Exercícios 2

$$1. Sejam $a,b,c\in \mathbb{Z}$. Demonstre as seguintes afirmações ou dê contraexemplo:

1. se $ac\mid bc$, então $a\mid b$;
2. se $a\mid b$ e $a\mid c$, então $a\mid (b-c)$;
3. se $c\mid (a+b)$, então $c\mid a$ ou $c\mid b$;
4. se $a\mid b$, então $a\mid xb$ para todo $x\in \mathbb{Z}$.

2. Sejam $a,b,n\in \mathbb{Z}$ tais que $n\ge 2$. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:

1. $n\mid (a-b)$;
2. os restos de $a$ e $b$, quando divididos por $n$, são iguais.

3. Sejam $a,b,c\in \mathbb{Z}$. Mostre que

1. $\text{mdc}(ac,bc)=c\cdot \text{mdc}(a,b)$.
2. $\text{mdc}(a/d,b/d)=1$ onde $d=\text{mdc}(a,b)$.

4. Sejam $a,b\in \mathbb{Z}$ tais que existem $u,v\in \mathbb{Z}$ com $ua+vb=1$. Mostre que $\text{mdc}(a,b)=1$.

5. Sejam $a,b,u,v\in \mathbb{Z}$ e $d\in \mathbb{N}$ tais que $d=ua+vb$. É verdade que
$d=\text{mdc}(a,b)$? Justifique.

6. Mostre que dois números naturais consecutivos são primos entre si (ou seja, seu mdc é 1).

7. Mostre para todo $k\in \mathbb{Z}$ que $\text{mdc}(4k+3,5k+4)=1$.