1. O Teorema de Wilson afirma que um número natural $n\geq 2$ é primo se e somente se $(n-1)!\equiv -1\pmod n$. Demonstre Wilson’s Theorem.
2. Mostre, usando o Teorema de Fermat, que $2^{70}+3^{70}$ é divisível por 13.
3. Mostre que a equação $x^{13}+12x+13y^6=1$ não admite soluções inteiras. [Dica: reduze módulo 13 e use o Pequeno Teorema de Fermat.]
4. Seja $a$ um número inteiro escrito na base $10$. Mostre que o último algarismo de $n$ é igual ao último algarismo de $n^5$.
5. Seja $p=4k+3$ um primo e considere a equação $\overline x^2= \overline a$ sobre $\mathbb Z_p$. Mostre que se a equação possui solução, então $a^{k+1}$ e $-a^{k+1}$ serão soluções.
6. (Olímpiada de Matemática de Paraguay, 2009). Conte os números $n$ entre
$1$ e $2022$ tal que o último dígito de $n^{20}$ é 1.
[Dica: Use o Teorema de Euler para caraterizar os números $n$ para os quais o último dígito de $n^{20}$ é 1 veja também o vídeo de Michael Penn.