$\newcommand{\rot}[1]{\mbox{Rot}(#1)}\newcommand{\refl}[1]{\mbox{Ref}(#1)}\newcommand{\sen}[1]{\mbox{sen}\,#1}\newcommand{\R}{\mathbb R}$
Rotações
Seja $\varphi$ um ângulo. Denotaremos por $\rot\varphi$ a rotação do plano $\R^2$ pela origem com ângulo $\varphi$ no sentido contrário aos ponteiros do relógio. Vamos calcular a forma matricial de $\rot\varphi$. Seja $v=(v_1,v_2)\in\R^2$. Seja $\alpha$ o ângulo entre o vetor $v$ e o eixo $x$. Seja $v_0$ o vetor unitário na direção de $v$. Então $v$ pode ser escrito como
$$
v=\|v\|v_0=\|v\|(\cos\alpha,\sen\alpha).
$$
Se $v’=v\rot\varphi$, então
\begin{align*}
v’=&\|v’\|(\cos(\alpha+\varphi),\sen{(\alpha+\varphi)})=\\&\|v\|(\cos\alpha\cos\varphi-\sen\alpha\sen\varphi,\sen\alpha\cos\varphi+\cos\alpha\sen\varphi)=\\&\|v\|(\cos\alpha,\sen\alpha)
\begin{pmatrix}
\cos\varphi & \sen\varphi\\
-\sen\varphi & \cos\varphi
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Obtemos então que a rotação $\rot\varphi$ é uma transformação linear com matriz
$$
A_\varphi=\begin{pmatrix}
\cos\varphi & \sen\varphi\\
-\sen\varphi & \cos\varphi
\end{pmatrix}.
$$
Como $\det A_\varphi=\cos^2\varphi+\sen^2\varphi=1$, a transformação $\rot\varphi$ é invertível e claramente $(\rot\varphi)^{-1}=\rot{-\varphi}$.
Lema. Temos que
- $\rot\varphi\rot\psi=\rot{\varphi+\psi}$;
- $\rot 0=\mbox{id}$;
- $(\rot\varphi)^{-1}=\rot{-\varphi}$.
\begin{align*}&v\rot\varphi\rot\psi=v
\begin{pmatrix}
\cos\varphi & \sen\varphi\\
-\sen\varphi & \cos\varphi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\psi & \sen\psi\\
-\sen\psi & \cos\psi
\end{pmatrix}
=\\&v
\begin{pmatrix}
\cos\varphi\cos\psi-\sen\varphi\sen\psi & \cos\varphi\sen\psi+\sen\varphi\cos\psi\\
-\cos\varphi\sen\psi-\sen\varphi\cos\psi & \cos\varphi\cos\psi-\sen\varphi\sen\psi
\end{pmatrix}=\\&
v
\begin{pmatrix}
\cos(\varphi+\psi) & \sen(\varphi+\psi)\\
-\sen(\varphi+\psi) &\cos(\varphi+\psi)
\end{pmatrix}=v\rot{\varphi+\psi}.
\end{align*}
Reflexões
Consideramos a reflexão pelo eixo que passe pela origem e tem ângulo $\varphi$ com o eixo $x$. Denotamos essa reflexão por $\refl\varphi$. Dado $v=(v_1,v_2)\in\R^2$, seja $\alpha$ o ângulo de $v$ com o eixo $x$, e temos que
\begin{align*}
v\refl\varphi=&v\rot{-2(\alpha-\varphi)}=v\rot{-2\alpha}\rot{2\varphi}=\\&(v_1,-v_2)\rot{2\varphi}=\\&
(v_1,v_2)
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos 2\varphi & \sen 2\varphi\\
-\sen 2\varphi & \cos 2\varphi
\end{pmatrix}=\\&
v\begin{pmatrix}
\cos 2\varphi & \sen 2\varphi\\
\sen 2\varphi & -\cos 2\varphi
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Obtemos então que $\refl\varphi$ é uma transformação linear com a matriz
$$
B_\varphi=\begin{pmatrix}
\cos 2\varphi & \sen 2\varphi\\
\sen 2\varphi & -\cos 2\varphi
\end{pmatrix}.
$$
Como $\det B_\varphi=-\cos^22\varphi-\sen^22\varphi=-1$, a transformação $\refl\varphi$ é invertível. De fato,
$$
\begin{pmatrix}
\cos 2\varphi & \sen 2\varphi\\
\sen 2\varphi & -\cos 2\varphi
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos 2\varphi & \sen 2\varphi\\\sen 2\varphi & -\cos 2\varphi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
$$
que implica que $(\refl\varphi)^{-1}=\refl\varphi$.
Composição de reflexões e rotações
Já vimos que a composição de 2 rotações é uma rotação. No entanto, a composição de 2 reflexões não é geralmente uma reflexão. De fato
\begin{align*}
&v\refl\varphi\refl\psi
=v\begin{pmatrix}
\cos 2\varphi & \sen 2\varphi\\
\sen 2\varphi & -\cos 2\varphi
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\cos 2\psi & \sen 2\psi\\
\sen 2\psi & -\cos 2\psi
\end{pmatrix}=\\&
v\begin{pmatrix}
\cos 2\varphi\cos 2\psi+\sen 2\varphi\sen 2\psi & \cos 2\varphi\sen 2\psi-\sen 2\varphi\cos 2\psi\\
\sen 2\varphi\cos 2\psi-\cos 2\varphi\sen 2\psi & \sen 2\varphi\sen 2\psi+\cos 2\varphi\cos 2\psi\end{pmatrix}=\\&
v\begin{pmatrix}
\cos 2(\psi-\varphi) & \sen 2(\psi-\varphi)\\
-\sen 2(\psi-\varphi) & \cos 2(\psi-\varphi).
\end{pmatrix}=v\rot{2(\psi-\varphi)}.
\end{align*}
Obtemos então que a composição de 2 reflexões é uma rotação.
Lema. Sejam $\varphi$ e $\psi$ ângulos. Então
- $\refl\varphi\refl\psi=\rot{2(\psi-\varphi)}$
- $\rot\varphi\refl\psi=\refl{\psi-\varphi/2}$;
- $\refl\varphi\rot\psi=\refl{\varphi+\psi/2}$.
$\refl{\psi}^{-1}=\refl{\psi}$, obtemos que $\refl{\vartheta}=\rot{2(\psi-\vartheta)}\refl{\psi}$. Agora substituímos $\varphi=2(\psi-\vartheta)$ e $\vartheta=\psi-\varphi/2$ e obtemos 2. A demonstracao de 3. é similar.
