$\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\A}{\mathcal A}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$Seja $f:X\subseteq\R\rightarrow\R$ uma função e seja $a\in X\cap X’$. Diz-se que $f(x)$ é derivável no ponto $a$ se existe
$$
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h.
$$
Neste caso o limite é chamado de derivado de $f(x)$ no ponto $a$ e é denotado por $f'(a)$. Se $f(x)$ é derivável em todos os pontos $a\in X$, então a função $f(x)$ é dito derivável. Neste caso, pode-se definir uma nova função $f’:X\rightarrow\R$ com a regra $a\mapsto f'(a)$. A função $f'(x)$ é chamada a função derivada de $f$.
Lema. Se $f:X\rightarrow\R$ é derivável em um ponto $a\in X\cap X’$, então $f$ é contínua neste ponto.
Demonstração. Assuma que $f(x)$ é derivável no ponto $a$. Isto implica que
$$
\lim_{x\rightarrow a}(f(x)-f(a))=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)=f'(a)\lim_{x\rightarrow a}(x-a)=0.
$$
Portanto $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ que implica que $f(x)$ é contínua em $a$.
Similarmente à derivada, pode-se definir as derivadas laterais de $f:X\subseteq\R\rightarrow\R$. Assuma que $a\in X\cap X’_+$. Se existir o limite
$$
\lim_{x\rightarrow a+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
$$
ele é dito derivada lateral à direita de $f(x)$ no ponto $a$. A derivada lateral à esquerda pode ser definida analogamente.
Teorema. Sejam $f,g:X\subseteq\R\rightarrow\R$ funções deriváveis no ponto $a\in X\cap X’$. As seguintes são válidas
- $f(x)+g(x)$ é derivável no ponto $a$ e $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$.
- $\alpha f(x)$ é derivável no ponto $a$ e $(\alpha f)'(a)=\alpha f'(a)$.
- $f(x)g(x)$ é derivável no ponto $a$ e $(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$.
- Se $g(x)\neq 0$ para todo $x\in X$, então $1/g(x)$ é derivável no ponto $a$ e $(1/g)'(a)=-g'(a)/g(a)^2$.
Demonstração. Demonstraremos apenas a afirmação 3. Considere
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}&=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}\\&=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)g(x)-f(a)g(x)+f(a)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}\\&=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)(f(x)-f(a))+f(a)(g(x)-g(a))}{x-a}\\&=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)(f(x)-f(a))}{x-1}+\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(a)(g(x)-g(a))}{x-a}\\&=&g(a)f'(a)+f(a)g'(a).
\end{eqnarray*}
Teorema. Sejam $f:X\rightarrow Y$ e $g:Y\rightarrow\R$ funções e assuma que $a\in X\cap X’$ e $b=f(a)\in Y\cap Y’$. Se $f$ é derivável no ponto $a$ e $g$ é derivável no ponto $b$, então $g\circ f$ é derivável no ponto $a$ e $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)$.
Demonstração. Seja $(x_n)$ uma sequência com $x_n\in X\setminus\{a\}$ e $x_n\rightarrow a$. Ponha $y_n=f(x_n)$. Sejam
$$
N_1=\{n\in\N^+\mid f(x_n)\neq f(a)\}
$$
e
$$
N_2=\{n\in\N^+\mid f(x_n)=f(a)\}.
$$
Se $n\in N_1$, então
$$
\frac{g(f(x_n))-g(f(a))}{x_n-a}=\frac{g(y_n)-g(b)}{y_n-b}\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}.
$$
Portanto, se $N_1$ é infinito, então
$$
\lim_{n\in N_1,n\rightarrow\infty}\frac{g(f(x_n))-g(f(a))}{x_n-a}=g'(b)f'(a).
$$
Similarmente, se $N_2$ é infinito, então $f'(a)=0$, e
$$
\lim_{n\in N_2,n\rightarrow\infty} \frac{g(f(x_n))-g(f(a))}{x_n-a}=0=g'(f(a))f'(a)
$$
Portanto, em qualquer hipótese vale que
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{g(f(x_n))-g(f(a))}{x-a}=g'(b)f'(a).
$$.
