O Teorema de Jordan-Hölder

Seja $G$ um grupo e seja
$G_{0} = G > G_{1} > \dots > G_{k} = 1$
uma cadeia de subgrupos. O comprimento da cadeia $(???)$ é $k$ . Esta cadeia é dita normal se $G_{i} ⊴ G$ para todo $i$ ; ela é dita subnormal se $G_{i} ⊴ G_{i - 1}$ vale para todo $i$ . Uma cadeia normal é automaticamente subnormal.

Uma cadeia
$H_{0} = G > H_{1} > \dots > H_{m} = 1$
é um refinamento de $(???)$ se ${G_{0}, \dots, G_{k}} \subseteq {H_{0}, \dots, H_{m}}$ . O refinamento é dito próprio se ${G_{0}, \dots, G_{k}} \subset {H_{0}, \dots, H_{m}}$ . Uma cadeia subnormal que não possui refinamentos próprios é dito uma série de composição.

Lembre que um grupo $G \neq 1$ é dito simples se ele não possui subgrupos normais além de $1$ e $G$ .

Lemma. A cadeia $(???)$ é uma série de composição se e somente se os quocientes $G_{i} / G_{i + 1}$ são grupos simples.

Demonstração. Assuma que $(???)$ é uma série de composição. Seja $N$ um subgrupo normal não trivial do quociente $G_{i} / G_{i + 1}$ . Pelo Teorema da Correspondência, existe um subgrupo normal $\overset{―}{N}$ de $G_{i}$ tal que $G_{i + 1} ⊴ \overset{―}{N} ⊴ G_{i}$ e $N \neq G_{i + 1}$ . Então obtemos que a cadeia
$G_{0} = G > \dots G_{i} \geq \overset{―}{N} > G_{i + 1} > \dots > 1$
é um refinamento de $(???)$ . Como a cadeia não possui refinamento próprio, temos que $\overset{―}{N} = G_{i}$ ; ou seja $N = G_{i} / G_{i + 1}$ . Logo $G_{i} / G_{i + 1}$ é um grupo simples.

Assuma agora que os quocientes $G_{i} / G_{i + 1}$ são todos simples e seja
$G_{0} = G > \dots G_{i} > \overset{―}{N} \geq G_{i + 1} > \dots > 1$
um refinamento de $(???)$ . Então $N / G_{i + 1} ⊲ G_{i} / G_{i + 1}$ . Por simplicidade, nós obtemos que $N / G_{i + 1} = 1$ e portanto $N = G_{i + 1}$ . Logo, a cadeia $(???)$ não possui refinamento próprio.

Duas cadeias $G_{0} > \dots > G_{k}$ e $H_{0} > \dots > H_{m}$ subnormais são equivalentes se $k = m$ e existe uma permutação $σ \in S_{k}$ tal que
$G_{i - 1} / G_{i} ≅ H_{i σ - 1} / H_{i σ} para todo i \in {1, \dots, k} .$

Teorema (Jordan-Hölder). Duas séries de composição de um grupo $G$ são equivalentes.

Começamos a demonstração deste teorema por um lema.

Lema. Seja $G$ um grupo e sejam $A, B$ subgrupos normais distintos em $G$ tal que $G / A$ e $G / B$ são simples. Então
$G / A ≅ B / (A \cap B) e G / B = A / (A \cap B) .$

Demonstração. Note que $A \leq B$ ou $B \leq A$ são impossíveis. De fato, no primeiro caso $B / A$ seria normal em $G / A$ que é impossível pela simplicidade de $G / A$ .

Pela normalidade de $A$ e $B$ , o produto $A B$ é um subgrupo normal de $G$ . Logo $A B / A$ é normal em $G / A$ . Pela simplicidade de $G / A$ , temos que $A B / A = G / A$ , que implica que $A B = G$ .

Agora, pelo teorema de isomorfismo
$G / A = A B / A = B / (A \cap B)$
e similarmente
$G / B ≅ A / (A \cap B) .$

Demonstração do Teorema. Fazemos a demonstração por indução sobre o comprimento da menor série de composição. Se $k = 1$ , então $G$ é simples e toda série de composição tem a forma
$G_{0} = G > G_{1} = 1.$
Assuma que a teorema é verdadeiro para grupos que possuem uma série de composição de comprimento $k - 1 \geq 1$ . Assuma que
$G_{0} = G > G_{1} > \dots > G_{k} = 1$
é uma série de composição de um grupo $G$ com comprimento minimal. Assuma ainda que
$H_{0} = G > H_{1} > \dots > H_{m} = 1$
é uma outra série de composição de $G$ . Assuma primeiro que $G_{1} = H_{1}$ . Então
$G_{1} > \dots > G_{k} = 1$
e
$H_{1} > \dots > H_{m} = 1$
são séries de composição do grupo $G_{1} = H_{1}$ . Pela hipótese de indução, estas duas séries são equivalentes, portanto as séries originais de $G$ são também equivalentes.

Assuma agora que $G_{1} \neq H_{1}$ e seja $K = G_{1} \cap H_{1}$ . Pelo lema anterior, $G / G_{1} ≅ H_{1} / K$ e $G / H_{1} ≅ G_{1} / K$ . Seja $K_{i} = G_{i} \cap K$ para $i \geq 1$ . Então $K_{i} ⊴ G_{i}$ e $K_{i + 1} ⊴ K_{i}$ . Considere o mapa
$K_{i} \to G_{i} / G_{i + 1}, x \mapsto x G_{i + 1} .$
O núcleo deste mapa é $K_{i} \cap G_{i + 1} = K_{i + 1}$ , então o mapa
$K_{i} / K_{i + 1} \to G_{i} / G_{i + 1}, x K_{i + 1} \mapsto x G_{i + 1}$
é bem definido e é injetivo. Portanto, $K_{i} / K_{i + 1}$ pode ser considerado como um subgrupo normal de $G_{i} / G_{i + 1}$ . Como $G_{i} / G_{i + 1}$ é simples, temos que $K_{i} / K_{i + 1}$ é trivial ou é simples. Portanto, por apagar as duplicações da cadeia
$G_{1} > K_{1} > K_{2} > \dots > K_{k} = 1$
obtemos duas séries de composição do grupo $G_{1}$ :
$G_{1} > L_{1} > \dots > L_{r} = 1$
e
$G_{1} > G_{2} > \dots > G_{k} = 1.$
Pela hipótese de indução obtemos que as duas séries são equivalentes.

Similarmente, temos duas séries de composição para $H_{1}$ :
$H_{1} > L_{1} > \dots > L_{r} = 1 e H_{1} > H_{2} > \dots > H_{m} = 1.$
Estas séries são equivalentes pelo hipótese de indução. Portanto, é suficiente provar que
$G > G_{1} > L_{1} > \dots > L_{r} = 1 e G > H_{1} > L_{1} > \dots > L_{r} = 1$
são equivalentes. Isto é de fato verdadeiro, pois $G / G_{1} ≅ H_{1} / K_{1}$ e
$G / H_{1} ≅ G_{1} / K_{1}$ .

De fato, vale o seguinte teorema mais geral.

Teorema (Schreier). Cada par de séries subnormais de um grupo possui refinamentos que são equivalentes.

Note que o Teorema de Schreier também implica o Teorema de Jordan-Hölder.

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