1. Mostre que $A_5$ não possui $\{2,5\}$-subgrupo de Hall.
2. Ache todos os $\pi$-subgrupos de Hall de $A_6$.
3. Assuma a vericidade do lema que afirma que “Se $G$ é um grupo simples finito e $C$ é uma classe de conjugação de $G$ tal que $|C|=p^k$ onde $p$ é um primo, então $C=\{1\}$.” Demonstre que um grupo de ordem $p^nq^m$, com $p$ e $q$ primos, é solúvel.
4. Demonstre que um $\pi$-subgrupo de Hall normal é caraterístico.
5. Seja $G$ um grupo $A,B\leq G$ tal que $|G:A|$ e $|G:B|$ são finitos e primos entre si. Demonstre que $|G:A\cap B|=|G:A||G:B|$.
6. Demonstre que as seguintes afirmações são equivalentes:
- A ordem de um grupo finito não abeliano simples é par.
- Um grupo finito com ordem ímpar é solúvel.
7. Seja $H$ um $\pi$-subgrupo de Hall de um grupo finito $G$ e seja $N\unlhd G$. Mostre que $H\cap N$ e $HN/N$ são $\pi$-subgrupos de Hall em $N$ e $G/N$, respetivamente.
8. Sejam $N$ e $H$ grupos e seja $\varphi:H\rightarrow \mbox{Aut}(N)$ um homorfismo. Seja $G$ o conjunto $N\times H$ e defina a multiplicação em $G$ com
$$
(n_1,h_1)(n_2,h_2)=(n_1n_2^{\varphi(h_1^{-1})},h_1h_2).
$$
Demonstre as seguintes afirmações.
- $G$ é um grupo.
- $\{1\}\times H\leq G$ e $N\times \{1\}\unlhd G$.
- $\{1\}\times H$ é um complemento de $N\times \{1\}$.
O grupo $G$ é dito produto semidireto de $N$ e $H$ e é denotado por $N\rtimes_\varphi H$, ou simplesmente por $N\rtimes H$ quando não tem perigo de confusão.
9. Seja $G$ um grupo, seja $N\unlhd G$ tal que $N$ possui um complemento $H\leq G$. Demonstre que $G\cong N\rtimes_\varphi H$ onde $\varphi:H\rightarrow \mbox{Aut}(N)$ é dado por
$n^{\varphi(h)}=n^h=h^{-1}nh$.
