$\newcommand{\N}{\mathbb N}$
Teorema (Teste da raiz). Se existirem $0\leq c<1$ e $n_0\in\N$ tal que $\sqrt[n]{|a_n|}\leq c$ para todo $n\geq n_0$, então a série $\sum a_n$ é absolutamente convergente. Em particular, se $\limsup \sqrt[n]{|a_n|}<1$, então a série é absolutamente convergente.
Demonstração. As condições do teorema implicam que $|a_n|\leq c^n$ para todo $n\geq n_0$. Como $0\leq c<0$, temos que $\sum c^n$ é convergente. Pelo teorema da comparação, $\sum |a_n|$ é convergente, logo $\sum a_n$ é absolutamente convergente.
Assuma que $a:=\limsup \sqrt[n]{|a_n|}<1$. Seja $\varepsilon=(1-a)/2$. Então $a+\varepsilon<1$. Por um exercício anterior, existe $n_0\in\N$ tal que $\sqrt[n]{|a_n|}\leq a+\varepsilon$. Pelo parágrafo anterior, $\sum a_n$ é absolutamente convergente.$\Box$
Note que as condições do teorema anterior são válidas quando existe $\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ e este limite é menor que um.
Exercício. Demonstre que se existem infinitos índices $n$ tal que $\sqrt[n]{|a_n|}\geq 1$, então a série $\sum a_n$ diverge.
No caso $\lim\sqrt{|a_n|}=1$ não pode-se decidir usando o teste da raiz se a série diverge ou converge. Por exemplo, a série $\sum(1/n)$ diverge, enquanto $\sum(1/n^2)$ converge. Por outro lado,
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{(1/n)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{(1/n^2)}=1.
$$
Teorema (Teste da razão). Assuma que $\sum a_n$ é uma série com $a_n\neq 0$. Assuma que existe um $n_0\in \N$ e $0<c<1$ tal que $|a_{n+1}|/|a_n|\leq c$ para todo $n\geq n_0$. Então a série $\sum a_n$ converge absolutamente. Em particular, se $\limsup |a_{n+1}|/|a_n|<1$, então a série $\sum a_n$ é absolutamente convergente.
Demonstração. Se $n\geq n_0$, temos que
$$
\frac{|a_{n_0+1}|}{|a_{n_0}|}\leq c,\ \frac{|a_{n_0+2}|}{|a_{n_0+1}|}\leq c,\ldots,\frac{|a_{n}|}{|a_{n-1}|}\leq c,
\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}\leq c.
$$
Multiplicando estas desigualdades, obtemos que
$$
\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n_0}|}=\frac{|a_{n_0+1}|}{|a_{n_0}|}\frac{|a_{n_0+2}|}{|a_{n_0+1}|}\cdots \frac{|a_{n}|}{|a_{n-1}|} \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}\leq c^{n-n_0+1}
$$
Portanto,
$$
|a_{n+1}|\leq c^{n-n_0+1}|a_{n_0}|=c^{n+1}(|a_{n_0}|/c^{n_0}).
$$
Como $0<c<1$, segue da Teste da Comparação que $\sum a_n$ é absolutamente convergente.
A afirmação sobre o $\limsup$ pode ser verificada como no caso do teste da raiz.
Como no caso do teste da raiz, podemos também afirmar que se $\lim |a_{n+1}|/|a_n|<1$, então a série é convergente. Se $\lim |a_{n+1}|/|a_n|=1$, então a série pode ser convergente ou divergente; considere as séries $\sum (1/n)$ e $\sum (1/n^2)$.
Exercício. Assuma que existem infinitos índices $n$ tal que $|a_{n+1}|/|a_n|\geq 1$. Demonstre que a série $\sum a_n$ é divergente.
Lema. Seja $(a_n)$ uma sequência limitada de números reais positivos. Então
$$
\liminf \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \liminf \sqrt[n]{a_n}\leq \limsup \sqrt[n]{a_n}\leq \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n}.
$$
Demonstração. Só precisa-se demonstrar a primeira e a terceira desigualdade. Nós demonstraremos a primeira. A terceira fica como exercício. Assuma por absurdo que $\liminf \frac{a_{n+1}}{a_n}> \liminf \sqrt[n]{a_n}$. Então existe um número $c$ tal que $\liminf \sqrt[n]{a_n}<c<\liminf \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Isto quer dizer que existe $n_0$ tal que
$c\leq {a_{n+1}}/{a_n}$ para todo $n\geq n_0$. Logo
$$
c\leq \frac{a_{n_0+1}}{a_{n_0}},\ldots, c\leq \frac {a_{n+1}}{a_{n}}.
$$
Multiplicando estas desigualdades, obtemos que $c^{n-n_0+1}\leq a_{n+1}/a_{n_0}$; ou seja
$$
a_{n+1}\geq c^{n-n_0+1}a_{n_0}=(a_{n_0}/c^{n_0})c^{n+1}.
$$
Tomando $(n+1)$-ésima raiz e $\liminf$, obtemos que $\liminf\sqrt[n]{a_n}\geq c$, que é uma contradição.
Teorema (Dirichlet). Seja $\sum a_n$ uma série tal que as reduzidas $s_n=a_1+\cdots+a_n$ formam uma sequência limitada. Seja $(b_n)$ uma sequência não crescente de números positivos com $\lim b_n=0$. Então a série $\sum (a_nb_n)$ é convergente.
Demonstração. Temos que
\begin{eqnarray*}
t_n&=&a_1b_1+\cdots+a_nb_n\\
&=&a_1(b_1-b_2)+(a_1+a_2)(b_2-b_3)\\&+&(a_1+a_2+a_3)(b_3-b_4)+\cdots
+(a_1+\cdots+a_n)b_n\\
&=&s_1(b_1-b_2)+s_2(b_2-b_3)+s_3(b_3-b_4)+\cdots +s_nb_n\\
&=&\sum_{n=2}^n s_{i-1}(b_{i-1}-b_i)+s_nb_n.
\end{eqnarray*}
Note que a série $\sum_{n\geq 2}(b_{i-1}-b_i)$ ´é convergente e a sequência $s_n$ é limitada, Portanto segue da testa da comparação que $\sum_{n=2}^n s_{i-1}(b_{i-1}-b_i)$ é absolutamente convergente. Isto implica que $a_1b_1+\cdots+a_nb_n$ é convergente. Além disso, como $(s_n)$ é limitada e $b_n\rightarrow 0$, tem-se que $\lim s_nb_n=0$ e portanto a série $\sum (a_nb_n)$ é convergente.
O Teorema de Dirichlet implica imediatamente o Teorema de Leibniz e o Teorema de Abel.
Teorema (Leibniz). Se $(b_n)$ é uma sequência não crescente com $\lim b_n=0$, então a série $\sum (-1)^nb_n$ é convergente.
Teorema (Abel). Se $\sum a_n$ é convergente e $(b_n)$ é uma sequência não crescente de números positivos, então $\sum (a_nb_n)$ é convergente.
