Grupos de permutações

Se $\mathrm{\Omega }$ é um conjunto, então $S(\mathrm{\Omega })$ denota o grupo de permutações de $\mathrm{\Omega }$. Quando $\mathrm{\Omega }=\{1,\dots ,n\}$, então  $S(\mathrm{\Omega })$ é escrito como $S_n$. Um grupo de permutações é um subgrupo de algum $S(\mathrm{\Omega })$.

Seja $G$ um grupo e $\mathrm{\Omega }$ um conjunto. Dizemos que $G$ age em $\mathrm{\Omega }$ se está dada uma função
$$\mathrm{\Omega }\times G\to \mathrm{\Omega },(\omega ,g)\mapsto \omega g$$
tal que as seguintes propriedades estão verdadeiras para todo $\omega \in \mathrm{\Omega }$ e $g,h\in G$:

1. $\omega 1=\omega$;
2. $(\omega g)h=\omega (gh)$.

Note que se $G$ age em $\mathrm{\Omega }$, então $g$ induz um mapa ${\psi }_g:\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Omega }$ definido como $\omega \mapsto \omega g$. É fácil ver que ${\psi }_g\in S(\mathrm{\Omega })$ e que o mapa $\psi :g\mapsto {\psi }_g$ é um homomorfismo $G\to S(\mathrm{\Omega })$. O homomorfismo $\psi$ é chamado do homomorfismo associado com a ação de $G$. Por outro lado, se $\psi :G\to S(\mathrm{\Omega })$ é um homomorfismo, então $(\omega ,g)\mapsto \omega \psi (g)$ é uma ação de $G$ em $\mathrm{\Omega }$.

Assuma que $G$ age em $\mathrm{\Omega }$ com homomorfismo associado $\psi$. O núcleo da ação é $\ker \psi$. A ação de $G$ é dito fiel se $\ker \psi =1$. Neste caso $G\cong G\psi$ e $G$ pode ser considerado como um grupo de permutações. Considere a seguinte relação de equivalência sobre $\mathrm{\Omega }$: $\alpha \sim \beta$ se e somente se $\beta =\alpha g$ com algum $G$. Uma classe de equivalência dessa relação é chamada de órbita. O grupo $G$ é dito transitivo em $\mathrm{\Omega }$ se $\mathrm{\Omega }$ é uma órbita. Se $\alpha \in \mathrm{\Omega }$, então o estabilizador $G_{\alpha }$ de $\alpha$ em $G$ é definido como
$$G_{\alpha }=\{g\in G\mid \alpha g=\alpha \}.$$
É claro que $G_{\alpha }\le G$. Além disso, o núcleo da ação é $\bigcap _{\alpha \in \mathrm{\Omega }}{G}_{\alpha }$.

Um grupo $G\le S(\mathrm{\Omega })$ é dito regular se $G$ é transitivo e $G_{\alpha }=1$ para algum (todo) $\alpha \in \mathrm{\Omega }$.

Lema. Sejam $\alpha ,\beta \in \mathrm{\Omega }$, $g\in G$ tais que $\alpha g=\beta$. Então $G_{\beta }=(G_{\alpha }{)}^g=g^{-1}{G}_{\alpha }g$.

Exemplo. Seja $G$ um grupo e $H\le G$. Seja $\mathrm{\Omega }=[G:H]$, o conjunto de classes laterais à direita de $H$ em $G$. Então $G$ age em $\mathrm{\Omega }$: se $Hx\in \mathrm{\Omega }$ e $g\in G$, então $(Hx)g=H(xg)$. É fácil ver que esta ação é transitiva. Além disso $H\le G$ é o estabilizador do ponto $H1\in \mathrm{\Omega }$. Portanto o núcleo da ação é
$${\text{Core}}_G(H)=\bigcap _{g\in G}{H}^g.$$
O subgrupo na equação anterior é chamado do core de $H$ em $G$. Ele é o maior subgrupo normal de $G$ contido em $H$.

Assuma que $G$ age nos conjuntos ${\mathrm{\Omega }}_1$ e ${\mathrm{\Omega }}_2$. Estas ações são equivalentes se existir uma bijeção $\phi :{\mathrm{\Omega }}_1\to {\mathrm{\Omega }}_2$ tal que $(\omega g)\phi =(\omega \phi )g$ para todo $\omega \in \mathrm{\Omega }$ e $g\in G$. O mapa $\phi$ é chamada de equivalência entre as duas ações de $G$.

Assuma que $G$ age em $\mathrm{\Omega }$ transitivamente. Seja $\alpha \in \mathrm{\Omega }$ fixo. Definamos um mapa $\phi :\mathrm{\Omega }\to [G:H]$. Para $\beta \in \mathrm{\Omega }$, seja
$$\beta \phi =\{g\in G\mid \alpha g=\beta \}.$$

Teorema (Teorema de Órbita e Estabilizador). O mapa $\phi$ é uma equivalência bem definida entre as ações de $G$ sobre $\mathrm{\Omega }$ e $[G:G_{\alpha }]$. Em particular, $|\mathrm{\Omega }|=|G:G_{\alpha }|$.

