O grupo alternado $A_n$ é composto por todos os permutações pares de $S_n$ onde $n\geq 2$.
Exercício. Seja $C$ uma classe de conjugação em $S_n$ representado por um elemento $c_1c_2\cdots c_m$ par (então $C\subseteq A_n$) onde os $c_i$ são ciclos disjuntos com comprimento $r_1,\ldots,r_m$ respetivamente ($\sum r_i=n$). Então uma das seguintes possibilidades é verdadeira:
- $C$ é uma classe de conjugação em $A_n$;
- $C$ é a união de duas classes $C_1$ e $C_2$ em $A_n$ onde $|C_1|= |C_2|$.
Além disso, possibilidade 2. ocorre se e somente se qualquer uma das seguintes condições equivalentes s está válida:
- $C_G(c)\leq A_n$;
- $r_1,\ldots,r_m$ são ímpares e distintos dois a dois.
Teorema. Se $n\geq 5$, então $A_n$ é simples.
Demonstração. Indução por $n$.
O primeiro passo da indução é considerar o caso $n=5$. Note que $A_5$ possui cinco classes de conjugação, nomeadamente $1^{A_5}$, $(1,2)(3,4)^{A_5}$, $(1,2,3)^{A_5}$, $(1,2,3,4,5)^{A_5}$ e $(1,3,2,4,5)^{A_5}$ com ordens 1, 15, 20, 12, 12. Note que um subgrupo normal de $A_5$ é uma união de classes de conjugação. Além disso, um subgrupo normal sempre contém a identidade e é fechado para inversos e a sua ordem é um divisor de 60 (Teorema de Lagrange). Assim as possíveis ordens de subgrupos normais são 1 e 60. Portanto $A_5$ é simples.
Assuma que $A_n$ é simples para algum $n\geq 5$ considere $G=A_{n+1}$. Seja $G_i$ o estabilizador do ponto $i$ em $G$. Como $G$ é transitivo, os $G_i$ são conjugados. Além disso, $G_i\cong A_n$. Seja $N\unlhd G$. A interseção $N\cap G_1$ é normal em $G_1$. Logo $N\cap G_1=G_1$ ou $N\cap G_1=1$. No primeiro caso, como $N$ é normal e os $G_i$ são conjugados, temos que $G_i\leq N$ para todo $i$ que implica que $N=G$.
Assuma agora que $N\cap G_i=1$ para todo $i$. Assuma que $N\neq 1$. Neste caso $NG_1=G$ ($G_1$ é maximal) e $N$ é regular. Em particular $|N|=n+1$. Assuma que $\sigma\in N\setminus\{1\}$ e escreva $\sigma$ como um produto $\sigma=\sigma_1\cdots \sigma_m$ de ciclos disjuntos onde $\sigma_i$ é um $r_i$-ciclo com $r_1\geq r_2\geq\cdots\geq r_m$. Assuma que $r_1\geq 3$ e seja $\sigma_1=(1,2,\ldots,k)$ com $k\geq 3$. Seja $\varrho=(3,4,5)$. Então $\sigma^\varrho\sigma^{-1}\in N\cap G_1\setminus\{1\}$ que é uma contradição. Portanto $r_1=\cdots=r_m=2$. Assuma que $\sigma=(1,2)(3,4)$ e seja $\varrho=(4,5,6)$. Então $\sigma^\varrho\sigma^{-1}\in N\cap G_1$ que é uma contradição.
