$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$1. Determine as classes invertíveis e os quadrados em $\Z_{12}$ e em $\Z_{18}$. Calcule os inversos nos dois casos.
2. Resolva as seguintes congruências:
- $4x\equiv 3\pmod 4$;
- $3x+2\equiv 0\pmod 4$;
- $2x-1\equiv 7\pmod {15}$.
3. Ache um elemento de $\overline a\in\Z_{34}$ de mode que todo elemento invertível de $\Z_{34}$ é uma potência de $\overline a$.
4. Considere o seguinte programa na linguagem C:
#include <stdio.h>
int main( )
{ unsigned char a;
a = 250;
printf( "o valor de a eh %d\n", a );
a = a+48;
printf( "o valor de a + 48 eh %d\n", a );}
O que vai ser o resultado deste programa sabendo que uma variável de tipo unsigned char ocupa um byte na memória e é considerado como um número não negativo? Explique o comportamento usando aritmética modular.
5. Resolva as seguintes congruências quadráticas:
- $3x^2\equiv 10\pmod {13}$;
- $3x^2\equiv 7\pmod {13}$;
- $5x^2 \equiv 8\pmod{12}$.
6. Implemente em uma linguagem de programação o algoritmo apresentado na seção 2 da apêndice do livro de Coutinho para calcular potências módulo $n$. O programa deverá ter como entrada $a$, $k$, e $n$ onde $a$ é um inteiro e $k$ e $n$ são inteiros positivos. A saída deverá ser o resto de $a^k$ módulo $n$.
7. Um elemento de $\Z_n$ é dito elemento primitivo se todo elemento não nulo de $\Z_n$ pode ser escrito como uma potência de $\Z_n$.
- Ache elementos primitivos em $\Z_3$, $\Z_5$, $\Z_7$, $\Z_{11}$.
- Mostre que se $\Z_n$ possui elemento primitivo, então $n$ é primo.