A afirmação do teorema é equivalente à afirmação que $\psi$ é bijetiva e é isso que nos vamos provar. Como o domínio e o codomínio de $\psi$ têm a mesma cardinalidade, precisamos provar apenas que $\psi$ é injetiva. Assuma que $a_1,a_2\in\{0,\ldots,mn-1\}$ tais que $a_1\leq a_2$ e
\[
\psi(a_1)=\psi(a_2)=(r_m,r_n).
\]
Isso implica que
\[
a_1=q_1m+r_m=q_2n+r_n\quad \mbox{e}\quad a_2=q_3m+r_m=q_4n+r_n
\]
com alguns $q_1,q_2,q_3,q_4\in\Z$. Daqui obtemos que
\[
a_2-a_1=(q_3-q_1)m=(q_4-q_2)n
\]
e $n\mid a_2-a_1$ e $m\mid a_2-a_1$. Lembrando que $\mdc mn=1$, isso implica que $mn\mid a_2-a_1$. Mas $0\leq a_2-a_1 < mn$, e assim $a_2-a_1=0$; ou seja $a_2=a_1$. Assim obtemos que nossa função $\psi:a\mapsto (r_m,r_n)$ é injetiva e precisa ser bijetiva.
\begin{align*}
\psi&:\{0,\ldots,mn-1\}\to \{0,\ldots,m-1\}\times\{0,\ldots,n-1\}\\
a&\mapsto(r_m,r_n).
\end{align*}
A afirmação do teorema é equivalente à afirmação que $\psi$ é bijetiva e é isso que nos vamos provar. Como o domínio e o codomínio de $\psi$ têm a mesma cardinalidade, precisamos provar apenas que $\psi$ é injetiva. Assuma que $a_1,a_2\in\{0,\ldots,mn-1\}$ tais que $a_1\leq a_2$ e
\[
\psi(a_1)=\psi(a_2)=(r_m,r_n).
\]
Isso implica que
\[
a_1=q_1m+r_m=q_2n+r_n\quad \mbox{e}\quad a_2=q_3m+r_m=q_4n+r_n
\]
com alguns $q_1,q_2,q_3,q_4\in\Z$. Daqui obtemos que
\[
a_2-a_1=(q_3-q_1)m=(q_4-q_2)n
\]
e $n\mid a_2-a_1$ e $m\mid a_2-a_1$. Lembrando que $\mdc mn=1$, isso implica que $mn\mid a_2-a_1$. Mas $0\leq a_2-a_1 < mn$, e assim $a_2-a_1=0$; ou seja $a_2=a_1$. Assim obtemos que nossa função $\psi:a\mapsto (r_m,r_n)$ é injetiva e precisa ser bijetiva.