Resumos dos Pôsteres
Abraham Rojas Vega
ICMC-USP
Algebraic applications of intersection homology
Intersection Homology was initially developed with the intention of generalizing properties of smooth complex manifolds to singular complex varieties, for instance, Poincaré Duality (and all the Kähler package). This objective was achieved with Deligne’s axiomatic approach, based on derived categories and perverse sheaves. We present this approach and how it is used to generalize the “smooth” properties, and also some applications of Intersection Homology to the arithmetic of algebraic varieties over finite fields, and to Mirror Symmetry.
Arthur Fernandes Papa Pereira
UFMG
Digraphs of power maps over finite nilpotent groups
Given a finite group $G$ and an integer $t$, let $\Gamma_t(G)$ be the directed graph with vertex set $G$ and directed edges $g\to g^t, g\in G$. In this work we provide some results connecting the graph structure of $\Gamma_t(G)$ and the algebraic properties of $G$. In particular, we prove that nilpotent groups are precisely the class of groups yielding a special symmetry on the graphs $\Gamma_t(G)$ that has appeared several times in the literature (considering functions over various algebraic structures). We also show that if $G$ is a finite nilpotent group and, for the prime divisors $p_1,\cdots, p_r$ of the order of $G$, the unique Sylow $p_i$-subgroup of $G$ is a regular $p_i$ group, then there exists an abelian group $A$ such that $\Gamma_t(G)\cong\Gamma_t(A)$ for every $t\in \mathbb{Z}$.
Douglas Vilela de Paiva Silva
UFMG
Introdução e apresentação do grupo de tranças de Artin
O grupo de tranças introduzido por Artin aparece naturalmente como o grupo fundamental do espaço de configurações de pontos no Plano, criando assim uma ponte natural entre a álgebra do grupo de tranças e a topologia algébrica do espaço de configurações. Nesse trabalho, introduziremos a parte mais algébrica por trás de tais conceitos bem como exibiremos um resultado também de Artin, de uma apresentação explícita desse grupo.
Janaíne Geralda Mesquita Martins
UFMG
A superfície de Togliatti e propriedades de Lefschetz
Dizemos que uma variedade satisfaz uma equação de Laplace de ordem $d$, para um inteiro $d \geq 2$, se seu plano osculador de ordem $d$ em um ponto geral possui dimensão estritamente menor que a esperada. Classificar variedades suaves que satisfazem pelo menos uma equação de Laplace é um problema de longa data em geometria algébrica e diferencial, como pode ser visto por exemplo em [1] e [2] onde Eugenio Togliatti prova que existe um, e apenas um exemplo de superfície racional $S$ em P$^5$ parametrizada por cúbicas e satisfazendo uma equação de Laplace de ordem $2$, conhecida como Superfície de Togliatti. Neste trabalho vamos apresentar a Superfície de Togliatti e explorar a sua relação com ideais artinianos que falham a propriedade de Lefschetz fraca (WLP).
Bibliografia
[1] E. Togliatti, Alcuni esempi di superfici algebriche degli iperspazi che rappresentano un’equazione di Laplace, Comm. Math. Helvetici 1 (1929), 255-272.
[2] E. Togliatti, Alcune osservazioni sulle superfici razionali che rappresentano equazioni di Laplace, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 25 (1946) 325-339.
Jesús Eduardo Berdugo De La Ossa
UnB
Versão pro-p dos Teoremas de Rips-Sela
Nessa apresentação vamos explicar a versão pro-p dos Teoremas de Rips-Sela sobre descomposição como um produto livre amalgamado ou HNN-extensão sobre um grupo pro-cíclico. Além disso alguns resultados sobre commensurador e algumas aplicações.
João Matheus Jury Giraldi
UFRGS
Nichols algebras that are quantum planes
Recently, in [Prop. 4.8, 4.9][GGi], braided vector spaces $(V, c)$ of dimension 2 and non-diagonal type were found but such that the Nichols algebras are quantum planes. Consequently, the following question arises naturally: classify all the Nichols algebras (of rigid braided vector spaces) that are isomorphic to quantum linear spaces as algebras.
