$\newcommand{\F}{\mathbb F}$Seja $G$ um grupo e $\F$ um corpo. A álgebra de grupo $\F G$ é definido como o conjunto de combinações lineares $\sum_{g\in G} \alpha_g g$ finitas. Claramente, $\F G$ é um $G$-módulo sobre $\F$ pela multiplicação à direita. O seguinte lema é imediato.
Lema. Se $U\leq \F G$, então $U$ é um $G$-submódulo se e somente se $U$ é um ideal à direita de $\F G$. Se $V$ é um $G$-módulo simples, então existe um ideal maximal $I$ á direita de $\F G$ tal que $V\cong \F G/I$ como $G$-módulos.
Demonstração. A primeira afirmação é óbvia. Seja $V$ um $G$-módulo simples e seja $v\in V\setminus\{0\}$. Defina
\[
\varphi: \F G\rightarrow V,\quad v\mapsto vx.
\]
Então $\varphi$ é um homomorphismo de $G$-módulos. Como $\mbox{Im}\,\varphi\leq_G V$ e $V$ é simples, temos que $\varphi$ é sobrejetiva. Então $V\cong \F G/\ker \varphi$. O núcleo $\ker\varphi$ é um ideal maximal á direita pela primeira afirmação e pela simplicidade de $V\cong \F G/\ker\varphi$.
Seja $V=V_1\oplus\cdots\oplus V_k$ um $G$-módulo sobre um corpo $\F$. Sabe se que $\mbox{End}_G(V)$ é uma $\F$-álgebra com as operações usuais. Seja $\alpha\in \mbox{End}_G(V)$. Se $v\in V_i$, então $v\alpha=w_i+\cdots+w_k$ onde $w_j\in V_j$. Assim obtemos, para todo $j$, um mapa $\alpha_{ij}:V_i\rightarrow V_j$ e é fácil ver que $\alpha_{ij}\in\mbox{Hom}_G(V_i,V_j)$. Além disso, se $\alpha_{ij}\in \mbox{Hom}(V_i,V_j)$ para todo $i,j$, então a matrix $(\alpha_{ij})$ defina um elemento de $\mbox{End}_G(V)$.
Teorema. Seja $G$ um grupo finito e seja $\F$ um corpo algebricamente fechado tal que $\mbox{char}\,\F$ não divide $|G|$. As seguintes afirmações são verdadeiras para $R=\F G$:
- $R=I_1\oplus\cdots\oplus I_m$ onde $I_i\unlhd R$ e $I_i\cong M_{n_i\times n_i}(\F)$ como anéis.
- $|G|=n_1^2+\cdots n_m^2$;
- Se $V$ é um $G$-módulo simples, então $V$ é isomorfo a um ideal minimal à direita de $R$ de dimensão $n_i$ com algum $i$.
- O número de classes de isomorfismo de $G$-módulos simples de dimensão finita é igual ao número de classes de conjugação de $G$.
Demonstração. 1. Pelo Teorema de Maschke, $R$ é completamente redutível como $G$-módulo: $R=\bigoplus V_i$ onde $V_i$ são ideais minimais à direita de $R$. Como na demonstração do Teorema de Clifford, sejam $S_1,\ldots,S_m$ os tipos de isomorfismo de $G$-submódulos simples (ideias minimais à direita) em $R$. Pelo Teorema de Jordan-Holder, $m<\infty$. Com $i\in \{1,\ldots,m\}$, defina
\[
I_i=\sum W\mbox{ onde }W\leq_G R\mbox{ e } W\cong S_i.
\]
Claramente, $I_i$ é um $G$-submódulo de $R$ (ou seja, ideal à direita) e $R=I_1\oplus\cdots\oplus I_m$. Seja $r\in R$. Então $rS_i$ é um $G$-submódulo de $R$ e o mapa $s\mapsto rs$ é um $G$-homomorfismo sobrejetivo entre $S_i$ e $rS_i$. O núcleo deste homomorfismo é um $G$-submódulo de $S_i$. Como $S_i$ é simples, $S_i\cong r S_i$ ou $rS_i=0$. Isto implica que $r I_i\leq I_i$ e que $I_i$ é um ideal de $R$.
