$\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\R}{\mathbb R}$Seja $\sum a_n$ uma série. Se $\pi:\N\rightarrow\N$ é uma bijeção e $b_n=a_{\pi(n)}$ para todo $n\in\N$, então $\sum b_n$ é uma outra série.A série $\sum b_n$ é chamada de uma reordenação de $\sum a_n$ Pode-se perguntar se $\sum b_n$ é convergente ou divergente.
Uma série $\sum a_n$ chama-se comutativamente convergente se, para toda bijeção $\pi:\N\rightarrow\N$, a série $\sum a_{\pi(n)}$ é convergente e o limite $\sum a_{\pi(n)}$ é igual ao limite de $\sum a_n$.
Seja $\sum a_n$ uma série. Defina
$$
p_n=\left\{\begin{array}{ll} a_n & \mbox{se $a_n\geq 0$};\\
0 & \mbox{no caso contrário.}\end{array}\right.$$
Similarmente, seja
$$
q_n=\left\{\begin{array}{ll} -a_n & \mbox{se $a_n<0$};\\
0 & \mbox{no caso contrário.}\end{array}\right.
$$
Tem-se que $a_n=p_n-q_n$ e $|a_n|=p_n+q_n$ e pode-se considerar $\sum p_n$ e $\sum q_n$ como séries. Estas séries são chamadas da parte positiva e da parte negativa de $\sum a_n$.
Lemma. Seja $\sum a_n$ uma série convergente. Então $\sum a_n$ é absolutamente convergente se e somente se $\sum p_n$ e $\sum q_n$ são convergentes. Neste caso $\sum p_n-\sum q_n=\sum a_n$.
Demonstração. Assuma que $\sum a_n$ é absolutamente convergente. Então a sequência $s_n=|a_0|+\cdots+|a_n|$ é limitada. Por outro lado
$$
\sum_{i=0}^n (p_i+q_i)=\sum_{i=0}^n |a_i|.
$$
Portanto a sequência $(\sum_{i=0}^n (p_i+q_i))_n$ é limitada. Isto implica que as sequências $\left(\sum_{i=0}^n p_i\right)_n$ e $\left(\sum_{i=0}^n q_i\right)_n$ são também limitadas, e as séries $\sum p_n$ e $\sum q_n$ são convergentes.
Deixamos ao leitor verificar que se $\sum a_n$ é condicionalmente convergente então ambas $\sum p_n$ e $\sum q_n$ são divergentes.
Finalmente, verifiquemos que $\sum a_n=\sum p_n-\sum q_n$ quando $\sum a_n$ é absolutamente convergente. Note que
\begin{eqnarray*}
\sum p_n-\sum q_n&=&\lim \sum_{i=0}^n p_i-\lim \sum_{i=0}^n q_i\\&=&\lim \left(\sum_{i=0}^n p_i-\sum_{i=0}^n q_i\right)\\&=&\lim\sum_{i=0}^n(p_i-q_i)=\lim \sum_{i=0}^n a_i=\sum a_n.
\end{eqnarray*}
$\Box$
Teorema. Se $\sum a_n$ é absolutamente convergente, então $\sum a_n$ é comutativamente convergente.
Demonstração. Assuma que $\sum a_n$ é absolutamente convergente. Considere primeiro o caso quando $a_n\geq 0$. Seja $\pi:\N\rightarrow\N$ uma bijeção e seja $b_n=a_{\pi(n)}$. Afirmamos que $\sum a_n=\sum b_n$. Defina $s_n=a_0+\cdots+a_n$ e $t_n=b_0+\cdots +b_n$. Seja $n\geq 1$ e seja $m$ o maior entre $\pi(1),\ldots,\pi(n)$. Logo $\{\pi(1),\ldots,\pi(n)\}\subseteq \{1,\ldots,m\}$. Portanto
$$
t_n=\sum_{i=0}^n b_i=\sum_{i=0}^n a_{\pi(i)}\leq \sum_{i=0}^m a_i\leq s_m.
$$
Este argumento mostra que para todo $n\in\N$ existe $m\in \N$ tal que $t_n\leq s_m$. Como $s_n$ é uma sequência limitada, $t_n$ também é limitada, portanto $t_n$ é convergente. Isto implica que $\sum b_n$ é convergente e que $\sum b_n\leq \sum a_n$.