In this work, we solve this question for quantum planes. More specically, the classication of the solutions of the quantum Yang-Baxter equation had already been performed by J. Hietarinta when $\dim V = 2$ [Hi]. Thus, we consider the associated braided vector spaces and compute the quadratic relations. Therefore, we classify all these Nichols algebras that have at least one quadratic relation. This is a joint work with N. Andruskiewitsch [AGi].
Bibliografy
[AGi ] N. Andruskiewitsch and J. M. J. Giraldi. Nichols algebras that are quantum planes, Linear Multilinear Algebra 66 (5), 961-99.
[GGi ] G. A. García and J. M. J. Giraldi, On Hopf Algebras over quantum subgroups, Journal of Pure and Applied Algebra. 223 (2), 738-768.
[Hi ] J. Hietarinta. Solving the two-dimensional constant quantum Yang-Baxter equation, J. Math. Phys. 34, (1993).
Juan Antonio Pacheco Cruz
UFMG
Identidades e polinômios centrais da álgebra de matrizes de ordem 2 com involução graduada
Dado $F$ um corpo infinito e $M_{1,1}(F)$ a álgebra de matrizes de ordem 2 sobre $F$ munida da graduação não trivial, consideramos $ * $ uma involução definida em $M_{1,1}(F)$ que preserva as componentes homogêneas desta graduação. Nesta apresentação, estudaremos a $ * $-superálgebra $M_{1,1}(F)$ e determinaremos os geradores do ideal formado pelos $(\mathbb{Z}_2,$ * $)$-identidades, considerando que $F$ é de característica zero e enunciaremos explicitamente os geradores do espaço formados pelos $(\mathbb{Z}_2,*)$-polinômios centrais quando $F$ possui característica diferente de 2.
Juliana Borges Pedrotti
UFRGS
Characterizing the Azumaya-Galois extension in groupoids context
Let $\mathcal{G}$ be a finite groupoid, $R$ a $\beta$-Galois extension of $R^{\beta}$, $C$ the center of $R$ and $H$ be a suitable subgroupoid of $\mathcal{G}$. In this work we will characterized an Azumaya $\beta_{H}$-Galois extension $R$ using $R_{H}=\bigoplus_{h \in H} J_h$, where $J_h$ is a determined $C$-submodule of $R$.
Leonardo Duarte Silva
UFRGS
Exemplos de Álgebras de Nichols provenientes de soluções da Equação de Yang-Baxter em dimensão 3
Álgebras de Nichols têm sido um importante objeto de estudo dentro do programa de classificação de álgebras de Hopf. Dado um espaço vetorial trançado (rígido) $(V,c)$, a álgebra de Nichols $\mathfrak{B}(V)$ é uma álgebra de Hopf trançada na categoria dos módulos de Yetter-Drinfeld ${}^H_H \mathcal{YD}$, para alguma álgebra de Hopf $H$, e com isso $\mathfrak{B}(V)$#$H$ é então uma álgebra de Hopf. Como espaços vetoriais trançados estão em correspondência com soluções da Equação de Yang-Baxter (YBE), nós utilizamos as soluções triangulares superiores da YBE em dimensão 3 obtidas por Hietarinta em [2] para calcular novos exemplos de álgebras de Nichols $\mathfrak{B}(V)$. Este trabalho é uma continuação de [1], e foi realizado em colaboração com João M. J. Giraldi (UFRGS).
Bibliografia
[1] Andruskiewitsch, N., Giraldi, J. M. J. (2018). Nichols algebras that are quantum planes. Linear Multilinear Algebra 66(5):961-991.
[2] Hietarinta, J. (1993). The upper triangular solutions to the three-state constant quantum Yang-Baxter equation. J. Phys. A: Math. Gen. 26(23):7077?7095.
Lorena Mara Costa Oliveira
UFSJ
$(G,\ast)$-variedades de crescimento quase polinomial
Em 2016 Giambruno, dos Santos e Vieira, classificaram as $(C_2,\ast)$-álgebras de crescimento quase polinomial, onde $C_2$ é o grupo cíclico de ordem dois. Neste pôster, consideramos $G$ um grupo abeliano finito e apresentaremos uma classificação das variedades geradas por $(G,\ast)$-álgebras de dimensão finita de crescimento quase polinomial sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero.
