1. Determine uma série de composição para os seguintes grupos: $S_4$, $GL(2,3)$, $GL(2,2)$.
2. Seja $G$ um grupo e $K\leq N\leq G$ subgrupos de $G$. Demonstre as seguintes afirmações:
- Se $K\,\mbox{char}\,N$ e $N\,\mbox{char}\,G$, então $K\,\mbox{char}\,G$.
- Se $K\,\mbox{char}\,N$ e $N\unlhd G$, então $K\unlhd G$.
3. Seja $G$ um grupo. Mostre que os seguintes subgrupos são caraterísticos em $G$:
- $Z(G)=\{x\in G\mid xy=yx\mbox{ para todo }y\in G\}$;
- $G^n=\left<g^n\mid g\in G\right>$ com $n\in\mathbf N$ fixo;
- $\Phi(G)=\bigcap_{M\in\mathcal M}M$ onde $\mathcal M$ é o conjunto dos subgrupos maximais de $G$ (chamado de subgrupo de Frattini de $G$).
- $\mbox{Soc}(G)=\left<N\mid N\mbox{ é um subgrupo minimal normal de $G$}\right>$ (chamado de socle de $G$).
4. Seja $G$ um grupo, $M$ um subgrupo minimal normal de $G$ e $N\unlhd G$. Mostre que ou $M\leq N$ ou $M\cap N=1$ e $[M,N]=1$ onde $[M,N]=\left<[x,y]\mid x\in M,\ y\in N\right>$.
5. Um grupo $G$ é dito carateristicamente simples se os únicos subgrupos caraterísticos de $G$ são 1 e $G$. Mostre que um subgrupo minimal normal de um grupo $G$ é carateristicamente simples.
6. Seja $G$ um grupo solúvel carateristicamente simples.
- Mostre que $G$ é abeliano.
- Assumindo que $G$ é finitamente gerado, mostre que $G$ é isomorfo a $C_p\times\cdots\times C_p$ com algum primo $p$.
7. Mostre que se $G$ é um grupo finito carateristicamente simples, então $G$ é isomorfo a $T^m$ onde $T$ é um grupo finito simples.
8. Considere o grupo $S_4$ e seu subgrupo $X=\left<(1,2)(3,4),(1,3)(2,4)\right>$.
- Mostre que $X$ é caraterístico em $G$.
- Mostre que $X$ é o único subgrupo minimal normal de $G$.
- Considerando $X$ como o espaço vetorial $(\mathbf F_2)^2$, defina
$$
\varphi:G\rightarrow \mbox{Aut}(X)=\mbox{GL}(2,2)
$$
pondo
$$
\varphi: g\mapsto \varphi_g\mbox{ onde }\varphi_g(x)=x^g=g^{-1}xg\mbox{ para todo }x\in X.
$$
Mostre que $\varphi(G)=GL(2,2)$ e $\ker\varphi=X$.
Deduza que $S_4=(C_2)^2\rtimes GL(2,2)=\mbox{AGL}(2,2)$.