Note que o mesmo argumento implica que para todo $n\in\N$ existe um $r\in\N$ tal que $s_n\leq t_r$. Logo $\sum a_n\leq \sum b_n$ e $\sum a_n=\sum b_n$.
Considere agora uma série geral $\sum a_n$ e assuma que ela é absolutamente convergente. Sejam $\sum p_n$ e $\sum q_n$ a parte positiva e a parte negativa. Temos pela discussão acima que $\sum p_n$ e $\sum q_n$ são séries convergentes e $\sum a_n=\sum p_n-\sum q_n$. Uma reordenação $\sum a_{\pi(n)}$ de $\sum a_n$ induz as reordenações $\sum p_{\pi(n)}$ de $\sum p_n$ e $\sum q_{\pi(n)}$ de $\sum q_n$. Pelo parágrafo anterior
$$
\sum a_{\pi(n)}=\sum p_{\pi(n)}-\sum q_{\pi(n)}=\sum p_n-\sum q_n=\sum a_n.
$$
$\Box$
A recíproca deste teorema está também válida.
Teorema (Riemann). Seja $\sum a_n$ uma série condicionalmente convergente e seja $c\in\R\cup\{\infty,-\infty\}$. Então existe uma reordenação $\sum a_{\pi(n)}$ tal que $\sum a_{\pi(n)}=c$.
Demonstração. Veja no livro de Elon.
Dadas duas séries $\sum_{n\geq 0} a_n$ e $\sum_{n\geq 0} b_n$ definimos o produto $(\sum a_n)(\sum b_n)$ como a série $\sum c_n$ cujos termos são
$$
c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_{n-1}b_1+a_nb_0=\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}.
$$
Exercício. Sejam $x,\ y\in\R$ e considere as séries $\sum_{n\geq 0} x^n/n!$ e $\sum_{n\geq 0} y^n/n!$. Então
$$
\left(\sum_{n\geq 0}\frac {x^n}{n!}\right)\left(\sum_{n\geq 0}\frac {y^n}{n!}\right)=\sum_{n\geq 0}\frac{(x+y)^n}{n!}.
$$
Teorema. Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$ duas séries absolutamente convergentes e assuma que $\sum a_n=a$ e $\sum b_n=b$. Então $\left(\sum a_n\right)\left(\sum b_n\right)$ é absolutamente convergente e
$$
\left(\sum a_n\right)\left(\sum b_n\right)=ab.
$$
Demonstração. Seja
$$
x_n=\sum_{i=0}^n(a_ib_n)+\sum_{j=0}^{n-1} (a_nb_j).
$$
Note que
$$
\sum_{i=0}^n x_i=\left(\sum_{i=0}^n a_i\right)\left(\sum_{j=0}^n b_j\right).
$$
Portanto,
$$
\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=0}^n x_i= \left(\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=0}^n a_i\right)\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j=0}^n b_j\right)=ab.
$$
Logo $\sum x_n=ab$.
Afirmamos que a série $\sum x_n$ é absolutamente convergente. De fato,
$$
\sum_{i=0}^n |x_i|\leq \left(\sum_{i=0}^n |a_i|\right)\left(\sum_{j=0}^n |b_j|\right).
$$
Como $\sum a_n$ e $\sum b_n$ são absolutamente convergentes, as sequências $\sum_{i\leq n}|a_i|$ e $\sum_{j\leq n}|b_j|$ são limitadas, e $\sum_{i\leq n} |x_i|$ é também limitada. Portanto $\sum x_n$ é absolutamente convergente.
Seja $c_n$ o termo geral do produto $\left(\sum a_n\right)\left(\sum b_n\right)$ e observe que a série $\sum c_n$ pode ser obtida de $\sum x_n$ por uma reordenação dos termos. Como $\sum x_n$ é absolutamente convergente, $\sum c_n$ é absolutamente convergente e $\sum c_n=\sum x_n=ab$.
O estudo de séries trata de somas infinitas. Nós definimos o valor da soma infinita pelo limite das somas parciais, mas esta não é a única definição sensível; veja por exemplo este episódio do canal Mathologer.
