$\newcommand{\C}{\mathbb C}$Assuma nesta página que $G$ é um grupo finito, $\chi_1,\ldots,\chi_k$ são os caracteres de $G$ irredutíveis e os graus destes caracteres são $n_1,\ldots,n_k$, respetivamente; ou seja, $1\chi_i=n_i$ para todo $i$.
Seja $V=\C G$ considerado como um $G$-módulo seja $\varrho$ o caracter correspondente. O conjunto $G$ é uma base de $V$ e
\[
g\varrho=|\{h\in G\mid hg=h\}|.
\]
Obtemos a seguinte lema.
Teorema.
\[
g\varrho=\left\{\begin{array}{cl} |G| & \mbox{se $g=1$};\\
0 & \mbox{se $g\neq 1$}\end{array}\right.
\]
e
\[
\varrho=\sum_{i=1}^k n_i\chi_i.
\]
Em particular,
\[
\sum_{i=1}^k n_i^2=|G|.
\]
Demonstração. A primeira afirmação segue da observação antes do teorema. Para provar a segunda afirmação, lembre que pelo Teorema de Maschke, $\C G$ é uma soma direta de $G$-módulos simples. Portanto
\[
\varrho=\alpha_1\chi_1+\cdots+\alpha_k\chi_k
\]
com alguns coeficientes $\alpha_i\geq 0$. Como $\chi_1,\ldots,\chi_k$ é um sistema ortonormal,
\[
\alpha_i=\left<\varrho,\chi_i\right>=\frac 1{|G|}\sum_{g\in G}(g\varrho)\overline{(g\chi_i)}=\frac 1{|G|}|G| n_i=n_i.
\]
A última afirmação segue calculando
\[
|G|=\dim \C G=1 \varrho=\sum_{i=1}^k n_i(1\chi_i)=\sum_{i=1}^k n_i^2.
\]
Teorema. Os caracteres $\chi_1,\ldots,\chi_k$ formam uma base ortonormal do espaço de funções
\[
W=\{f\in\mbox{Func}(G,\C)\mid (g^x)f=gf\mbox{ para todo }g,x\in G\}.
\]
Em particular, o número de $\C$-representações irredutíveis de dimensão finita de $G$ é igual ao número das classes de conjugação de $G$.
Antes de provar o teorema, provaremos o seguinte lema.
Lema. Seja $f\in W$, e seja $\sigma$ uma representação irredutível de $G$ em $V$ com caracter $\chi$. Então
\[
\sigma_f=\sum_{g\in G} (gf)(g\sigma)=\left(\frac{|G|}{1\chi}\left<f,\overline \chi\right>\right)\cdot\mbox{id}.
\]
Demonstração. Note que $\sigma_f\in\mbox{End}_{\C}(V)$.
Verificamos primeiro que $\sigma_f(h\sigma)=(h\sigma)\sigma_f$, ou seja $\sigma_f\in \mbox{End}_{G}(V)$. De fato
\begin{align*}
(h\sigma)^{-1}\sigma_f(h\sigma)&=\sum_{g\in G}(gf)(h\sigma)^{-1}(g\sigma)(h\sigma)\\&=\sum_{g\in G}(gf)((h^{-1}gh)\sigma)=\sum_{y\in G} ((h yh^{-1})f)(y\sigma)\\&=\sum_{y\in G} (yf)(y\sigma)=\sigma_f.
\end{align*}
Portanto, $\sigma_f\in \mbox{End}_{G}(V)$, como foi afirmado. Como $V$ é um $G$-módulo simples, obtemos que $\sigma_f=\lambda\cdot\mbox{id}$ onde $\lambda\in\C^*$. Além disso,
\[
\lambda\dim V=(1\chi)\lambda=\mbox{Tr}(\sigma_f)=\sum_{g\in G}(gf)\mbox{Tr}(g\sigma)=
\sum_{g\in G}(gf)(g\chi)=|G|\left<f,\overline \chi\right>
\]
Em particular, $\lambda=|G|\left<f,\overline \chi\right>/(1\chi)$ e $\sigma_f=|G|\left<f,\overline \chi\right>/(1\chi)\cdot\mbox{id}$.
Demonstração do Teorema. Já vimos que o sistema $\chi_1,\ldots,\chi_k$ é ortonormal em $W$. Portanto é suficiente provar que se $f\in W$ tal que $\left<\chi_i,\overline f\right>=\left<f,\overline\chi_i\right>=0$ para todo $i$, então $f=0$. Assuma que $f$ é tal função. Para uma representação $\sigma$ de $G$, defina $\sigma_f$ como
\[
\sigma_f=\sum_{g\in G}(gf)(g\sigma).
\]
Se $\sigma$ for irredutível, então $\sigma_f=0$ pelo Lema anterior.
Se $\sigma$ não for irredutúvel, então o $G$-módulo $V$ correspondente pode ser escrito como uma soma direta $V=V_1\oplus\cdots\oplus V_m$ de $G$-módulos simples e temos a equação correspondente para o caracter: $\chi=\sum_i\chi_i$. Seja $\sigma_i$ a representação induzida por $\sigma$ em $V_i$. Então $g\sigma=\sum_ig\sigma_i$. Logo
\[
\sigma_f=\sum_{g\in G}(gf)(g\sigma)=\sum_{g\in G}\sum_{i=1}^m (gf)(g\sigma_i)=\sum_{i=1}^m(\sigma_i)_f.
\]
Portanto
\[
\sigma_f=\sum_{i=1}^m(\sigma_i)_f=\sum_{i=1}^m\frac{|G|}{1\chi_i}\left<f,\overline{\chi_i}\right>\cdot\mbox{id}_{V_i}=0.
\]
Seja $\rho$ a representação de $G$ em $\C G$,
\[
0=1\rho_f=1\cdot \sum_{g\in G}(gf)(g\varrho)=\sum_{g\in G}(gf)g.
\]
Portanto $gf=0$ para todo $g$ e $f=0$.
Corolário. Seja $g\in G$.
- $\sum_{i=1}^k\overline{(g\chi_i)}(g\chi_i)=|C_G(g)|$.
- Se $g,h\in G$ pertencentes a classes distintos de conjugação, então $\sum_{i=1}^k\overline{(g\chi_i)}(h\chi_i)=0$.
Demonstração. Seja $f:G\rightarrow\C$ a função que é igual a 1 na classe de $g$ e zero nos outros elementos. Pelo teorema anterior,
\[
f=\sum_{i=1}^k \left<f,\chi_i\right>\chi_i=\sum_{i=1}^k \frac{|g^G|}{|G|}
\overline{ (g\chi_i)}\chi_i=
\frac 1{|C_G(g)|}\sum_{i=1}^k\overline{(g\chi_i)}\chi_i.
\]
Logo, para $h\in G$, temos que
\[
hf=
\frac 1{|C_G(g)|}\sum_{i=1}^k\overline{(g\chi_i)}(h\chi_i).
\]
Tomando $h=g$, obtemos equação 1., tomando $h\not\in g^G$, obtemos equação 2.