Demonstração. Passo 1: $\beta \phi$ é uma classe lateral à direita de $G_{\alpha }$ em $G$. Primeiro $\beta \phi \ne \mathrm{\varnothing }$ pela transitividade de $G$. Seja $g\in \beta \phi$. Afirmamos que $\beta \phi =G_{\alpha }g$. Seja $hg\in G_{\alpha }g$ com $h\in G_{\alpha }$. Então $\alpha (hg)=(\alpha h)g=\alpha g=\beta$. Portanto $G_{\alpha }g\subseteq \beta \phi$. Seja $x\in \beta \phi$. Então $\beta =\alpha g=\alpha x$, portanto $y:=x{g}^{-1}\in G_{\alpha }$. Logo, $x=yg\in G_{\alpha }g$. Obtivemos que $G_{\alpha }g=\beta \phi$.

Passo 2: $\phi$ é uma bijeção. Assuma que $\beta \phi =\gamma \phi$ com alguns $\beta ,\gamma \in \mathrm{\Omega }$. Seja $g\in \beta \phi$. Então $\beta =\alpha g=\gamma$ e $\beta =\gamma$. Seja $G_{\alpha }g\in [G:G_{\alpha }]$. Então $G_{\alpha }g=\beta \phi$ onde $\beta =\alpha g$.

Passo 3: $\phi$ é uma equivalência. Seja $\omega \in \mathrm{\Omega }$ e $g\in G$. Então $\omega g=\alpha hg$ onde $h\in G$ tal que $\omega =\alpha h$. Temos portanto que $(\omega g)\phi =G_{\alpha }(hg)$. Por outro lado, $(\omega \phi )g=(G_{\alpha }h)g$. Como $G_{\alpha }(hg)=(G_{\alpha }h)g$, temos que $\phi$ é uma equivalência.

Corolário. Assuma que $G$ um grupo finito que age transitivamente em $\mathrm{\Omega }$. Então $|\mathrm{\Omega }|\mid |G|$.

Assuma que $G$ age transitivamente em $\mathrm{\Omega }$. Um conjunto $\mathrm{\Delta }\subseteq \mathrm{\Omega }$ é dito bloco se $\mathrm{\Delta }g=\mathrm{\Delta }$ ou $\mathrm{\Delta }g\cap \mathrm{\Delta }=\mathrm{\varnothing }$ para todo $g\in G$.  Uma partição $\mathcal{P}$ de $\mathrm{\Omega }$ é dito $G$-invariante se $\mathrm{\Delta }g\in \mathcal{P}$ para todo $\mathrm{\Delta }\in \mathcal{P}$.

Lema. Assuma que $G$ age em $\mathrm{\Omega }$ transitivamente. As seguintes são verdadeiras.

1. Se $\mathrm{\Delta }$ é um bloco então $\mathcal{P}=\{\mathrm{\Delta }g\mid g\in G\}$ é uma partição $G$-invariante de $\mathrm{\Omega }$.
2. Se $\mathcal{P}$ é uma partição $G$ invariante de $\mathrm{\Omega }$ e $\mathrm{\Delta }\in \mathcal{P}$, então $\mathrm{\Delta }$ é um bloco.
3. Seja $\omega \in \mathrm{\Omega }$ fixo. O mapa $\mathrm{\Delta }\mapsto \{\mathrm{\Delta }g\mid g\in G\}$ é uma bijeção entre o conjunto de blocos $\mathrm{\Delta }$ tal que $\omega \in \mathrm{\Delta }$ e o conjunto de partições $G$-invariantes de $G$.

Demonstração. Exercício.

Se $G$ age em $\mathrm{\Omega }$ transitivamente e $\omega \in \mathrm{\Omega }$, então $\{\omega \}$ e $\mathrm{\Omega }$ são blocos. Similarmente $\{\{\omega \}\mid \omega \in \mathrm{\Omega }\}$ e $\{\mathrm{\Omega }\}$ são partições $G$-invariantes. Um grupo transitivo é dito primitivo se estes são os únicos blocos. No caso contrario o grupo e chamado de imprimitivo.

Assuma que $G$ age transitivamente em $\mathrm{\Omega }$ e seja $\omega \in \mathrm{\Omega }$ fixo. Se $\mathrm{\Delta }$ é um bloco tal que $\omega \in \mathrm{\Delta }$, então denota por $G_{\mathrm{\Delta }}$ o estabilizador de $\mathrm{\Delta }$ em $G$. Se $H\le G$ tal que $G_{\omega }\le H$, então denote por $\omega H$ a $H$-órbita que contém $\omega$.

Teorema. As seguintes são verdadeiras.

