$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$1. Sejam $a,\ b,\ c\in\Z$. Demonstre as seguintes afirmações ou dê contraexemplo:
- se $ac\mid bc$, então $a\mid b$;
- se $a\mid b$ e $a\mid c$, então $a\mid (b-c)$;
- se $c\mid (a+b)$, então $c\mid a$ ou $c\mid b$;
- se $a\mid b$, então $a\mid xb$ para todo $x\in\Z$.
2. Sejam $a,\ b,\ n\in \Z$ tais que $n\geq 2$. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
- $n\mid (a-b)$;
- os restos de $a$ e $b$, quando divididos por $n$, são iguais.
3. Sejam $a,b,c\in\Z$. Mostre que
- $\mbox{mdc}(ac,bc)=c\cdot \mbox{mdc}(a,b)$.
- $\mbox{mdc}(a/d,b/d)=1$ onde $d=\mbox{mdc}(a,b)$.
4. Sejam $a, b\in \Z$ tais que existem $u,\ v\in\Z$ com $ua+vb=1$. Mostre que $\mbox{mdc}(a,b)=1$.
5. Sejam $a,\ b,\ u,\ v\in\Z$ e $d\in\mathbb N$ tais que $d=ua+vb$. É verdade que
$d=\mbox{mdc}(a,b)$? Justifique.
6. Mostre que dois números naturais consecutivos são primos entre si (ou seja, seu mdc é 1).
7. Mostre para todo $k\in\Z$ que $\mbox{mdc}(4k+3,5k+4)=1$.