Lucas Henrique Rocha de Souza
UFMG
Topological characterizations of some boundaries of relatively hyperbolic group
The topology of a Bowditch boundary of a relatively hyperbolic group (with respect to a set of parabolic subgroups) has its importance, not only as an invariant for the group, but as a way to encode algebraic information about it, such as decompositions of the group as graphs of groups or if the group is a group of isometries of some good Riemannian manifold, for example.
We show some cases where it is possible to characterize topologically a Bowditch boundary. In particular, we show that some groups have a Bowditch boundary homeomorphic to the $n$-dimensional Sierpinski Carpet.
Reyssila Franciane Dutra do Nascimento Vieira
UFMG
$(C_k, *)$-álgebras e $(C_2 \times C_2, *)$-álgebras com multiplicidades limitadas por um
Em 1976, Ananin e Kemer caracterizaram álgebras cujas multiplicidades na decomposição do cocaracter são limitadas por 1 via identidades. Em 2009, Giambruno e Mishchenko provaram a extensão desse resultado para o caso de superálgebras e *-álgebras. Em 2018, Giambruno, Polcino Milies e Valenti, estenderam o resultado de Ananin e Kemer para álgebras graduadas por um grupo abeliano finito e, em 2021, Martino apresentou a caracterização para superálgebras com involução graduada. Com base nesses resultados, provamos a extensão do resultado dado por Ananin e Kemer para a classe das álgebras $C_k$-graduadas e $C_2 \times C_2$-graduadas munidas de involução graduada.
Bibilografia
[1] Ananin, A. Z., Kemer, A. R. Varieties of associative algebras whose lattices of subvarieties are distributive; (Russian) Sibirsk. Mat. Z. 17(4), 723 - 730 (1976).
[2] Giambruno, A., Mishchenko, S. Super-cocharacter, star-cocharacters and multiplicities bounded by one; manuscripta mathematica 128, 483 - 504 (2009).
[3] Giambruno, A., Polcino Milies, C., Valenti, A., Cocharacters of group graded algebras and multiplicities bounded by one; Linear and Multilinear Algebra 66(8), 1709 - 1715 (2018).
[4] Martino, F. Classifying Algebras with Graded Involutions or Superinvolutions with Multiplicities of their Cocharacter Bounded by One; Algebr Represent Theor 24, 317 - 326 (2021).
Robson Ricardo de Araujo
IFSP
Equivalência entre os problemas Ring-LWE e Polynomial-LWE em alguns corpos de números
Os reticulados, em especial aqueles obtidos via $\mathbb{Z}$-submódulos livres finitamente gerados de anéis de inteiros em corpos de números, têm sido amplamente requisitados há mais de uma década para a criação de protocolos criptográficos pós-quânticos. Nesse contexto destacamos dois problemas de reticulados (algébricos) sobre os quais se baseia a segurança de diversos sistemas criptográficos promissores: o Ring-LWE e o Polynomial-LWE. A diferença entre ambos consiste essencialmente no monomorfismo que transporta a estrutura algébrica (anel de inteiros no primeiro e anel de polinômios no segundo) à estrutura geométrica (reticulados), sendo que o Ring-LWE é realizado via o mergulho canônico e o Polynomial-LWE é baseado no mergulho polinomial. Neste trabalho discutimos resultados recentemente publicados por outros autores sobre famílias de corpos de números em que tais problemas são equivalentes e sua importância no contexto criptográfico, e posteriormente levantamos questões e novas perspectivas relacionadas a esse assunto.
Ronald Ismael Quispe Urure
UFJF
Involutions of the Second Kind for Upper Triangular Matrix Algebras
Let $ UT_n $ be the algebra of all $ n\times n $ upper triangular matrices over a field $ F $ of characteristic different from $ 2 $. In the present work, we will prove that for every automorphism of order $ 2 $ on the field $ F $ there exists, up to isomorphism, a unique involution of the second kind on $ UT_n $ whose restriction to $F$ is the given automorphism. As a consequence, the description of involutions of any kind on $ UT_n $ over a field of characteristic different from $ 2 $ is completed.
