$\newcommand{\F}{\mathbb F}$Teorema (O lema de Schur). Sejam $U$ e $V$ dois $\F G$-módulos simples e $\varphi:U\rightarrow V$ um $G$-homomorfismo. Então $\varphi=0$ ou $\varphi$ é um isomorfismo.
Demonstração. Trivial. Só observar que $\ker\varphi$ e $\mbox{Im}\,\varphi$ são submódulos. Então temos duas possibilidades, $\ker\varphi=0$ e $\mbox{Im}\,\varphi=U$ (e $\varphi$ é um isomorfismo) ou $\ker\varphi=V$ e $\varphi=0$.
Lembre que para um $\F G$-módulo $V$, $\mbox{End}_G(V)$ é uma $\F$-álgebra. Uma $\F$-álgebra é dita álgebra de divisão se todo elemento não nulo é invertível. A álgebra dos quaternions é um exemplo de álgebras de divisão.
Corolário. Seja $V$ um $G$-módulo simples. Então $\mbox{End}_G(V)$ é uma álgebra de divisão.
Corolário. Seja $\F$ algebricamente fechado, $V$ um $G$-módulo simples de dimensão finita, e $\alpha\in \mbox{End}_G(V)$. Então existe $\lambda\in\F$ tal que $\alpha=\lambda\cdot \mbox{id}$.
Demonstração. Como $\F$ é algebricamente fechado, $\alpha$ possui um autovalor $\lambda$. Seja $U$ o autoespaço
\[
U=\{v\in V\mid v\alpha =\lambda v\}.
\]
Afirmamos que $U$ é um $G$-submódulo. Se $u\in U$ e $g\in G$, então
\[
(ug)\alpha=(u\alpha)g=(\lambda u)g=\lambda(ug);
\]
logo $ug\in U$. Além disso, $U\neq 0$, e a simplicidade de $V$ implica que $U=V$. Portanto $v\alpha=\lambda v$ para todo $v\in V$.
Corolário. Seja $\F$ algebricamente fechado, $V$ um $G$-módulo simples de dimensão finita, e seja $\varrho$ a representação correspondente. Então $Z(G)\varrho\leq\{\lambda\cdot\mbox{id}\mid\lambda\in\F^*\}$.
Demonstração. Seja $z\in Z(G)$ e $g\in G$. Então $(vg)z=v(gz)=v(zg)=(vz)g$ e $z\varrho\in\mbox{End}_G(V)$.
Corolário. Seja $G$ um grupo finito abeliano, $\F$ um corpo algebricamente fechado, e $V$ um $\F G$-módulo simples de dimensão finita. Então $\dim V=1$.
Demonstração. Pelos corolários anteriores, se $g\in G$, então existe $\lambda\in\F^*$ tal que $vg=\lambda v$ para todo $v\in V$. Por irredutibilidade, obtemos que $\dim V=1$.
Seja $V$ um $G$-módulo. Uma cadeia
\[
V=V_0>V_1>\cdots >V_k>V_{k+1}=0
\]
é dita série de composição se $V_i/V_{i+1}$ é simples para todo $i$.
Teorema (Jordan-Holder). Se
\[
V=V_0>V_1>\cdots> V_k>V_{k+1}=0
\]
e
\[
V=U_0>U_1>\cdots> U_\ell>U_{\ell+1}=0
\]
são duas séries de composição de um $G$-módulo, então $k=\ell$ e existe uma permutação $\pi\in S_k$ tal que $V_i/V_{i+1}\cong U_{i\pi}/U_{i\pi+1}$.
Teorema (Clifford). Seja $G$ um grupo finito, $V$ um $\F G$-módulo simples de dimensão finita, $N\unlhd G$ e $U\leq_N V$ um $N$-submódulo simples.
- $V=\sum_{g\in G}Ug$ onde $Ug$ é um $N$-módulo simples e $V$ é completamente redutível.
- Sejam $S_1,\ldots,S_k$ os tipos de isomorfismo dos $N$-submódulos simples de $V$ e seja para $i\in\{1,\ldots,k\}$,
\[
V_i=\sum W\mbox{ onde } W\leq_N V\mbox{ e } W\cong S_i.