Como a sequência $(x_n)$ foi escolhido arbitrariamente,
$$
\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}=g'(b)f'(a).
$$
Corolário. Seja $f:X\rightarrow Y$ uma bijeção com inversa $g:Y\rightarrow X$. Assuma que $f(x)$ é derivável em $a\in X\cap X’$ e $g(y)$ é contínua em $b=f(a)$. Então $g$ é derivável no ponto $b$ se e somente se $f'(a)\neq 0$. Neste caso $g'(b)=1/f'(a)$.
Demonstração. Verifiquemos primeiro que $b\in Y\cap Y’$. Claramente, $f(a)=b\in Y$. Como $x\in X’$, existe uma sequência $(x_n)$ tal que $x_n\in X\setminus\{a\}$ e $x_n\rightarrow a$. Como $f$ é injetiva e contínua no ponto $a$, temos que $f(x_n)\neq f(a)=b$ e que $f(x_n)\rightarrow b$. Portanto $b\in Y’$.
Assuma que $g$ é derivável no ponto $b$. Neste caso $g\circ f=\mbox{id}_X$, e então $(g\circ f)'(a)=1$. Por outro lado, a regra da cadeia nos fornece,
$$
1=(g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a).
$$
Portanto, $g'(b)=g'(f(a))=1/f'(a)$.
Reciprocamente, assuma que $f'(a)\neq 0$. Seja $y_n\in Y\setminus\{b\}$ uma sequência de pontos tal que $y_n\rightarrow b$. Como $g$ é contínua em $b$, obtemos que $x_n\rightarrow g(b)=a$ onde $x_n=g(y_n)$. Portanto,
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{g(y_n)-g(b)}{y_n-b}&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{y_n-b}{g(y_n)-g(b)}\right)^{-1}\\&=&
\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{y_n-b}{g(y_n)-g(b)}\right)^{-1}\\&=&
\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}\right)^{-1}=1/f'(a).
\end{eqnarray*}
Logo existe $g'(b)$ e é igual a $1/f'(a)$.
Teorema. Seja $f:X\rightarrow\R$ uma função derivável no ponto $a\in X\cap X’_+$ com $f’_+(a)>0$. Então existe $\delta>0$ tal que se $x\in(a,a+\delta)$, então $f(a)<f(x)$.
Demonstração. Temos
$$
\lim_{x\rightarrow a+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f’_+(a)>0.
$$
Usando a definição de limite com $\varepsilon =f’_+(a)/2$, obtemos que existe $\delta>0$ tal que $(f(x)-f(a))(x-a)>0$ se $x\in(a,a+\delta)$. Se $x$ é tal número real, então $x-a>0$ e segue que $f(x)-f(a)>0$; ou seja $f(x)>f(a)$.
Pode-se demonstrar analogamente o seguinte teorema.
Teorema. Seja $f:X\rightarrow\R$ uma função derivável no ponto $a\in X\cap X’_-$ com$ f’_-(a)>0$. Então existe $\delta>0$ tal que se $x\in(a-\delta,a)$, então $f(x)<f(a)$.
Corolário. Se $f:X\rightarrow\R$ é uma função monótona e não crescente [não decrescente], então as suas derivadas laterais (onde existem) são não positivos [não negativos].
Corolário. Seja $f:X\rightarrow\R$ e $a\in X\cap X’_+\cap X’_-$. Se $f'(a)>0$, então existe $\delta>0$ tal que tal que se $a-\delta<x<a<y<a+\delta$, então $f(x)< f(a)<f(y)$.
Corolário. Seja $f:X\rightarrow\R$ e $a\in X\cap X’_+\cap X’_-$ tal que $f(x)$ é derivável em $a$. Se $f(x)$ possui um máximo (ou mínimo) local em $a$, então $f'(a)=0$.