Samuel Amador dos Santos Quirino
IME-USP
A functorial approach to Gabriel quiver constructions
In the 60’s, Peter Gabriel presented a famous result, known nowadays as Gabriel’s Theorem, which classified the representations of finite type of a finite dimensional basic (unital associative) algebra (over an algebraically closed field k) in a combinatorial way via Gabriel quiver and the path algebra. These results had a big impact in representation theory and many developments followed over the years. In a joint work with Kostiantyn Iusenko and John MacQuarrie, we define these constructions in a functorial way, which wield an adjucntion and, as corollary, we obtain the important theorem that every pointed pseudocompact algebra is isomorphic to a quotient of a complete path algebra by an admissible ideal. In this talk, I will present a generalization of these results.
Sheucíer Alves de Medeiros
UFJF
Dequantificação e Patchwork na Geometria Tropical
A dequantificação de uma curva algébrica plana real é o processo de associá-la a uma curva tropical. O patchwork é o processo contrário, ou seja, é uma técnica usada para a construção de curvas algébricas reais a partir de curvas tropicais. Apresentaremos neste trabalho uma introdução ao patchwork e uma motivação para o estudo da técnica baseada no 16° problema de Hilbert.
Tiago Henrique dos Reis
UTFPR
Laços de álgebras de evolução
Álgebras de evolução são uma classe de álgebras não associativas que foram introduzidas em 2006 por Tian and Vojtechovsky e tem conexão com diversos campos de pesquisa, tais como teoria de grafos, teoria de grupos, cadeias de Markov, entre outros. Uma característica muito particular dessas álgebra é que elas não são definidas por identidades, mas sim pela existência de uma base com uma certa propriedade, chamada de base natural. Diversos trabalhos recentes utilizam a construção de grafo associado a uma álgebra de evolução, apresentado por Elduque e Labra em 2015, para estudar essas álgebras. Uma das questões acerca da utilização dos grafos associados é que o grafo varia de acordo com a base natural, então é interessante entender quais propriedades das álgebras de evolução são invariantes pela troca de base natural. Neste trabalho, inspirados pela conceito de laço em teoria de grafos, definimos o conjunto de laços de uma álgebra de evolução em relação a uma base natural e apresentamos condições necessárias e suficientes para que a quantidade de laços seja preservada se a base natural é trocada, quando a álgebra é não degenerada.
Valéria Maria Ruela
IME-USP
Introdução às álgebras de Kac-Moody
Esse trabalho faz parte do meu projeto de mestrado intitulado Harish-Chandra módulos sobre álgebras de Lie afim, cujo objetivo final é conhecer a classificação dos módulos de peso com espaço de peso de dimensão finita sobre álgebras de Lie afim. Em primeiro momento, faz-se necessário realizar um estudo sobre a estrutura das álgebras de Kac-Moody, uma vez que as álgebras de Lie afim são uma das três subclasses dessas álgebras.
As álgebras de Kac-Moody são álgebras de Lie complexas de dimensão infinita que estão associadas a matrizes de Cartan generalizadas. Dada essa matriz complexa de ordem $n$, a álgebra é construída como o quociente de uma álgebra auxiliar definida por $3n$ geradores e certas relações por um dado ideal maximal. Embora, haja algumas dificuldades técnicas no caso em que a matriz é singular, sua definição é uma generalização relativamente simples das álgebras de Lie semi-simples, acarretando consideráveis vantagens, como a definição natural de raízes, onde tem-se raízes reais e imaginários, sistemas de raízes e pesos, subálgebras de Cartan e o grupo de Weyl. As álgebras de Kac-Moody se dividem em três subclasses, tipo finito, afim e indefinidas. As do tipo finito coincidem com as álgebras de Lie semi-simples de dimensão finita e estão associadas a matrizes positivas definidas, as do tipo afim estão associadas a matrizes não-singulares cujos menores principais não são nulos, mais especificamente, são positiva semi-definida de posto igual a $n-1$ e as do tipo indefinido estão associadas a matrizes A, tais que Au é negativo, para algum u positivo e se Av e v são não-negativos, então v é um vetor nulo. Para fixarmos as noções, um vetor real é positivo, se todas suas coordenadas são positivas, de modo natural temos a noção de vetor não-negativo.