1. Se $\mathrm{\Delta }$ é um bloco tal que $\omega \in \mathrm{\Delta }$, então $G_{\omega }\le G_{\mathrm{\Delta }}\le G$.
2. Se $H$ é um subgrupo de $G$ tal que $G_{\omega }\le H$, então $\mathrm{\Delta }=\omega H$ é um bloco tal que $\omega \in \mathrm{\Delta }$.
3. Se $\mathrm{\Delta }$ é um bloco tal que $\omega \in \mathrm{\Delta }$, então $\omega (G_{\mathrm{\Delta }})=\mathrm{\Delta }$. Se $H\le G$ tal que $G_{\omega }\le H$, então $G_{\omega H}=H$. Em particular os mapas $\mathrm{\Delta }\mapsto G_{\mathrm{\Delta }}$ e $H\mapsto \omega H$ são bijeções entre o conjunto de blocos $\mathrm{\Delta }$ tal que $\omega \in \mathrm{\Delta }$ e o conjunto de subgrupos $H$ tal que $G_{\omega }\le H$.

Demonstralção. 1. Claramente, $G_{\mathrm{\Delta }}\le G$. Seja $g\in G_{\omega }$. Então $\omega \in \mathrm{\Delta }\cap \mathrm{\Delta }g$, então $\mathrm{\Delta }g=\mathrm{\Delta }$. Logo $G_{\omega }\in G_{\mathrm{\Delta }}$.

2. Seja  $\mathrm{\Delta }=\omega H$ e seja $g\in G$ tal que $\alpha \in \mathrm{\Delta }\cap \mathrm{\Delta }g=\omega H\cap \omega Hg$. Então existem $h_1,h_2\in H$ tal que $\alpha =\omega h_1=\omega h_{2}g$. Portanto, $\omega h_{2}g{h}_1^{-1}=\omega$, e $h_{2}g{h}_1^{-1}\in G_{\omega }$. Como $h_1,h_2\in H\ge G_{\omega }$, obtemos que $g\in H$ que implica que $\mathrm{\Delta }g=\omega Hg=\omega H=\mathrm{\Delta }$.

3. Seja $\mathrm{\Delta }$ um bloco tal que $\omega \in \mathrm{\Delta }$ e seja $H=G_{\mathrm{\Delta }}$. Afirmamos que $\omega H=\mathrm{\Delta }$. Se $h\in H$, então $\omega h\in \mathrm{\Delta }$ pela definição de $H$. Portanto $\omega H\subseteq \mathrm{\Delta }$. Se $\delta \in \mathrm{\Delta }$, então existe um $g\in G$ tal que $\omega g=\delta$. Neste caso, $\delta =\omega g\in \mathrm{\Delta }\cap \mathrm{\Delta }g$ que implica que $g\in G_{\mathrm{\Delta }}$. Logo $\delta \in \omega H$.  Logo $\mathrm{\Delta }\subseteq \omega H$ e obtemos a igualdade $\mathrm{\Delta }=\omega H$.

Seja agora $H\le G$ tal que $G_{\omega }\le H$ e seja $\mathrm{\Delta }=\omega H$. Afirmamos que $H=G_{\mathrm{\Delta }}$. Se $h\in H$ e $\delta \in \mathrm{\Delta }$, então $\delta h=\omega gh\in \mathrm{\Delta }$ com $g\in H$. Portanto $H\subseteq G_{\mathrm{\Delta }}$. Se $g\in G_{\mathrm{\Delta }}$, então $\omega g\in \mathrm{\Delta }$ e $\omega g=\omega h$ com $h\in H$. Logo $\omega g{h}^{-1}=\omega$ e $g{h}^{-1}\in G_{\omega }$. Como $G_{\omega }\le H$, tem-se que $g{h}^{-1}\in H$ e $g\in H$. Portanto $G_{\mathrm{\Delta }}\le H$ e $G_{\mathrm{\Delta }}=H$.

Exercício. Assuma que $G$ age em $\mathrm{\Omega }$ transitivamente, seja $\alpha \in \mathrm{\Omega }$ e seja $H\le G$. Então $H$ é transitivo se e somente se $G_{\alpha }H=G$.

Corolário. Seja $G$ um grupo transitivo agindo em $\mathrm{\Omega }$ e seja $\omega \in \mathrm{\Omega }$. Então $G$ é primitivo se e somente se $G_{\omega }$ é um subgrupo maximal.

Um grupo $G$ agindo em $\mathrm{\Omega }$ é dito 2-transitivo se  para todo $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathrm{\Omega }$ com $\alpha \ne \beta$ e $\gamma \ne \delta$ existe $g\in G$ tal que $\alpha g=\gamma$ e $\beta g=\delta$.

Exercício. Demonstre que um grupo 2-transitivo é primitivo. Demonstre que $S_n$, $A_n$, $PSL(n,q)$. $PGL(n,q)$ são 2-transitivos e portanto primitivos.