\]
Então $V=V_1\oplus\cdots \oplus V_k$. - $G$ age transitivamente no conjunto $\{V_1,\ldots,V_k\}$.
- Seja $G_i=G_{V_i}$ (o estabilizador). Então $V_i$ é um $G_i$-módulo simples.
Demonstração. 1. $\sum Ug$ é um $G$-submódulo. Por simplicidade, $\sum Ug=V$. Sejam $u\in U$, $g\in G$, e $n\in N$. Logo
\[
ugn=un^{g^{-1}}g\in Ug.
\]
Logo $Ug\leq_N V$. Além disso, se $W\leq_N Ug$, então $Wg^{-1}\leq U$. Como $U$ é $N$-simples, $Ug$ também é para todo $g\in G$. Seja $\{g_1,\ldots,g_r\}\subseteq G$ maximal tal que $W=\sum_{i} Ug_i=\bigoplus_i Ug_i$. Afirmamos que $V=W$. Seja $g\in G$. Como $Ug$ e $W$ são $N$-submódulos, $Ug\cap W$ também é. Pela simplicidade de $Ug$, tem-se que $Ug\cap W=Ug$ ou $Ug\cap W=0$. Nos segundo caso, $Ug\oplus W\leq_N V$, e isso é impossível pela maximalidade de $W$. Logo $Ug\leq W$ para todo $g\in G$ e $W=V$ como foi afirmado. Em particular, $V$ é completamente redutível.
2. Pelo Teorema de Jordan-Holder, existem somente um número finito de tipos de isomorfismo de $N$-submódulos simples em $V$. Além disso, $V=\sum V_i$. Afirmamos que a soma é direta. Seja $i\in\{1,\ldots,k\}$ e seja $Y=\sum_{j\neq i}V_j$. Então $V_i\cap Y$ é um $N$-submódulo de $V$. Além disso, um fator de composição de $V_i\cap Y$ precisa ser fator de composição de $V_i$ e também de $Y$. Como $V_i$ e $Y$ não têm fatores de composição comuns, $V_i\cap Y=0$. Logo $V=V_1\oplus\cdots\oplus V_k$.
3. Seja $i\in \{1,\ldots,k\}$ e $g\in G$. Se $W\leq V_i$ é simples, então $W\cong S_i$. Neste caso $Wg$ também é simples e $Wg\cong S_j$ com algum $j\in\{1,\ldots,k\}$. Logo $W_ig=W_j$ e $G$ age o conjunto $\{V_1,\ldots,V_k\}$. Se $\{V_1,\ldots,V_s\}$ é uma $G$-órbita com $s\geq 1$, então $V_1\oplus\cdots\oplus V_s\leq_G V$. Pela simplicidade de $V$, $V_1\oplus\cdots\oplus V_s=V$ e $s=k$. Portanto $G$ é transitivo no conjunto $\{V_i\}$.
4. Mostraremos sem perder generalidade que $V_1$ é $G_1$-irredutível. Seja $0<W\leq_{G_1} V_1$. Por parte 3., existem $g_1,\ldots,g_k$ tais que $V_i=V_1g_i$ para todo $i$. Em particular, $V=V_1g_1\oplus\cdots\oplus V_1g_k$. Se $g\in G$ e $i\in\{1,\ldots,k\}$, então $g_ig\in G_1g_{i’}$ com algum $i’$ e o mapa $i\mapsto i’$ é uma permutação de $\{1,\ldots,k\}$. Em particular, $g_ig=h_ig_{i’}$ com algum $h_i\in G_1$. Em particular
\begin{align*}
&(Wg_1\oplus\cdots\oplus Wg_k)g=Wg_{1}g\oplus\cdots\oplus Wg_kg\\=&
Wh_1g_{1′}\oplus\cdots\oplus Wh_kg_{k’}=
Wg_{1′}\oplus\cdots\oplus Wg_{k’}.
\end{align*}
Portanto, $Wg_1\oplus\cdots\oplus Wg_k$ é um $G$-submódulo. Pela simplicidade de $V$, $Wg_1\oplus\cdots\oplus Wg_k=V$ e $W=V_1$.
