Exercícios 1

1.  Determine uma série de composição para os seguintes grupos: $S_4$, $GL(2,3)$, $GL(2,2)$.

2. Seja $G$ um grupo e $K\le N\le G$ subgrupos de $G$. Demonstre as seguintes afirmações:

1. Se $K\text{char}N$ e $N\text{char}G$, então $K\text{char}G$.
2. Se $K\text{char}N$ e $N⊴G$, então $K⊴G$.

3. Seja $G$ um grupo. Mostre que os seguintes subgrupos são caraterísticos em $G$:

1. $Z(G)=\{x\in G\mid xy=yx\text{ para todo }y\in G\}$;
2. $G^n=⟨g^n\mid g\in G⟩$ com $n\in \mathbf{N}$ fixo;
3. $\mathrm{\Phi }(G)=\bigcap _{M\in \mathcal{M}}M$ onde $\mathcal{M}$ é o conjunto dos subgrupos maximais de $G$ (chamado de subgrupo de Frattini de $G$).
4. $\text{Soc}(G)=⟨N\mid N\text{ é um subgrupo minimal normal de }G⟩$ (chamado de socle de $G$).

4. Seja $G$ um grupo, $M$ um subgrupo minimal normal de $G$ e $N⊴G$. Mostre que ou $M\le N$ ou $M\cap N=1$ e $[M,N]=1$ onde $[M,N]=⟨[x,y]\mid x\in M,y\in N⟩$.

5. Um grupo $G$ é dito carateristicamente simples se os únicos subgrupos caraterísticos de $G$ são 1 e $G$. Mostre que um subgrupo minimal normal de um grupo $G$ é carateristicamente simples.

6. Seja $G$ um grupo solúvel carateristicamente simples.

1. Mostre que $G$ é abeliano.
2. Assumindo que $G$ é finitamente gerado, mostre que $G$ é isomorfo a $C_p\times \cdots \times C_p$ com algum primo $p$.

7. Mostre que se $G$ é um grupo finito carateristicamente simples, então $G$ é isomorfo a $T^m$ onde $T$ é um grupo finito simples.

8. Considere o grupo $S_4$ e seu subgrupo $X=⟨(1,2)(3,4),(1,3)(2,4)⟩$.

1. Mostre que $X$ é caraterístico em $G$.
2. Mostre que $X$ é o único subgrupo minimal normal de $G$.
3. Considerando $X$ como o espaço vetorial $({\mathbf{F}}_2{)}^2$, defina
   $$\phi :G\to \text{Aut}(X)=\text{GL}(2,2)$$
   pondo
   $$\phi :g\mapsto {\phi }_g\text{ onde }{\phi }_g(x)=x^g=g^{-1}xg\text{ para todo }x\in X.$$
   Mostre que $\phi (G)=GL(2,2)$ e $\ker \phi =X$.
   Deduza que $S_4=(C_2{)}^2⋊GL(2,2)=\text{AGL}(2,2)$.