$\newcommand{\F}{\mathbb F}$$G$-módulos, representações, submódulos, módulos simples (irredutíveis), redutíveis, completamente redutíveis. A álgebra do grupo, seus submódulos. Módulo quociente. O Teorema de Maschke.
Teorema (Maschke). Seja $G$ um grupo finito e $\F$ um corpo. As seguintes são equivalentes:
- Todo $G$-módulo de dimensão finita é completamente redutível.
- $\mbox{char}\,\F\nmid |G|$.
Demonstração. 1.$\Rightarrow$ 2. Considere $\F G$ como um $G$-módulo. Seja $a=\sum_{g\in G}g\in \F G$ e note que $U=\left<a\right>$ é um $G$-submódulo de $\F G$ de dimensão um. Assuma que existe um $G$-submódulo $W\leq \F G$ tal que $U\oplus W=\F G$. Comparando dimensões, temos que $\dim W=|G|-1$.
Seja
\[
I=\left\{\sum_{g\in G} \alpha_g g\mid \sum \alpha_g=0\right\}.
\]
Claramente, $I$ é um $G$-submódulo de dimensão $|G|-1$. Nós afirmamos que $W=I$. Como $\dim W=\dim I$, é suficiente provar que $W\leq I$. Seja $x=\sum \beta_g g\in W$. Como $W$ é um $G$-submódulo,
\begin{align*}
W\ni&\sum_{h\in G} xh=\sum_{h\in G}\left(\sum_{g\in G}\beta_g g\right)h=\sum_{g\in G}\sum_{h\in G}\beta_g (gh)=\\&\sum_{g\in G}\beta_g \sum_{h\in G} gh=
\sum_{g\in G}\beta_g \sum_{y\in G}y=\left(\sum_{g\in G}\beta_g\right) a\in U.
\end{align*}
Como $U\cap W=0$, temos que $\sum_{g\in G}\beta_g=0$; ou seja $x\in I$. Portanto $W=I$ como for afirmado.
Ora, se $\mbox{char}\,\F\mid |G|$, então $U\leq I$, então $U\oplus W$ é impossível.
2. $\Rightarrow$ 1.
