$\newcommand{\N}{\mathbb N}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$ $\newcommand{\R}{\mathbb R}$
1. Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$ séries convergentes tais que $\sum a_n=a$ e $\sum b_n=b$. Demonstre as seguintes:
- $\sum(a_n + b_n)=a+b$;
- $\sum(\alpha a_n)=\alpha a$;
- $\sum (a_nb_n)$ não é necessariamente igual a $ab$.
2. Define para $x\in\R$ as seguintes funções.
- $e(x)=\sum_{n\geq 0}x^n/n!$;
- $s(x)=\sum_{n\geq 0}(-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!$;
- $c(x)=\sum_{n\geq 0}(-1)^n x^{2n}/(2n)!$;
- $sh(x)=\sum_{n\geq 0}x^{2n+1}/(2n+1)!$;
- $ch(x)=\sum_{n\geq 0}x^{2n}/(2n)!$.
Demonstre que essas funções são bem definidas no sentido que as séries são convergentes para todo $x\in\R$. Demonstre que as séries são absolutamente convergentes.
3. Decide quais das seguintes séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes, ou divergentes.
- $\sum_{n\geq 1} 1/n$;
- $\sum_{n\geq 1} 1/n^2$;
- $\sum_{n\geq 4} 1/(n-3)$;
- $\sum_{n\geq 1} 1/(n^2+2)$;
- $\sum_{n\geq 1} 1/3^n$;
- $\sum_{n\geq 1} 1/(3^n+1)$;
- $\sum_{n\geq 1} 1/\ln n$;
- $\sum_{n\geq 1} n^2/(n^4+2)$;
- $\sum_{n\geq 1} n\cdot\mbox{sen}^2\,n/(n^3+1)$;
- $\sum_{n\geq 1} 1/(n!)$;
- $\sum_{n\geq 1} 1/((2n)!)$;
- $\sum_{n\geq 1} n!/((2n)!)$;
- $\sum_{n\geq 1} (2n)!/(n!(n+1)!)$;
- $\sum_{n\geq 1} 1/(r^n n!)$ com $r>1$;
- $\sum_{n\geq 1} (-1)^n/(2^n)$;
- $\sum_{n\geq 1} (-1)^n/(2n)$;
- $\sum_{n\geq 1} (-1)^n(1+1/n^2)$;
- $\sum_{n\geq 1} (-1)^n/(n^4+7)$.
4. Seja $\sum_{n\geq 0}a_n$ uma série condicionalmente convergente e defina $$ p_n=\left\{\begin{array}{ll} a_n & \mbox{se $a_n\geq 0$}\\ 0 & \mbox{se $a_n<0$}\end{array}\right. $$ e $$ q_n=\left\{\begin{array}{ll} -a_n & \mbox{se $a_n< 0$}\\ 0 & \mbox{se $a_n\geq 0$}\end{array}\right. $$ Demonstre que as séries $\sum p_n$ e $\sum q_n$ são divergentes.
5. Seja $\sum_{n\geq 0}a_n$ uma série condicionalmente convergente e seja $c\in\{\infty,-\infty\}$. Esboçe uma reordenação $\sum a_{\varphi(n)}$ da série $\sum a_n$ tal que $\sum a_{\varphi(n)}=c$.
