1. Seja $n$ um número natural tal que $n$, $n+2$ e $n+4$ são primos. Mostre que $n=3$.
2. Seja $A=\{4n+1\mid n\in\mathbb Z\}$ e $B=\{4n-1\mid n\in\mathbb Z\}$. Mostre que
- se $a,b\in A$, então $ab\in A$;
- se $a\in A$ e $b\in B$, então $ab\in B$;
- se $a,b\in B$, então $ab\in A$.
3. Mostre que existem infinitos primos no conjunto $B$ do exercício anterior.
[Dica: Use o raciocínio da demonstração do teorema sobre a infinitude dos primos.]
4. Mostre que $\sqrt 2$ não é um número racional.
[Dica: Assuma que $\sqrt 2=a/b$ com $a,b\in\mathbb N$ e use o Teorema da Fatoração para obter uma contradição.]
No seguinte exercício, precisamos do conceito de mmc (menor múltiplo comum) de dois números inteiros. Assuma que $a,b\in\mathbb Z\setminus\{0\}$. Dizemos que um número $m$ é mmc de $a$ e $b$ se
- $m\geq 0$;
- $a|m$ e $b|m$;
- se $c\in \mathbb Z$ tal que $a|c$ e $b|c$, então $m|c$.
5. Sejam $a$ e $b$ números naturais com $a,b\geq 2$ e assuma que
\[
a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\quad\mbox{e}\quad p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k}
\]
onde os $p_i$ são primos mutualmente distintos e $\alpha_i,\beta_i\geq 0$. Mostre que
- $\mbox{mdc}(a,b)= p_1^{\min\{\alpha_1,\beta_1\}}\cdots p_k^{\min\{\alpha_k,\beta_k\}}$;
- $\mbox{mmc}(a,b)= p_1^{\max\{\alpha_1,\beta_1\}}\cdots p_k^{\max\{\alpha_k,\beta_k\}}$.
- $\mbox{mdc}(a,b)\cdot \mbox{mmc}(a,b)=a\cdot b$.
6. Defina para $n\in\mathbb N$,
\[
\pi(n)=|\{k\in\{2,\ldots,n\}\mid k\mbox{ é primo}\}|.
\]
Sabe-se pelo Teorema do Número Primo que
\[
\lim_{n\to\infty} \pi(n)/(n/\log n)=1.
\]
Escreva um programa em uma linguagem computacional que consegue determinar o valor de $\pi(n)$ para números grandes ($n\geq 10^6$) e calcule os valores de $\pi(n)/(n/\log n)$ para alguns números $n$.