Em geral, não é possível definir uma forma bilinear simétrica para as álgebras de Kac-Moody, sendo possível nos casos em que a matriz associada é simetrizável, sendo as do tipo finito, afim e hiperbólico, neste último a matriz associada é indecomponível simetrizável e do tipo indefinido. Ao contrário do caso finito, para o tipo afim o grupo de Weyl é um grupo de Coxeter Cristalográfico infinito. Munidos da classificação de todas as matrizes de Cartan generalizadas indecomponíveis do tipo finito e afim temos a classificação desses dois tipos de álgebras por meio dos diagramas de Dynkin associados às matrizes associadas. As álgebras do tipo afim se realizam em dois tipos: como a extensão central da álgebra de Loop de uma álgebra de Lie simples de dimensão finita e é chamada álgebra afim não-torcida e como a chamada álgebra afim torcida, construída por meio de um automorfismo diagramático que fixa um conjunto de pontos da álgebra de Loop. Dessa forma, esse trabalho busca apresentar uma sistematização da construção das álgebras de Kac-Moody, sua classificação e a realização das álgebras afim não-torcidas.
Wesley Gonçalves Lautenschlaeger
UFRGS
Representações Parciais de Grupoide e Álgebras Parciais de Grupoide
Definimos o conceito de representação parcial de grupoide finito em uma álgebra $A$. O objetivo do trabalho é provar que as representações parciais de um grupoide finito $G$ estão em correspondência biunívoca com as representações da álgebra gerada pela expansão de Birget-Rhodes $G^{BR}$ do grupoide $G$.
Wesley Quaresma Cota
UFMG
Graded algebras with group graded involution and $(G, * )$-colength bounded by $3$
The classification of varieties with small colength was widely studied in different contexts. For instance, Giambruno and La Mattina used the representation theory of the symmetric group to classify varieties of algebras with colength bounded by $2$ and latter by $4$. In $2013$, Vieira presented the classification of varieties of superalgebras with $\mathbb{Z}_2$-colength bounded by $2$. In $2018$, La Mattina, Nascimento and Vieira provided the classification to the class of algebras with involution, classifying those varieties of $ * $-colength bounded by $3$. In this work, we consider $G$ to be a finite abelian group and $A$ to be a finite dimensional $(G, * )$-algebra over a field of characteristic zero, i.e. a group-graded algebra endowed with a graded involution $ * $. In particular, if $G$ is the cyclic group or order two, $A$ is called to be a $ * $-superalgebra. The classification of varieties of $*$-superalgebras with $(\mathbb{Z}_2, * )$-colength bounded by $3$ was presented in $2018$ by Nascimento and Vieira. In this poster, we classify $(G, * )$-varieties $\mathcal{V}$ whose $(G, * )$-colength is bounded by $3$, where $G$ is any finite abelian group and $\mathcal{V}$ is generated by a finite dimensional $(G, * )$-algebra, extending the result of Nascimento and Vieira.
Willer Daniel da Silva Costa
UFES
Álgebras unitárias com uma involução graduada ou uma superinvolução de crescimento polinomial
Seja $A$ uma superálgebra munida de uma involução graduada ou uma superinvolução e considere que sua sequência de codimensões seja limitada polinomialmente. Neste trabalho, apresentamos o resultado em [1] que nos garante que, quando $A$ é uma álgebra unitária, então sua sequência de codimensões não é apenas limitada por um polinômio mas é, de fato, um polinômio com coeficientes racionais. Além disso, é verificado que existe uma quantidade finita de valores que o coeficiente líder deste polinômio pode assumir e foram construídos exemplos que realizam o menor e o maior valor possível para este coeficiente líder. Também será apresentado o caso particular onde $A$ possui crescimento quadrático. Neste caso específico, foi possível exibir exemplos de superálgebras unitárias munidas de uma involução graduada ou de uma superinvolução que realizam cada valor possível do coeficiente líder do polinômio que descreve a sequência de codimensões de $A$.
Bibliografia
[1] W. D. S. Costa, A. Ioppolo, R. B. dos Santos, A. C. Vieira, Unitary superalgebras with graded involution or superinvolution of polynomial growth, J. Pure Appl. Algebra 225 (2021) 106666