Seja $G$ um grupo e seja
\begin{equation}\label{cad}
G_0=G>G_1>\cdots >G_k=1
\end{equation}
uma cadeia de subgrupos. O comprimento da cadeia \eqref{cad} é $k$. Esta cadeia é dita normal se $G_i\unlhd G$ para todo $i$; ela é dita subnormal se $G_i\unlhd G_{i-1}$ vale para todo $i$. Uma cadeia normal é automaticamente subnormal.
Uma cadeia
$$
H_0=G>H_1>\cdots >H_m=1
$$
é um refinamento de \eqref{cad} se $\{G_0,\ldots,G_k\}\subseteq\{H_0,\ldots,H_m\}$. O refinamento é dito próprio se$\{G_0,\ldots,G_k\}\subset\{H_0,\ldots,H_m\}$. Uma cadeia subnormal que não possui refinamentos próprios é dito uma série de composição.
Lembre que um grupo $G\neq 1$ é dito simples se ele não possui subgrupos normais além de $1$ e $G$.
Lemma. A cadeia \eqref{cad} é uma série de composição se e somente se os quocientes $G_i/G_{i+1}$ são grupos simples.
Demonstração. Assuma que \eqref{cad} é uma série de composição. Seja $N$ um subgrupo normal não trivial do quociente $G_i/G_{i+1}$. Pelo Teorema da Correspondência, existe um subgrupo normal $\overline N$ de $G_i$ tal que $G_{i+1}\unlhd \overline N\unlhd G_i$ e $N\neq G_{i+1}$. Então obtemos que a cadeia
$$
G_0=G>\cdots G_i\geq \overline N> G_{i+1}>\cdots>1
$$
é um refinamento de \eqref{cad}. Como a cadeia não possui refinamento próprio, temos que $\overline N=G_{i}$; ou seja $N=G_i/G_{i+1}$. Logo $G_i/G_{i+1}$ é um grupo simples.
Assuma agora que os quocientes $G_i/G_{i+1}$ são todos simples e seja
$$
G_0=G>\cdots G_i>\overline N\geq G_{i+1}>\cdots>1
$$
um refinamento de \eqref{cad}. Então $N/G_{i+1}\lhd G_i/G_{i+1}$. Por simplicidade, nós obtemos que $N/G_{i+1}=1$ e portanto $N=G_{i+1}$. Logo, a cadeia \eqref{cad} não possui refinamento próprio. $\Box$
Duas cadeias $G_0>\cdots>G_k$ e $H_0>\cdots> H_m$ subnormais são equivalentes se $k=m$ e existe uma permutação $\sigma\in S_k$ tal que
$$
G_{i-1}/G_i\cong H_{i\sigma-1}/H_{i\sigma} \mbox{ para todo }i\in\{1,\ldots,k\}.
$$
Teorema (Jordan-Hölder). Duas séries de composição de um grupo $G$ são equivalentes.
Começamos a demonstração deste teorema por um lema.
Lema. Seja $G$ um grupo e sejam $A,B$ subgrupos normais distintos em $G$ tal que $G/A$ e $G/B$ são simples. Então
$$
G/A\cong B/(A\cap B)\quad\mbox{e}\quad G/B=A/(A\cap B).
$$
Demonstração. Note que $A\leq B$ ou $B\leq A$ são impossíveis. De fato, no primeiro caso $B/A$ seria normal em $G/A$ que é impossível pela simplicidade de $G/A$.
Pela normalidade de $A$ e $B$, o produto $AB$ é um subgrupo normal de $G$. Logo $AB/A$ é normal em $G/A$. Pela simplicidade de $G/A$, temos que $AB/A=G/A$, que implica que $AB=G$.
Agora, pelo teorema de isomorfismo
$$
G/A=AB/A=B/(A\cap B)
$$
e similarmente
$$
G/B\cong A/(A \cap B).
$$
Demonstração do Teorema. Fazemos a demonstração por indução sobre o comprimento da menor série de composição. Se $k=1$, então $G$ é simples e toda série de composição tem a forma
$$
G_0=G>G_1=1.
$$
Assuma que a teorema é verdadeiro para grupos que possuem uma série de composição de comprimento $k-1\geq 1$. Assuma que
$$
G_0=G>G_1>\cdots >G_k=1
$$
é uma série de composição de um grupo $G$ com comprimento minimal. Assuma ainda que
$$
H_0=G>H_1>\cdots>H_m=1
$$
é uma outra série de composição de $G$. Assuma primeiro que $G_1=H_1$. Então
$$
G_1>\cdots >G_k=1
$$
e
$$
H_1>\cdots>H_m=1
$$
são séries de composição do grupo $G_1=H_1$. Pela hipótese de indução, estas duas séries são equivalentes, portanto as séries originais de $G$ são também equivalentes.
Assuma agora que $G_1\neq H_1$ e seja $K=G_1\cap H_1$. Pelo lema anterior, $G/G_1\cong H_1/K$ e $G/H_1\cong G_1/K$. Seja $K_i=G_i\cap K$ para $i\geq 1$. Então $K_i\unlhd G_i$ e $K_{i+1}\unlhd K_i$. Considere o mapa
$$
K_i\rightarrow G_i/G_{i+1},\quad x\mapsto xG_{i+1}.
$$
O núcleo deste mapa é $K_i\cap G_{i+1}=K_{i+1}$, então o mapa
$$
K_i/K_{i+1}\rightarrow G_i/G_{i+1},\quad xK_{i+1}\mapsto x G_{i+1}
$$
é bem definido e é injetivo. Portanto, $K_i/K_{i+1}$ pode ser considerado como um subgrupo normal de $G_i/G_{i+1}$. Como $G_i/G_{i+1}$ é simples, temos que $K_i/K_{i+1}$ é trivial ou é simples. Portanto, por apagar as duplicações da cadeia
$$
G_1>K_1>K_2>\cdots>K_k=1
$$
obtemos duas séries de composição do grupo $G_1$:
$$
G_1>L_1>\cdots>L_r=1
$$
e
$$
G_1>G_2>\cdots>G_k=1.
$$
Pela hipótese de indução obtemos que as duas séries são equivalentes.
Similarmente, temos duas séries de composição para $H_1$:
$$
H_1>L_1>\cdots>L_r=1\quad\mbox{e}\quad H_1>H_2>\cdots>H_m=1.
$$
Estas séries são equivalentes pelo hipótese de indução. Portanto, é suficiente provar que
$$
G>G_1>L_1>\cdots>L_r=1\quad\mbox{e}\quad G>H_1>L_1>\cdots>L_r=1
$$
são equivalentes. Isto é de fato verdadeiro, pois $G/G_1\cong H_1/K_1$ e
$G/H_1\cong G_1/K_1$. $\Box$
De fato, vale o seguinte teorema mais geral.
Teorema (Schreier). Cada par de séries subnormais de um grupo possui refinamentos que são equivalentes.
Note que o Teorema de Schreier também implica o Teorema de Jordan-Hölder.
