$\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\A}{\mathcal A}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$
1. Determina os limites das seguintes funções em todo ponto $a\in X’$.
- $f:\R\rightarrow \R$, $f(x)=x^n$ (com $n\in\N^+$).
- $f:[0,\infty)\rightarrow\R$, $f(x)=\sqrt x$.
- $f:\R\rightarrow\R$, $f(x)=[x]$ onde $[x]$ é a parte inteira de $x$. Ou seja, $[x]$ é o maior inteiro tal que $[x]\leq x$.
- $f:\R\rightarrow\R$, $f(x)=0$ se $x\in\Q$, $f(x)=1$ se $x\in\R\setminus\Q$.
- $f:\R\rightarrow\R$, $f(x)=0$ se $x\in\Q$, $f(x)=x$ se $x\in\R\setminus\Q$.
- $f:\R\setminus\{0\}\rightarrow \R$, $f(x)=x/|x|$.
- $f:\R\setminus\{-2\}\rightarrow\R$, $f(x)=(x^2+3x+2)/(x+2)$.
2. Seja $f:\R\rightarrow\R$ a função definida por $f(x)=0$ se $x\in\R\setminus\Q$ e $f(x)=1/q$ se $x\in\Q$ tal que $x=p/q$ com $\mbox{mdc}(p,q)=1$ e $q> 0$. Demonstra que $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$ se $a\in\R\setminus\Q$, enquanto $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ não existe se $a\in Q$. [Dica: veja o argumento no livro de Elon.]
3. Demonstre os resultados que foram apresentados na aula, mas as demonstrações foram omitidas.
4. Mostre, exibindo um contraexemplo, que a condição que $\lim_{y\rightarrow b}g(y)=g(b)$ é necessária no resultado sobre o limite da composição de funções.
5. Enuncie e demonstre os resultados sobre limite de funções apresentados na aula para limites laterais.
