Resumos das Palestras

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Adriana Juzga León

Universidade Federal de Minas Gerais

An introduction to the study of Latin squares

A Latin square of order $n$ is an $n \times n$ array of cells containing entries from an alphabet of size $n$ in which no entry appears more than once in any row or column. Latin squares are widely used in various areas of science, such as quantum mechanics and projective geometry. In the literature it is common to divide the study of Latin squares into three areas: completion, enumeration, and orthogonality. This talk will present an introduction to the study of Latin squares following the third category. It will also show how from the study of the Latin squares and the existence of some subsets of interest in them, various problems related to group theory, loop theory and graph coloring can be studied.

Bibliography

N. J. Cavenagh and J. Kuhl, On the chromatic index of Latin squares, Contrib. Discrete Math. 10 (2015), 22-30.

J. Dénes and A. D. Keedwell, Latin squares and their applications, Elsevier/NorthHolland, Amsterdam, second edition, 2015.

J. Dénes and A. D. Keedwell, Latin squares: New developments in the theory and applications, Ann. Discrete Math., 46, North-Holland, Amsterdam, 1991.

K. C. Halasz, Coloring Cayley tables of finite groups, MSc thesis, Simon Fraser University, 2017.

M. Hall and L. J. Paige, Complete mappings of finite groups, Pacific J. Math. 5 (1955), 541-549.

I. M. Wanless, A generalization of transversals for Latin squares, Electron. J. Combin. 9(1) (2002), #R12.

I. M. Wanless and B. S. Webb, The existence of Latin squares without orthogonal mates, Des. Codes Cryptogr. 40 (2006), 131-135

Aislan Leal Fontes

Universidade Federal de Sergipe

Espaço de Moduli de fibrados estáveis de posto 2 sobre $P^3$ com determinante ímpar

A classificação de fibrados estáveis sobre $P^3$ é um problema clássico em geometria algébrica. Horrocks mostrou que todo fibrado sobre $P^3$ é dado como cohomologia de uma mônada a qual consiste de soma de fibrados em retas. Denote por $\mathcal{B}(e,m)$ o espaço de moduli de fibrados estáveis de posto $2$ sobre $P^3$ com classes de Chern $c_1=e$ e $c_2=m$. Nessa palestra vamos revisar resultados da literatura para $c_1=-1, c_2\leq4$ e na sequência, abordar resultados obtidos recentemente acerca de $\mathcal{B}(e,m)$ para os casos $c_1=-1$ e $c_2=6, 8$. Este trabalho foi realizado em conjunto com Marcos Jardim durante meu pós-doutorado.

Claudemir Fideles Bezerra Jr.

Universidade Estadual de Campinas

A generalization of Cayley-Hamilton algebras and an introduction to their geometries

There are a number of important theorems on the subject of matrix embeddings. Many of these results want to answer the following question: When does a given ring have an embedding into $n \times n$ matrices over some commutative ring? An obvious necessary condition is that the ring must satisfy the polynomial identities of $n \times n$ matrices, but such condition is not sufficient for $n>2$. Procesi proved that an algebra $R$ with trace can be embedded into $n \times n$ matrices over some commutative ring if and only if it satisfies the Cayley-Hamilton identity of degree $n$. Here we recall that the Cayley–Hamilton polynomial of a matrix $a$ can be written as a polynomial whose coefficients are polynomials in the traces of $a^k$, $k\ge 1$. Such algebras are called Cayely-Hamilton algebras, and interestingly enough the image of this embedding coincides with a ring of invariants, suggesting some geometrical applications. The final goal of this talk will be to discuss these applications in algebras far beyond Cayley-Hamilton algebras, and we will present recent results on this topic.

Dafne Bessades

Universidade Estadual de Campinas

Grau mínimo de identidades standard da álgebra de matrizes munida da involução graduada simplética

Seja $F$ um corpo de característica zero e $M_{n}(F)$ a álgebra de matrizes de ordem $n$ sobre $F$. Em 1950, Amitsur e Levitzki estabeleceram que o polinômio standard de grau $2n$ é uma identidade polinomial de grau mínimo de $M_{n}(F)$. Posteriormente, Swan forneceu uma nova e interessante demonstração para o Teorema de Amitsur e Levitzki. Nessa demonstração Swan estabeleceu uma estreita relação entre substituições de matrizes elementares no polinômio standard e caminhos unicursais em grafos direcionados e, desse modo, traduziu o teorema de Amitsur e Levitzki para um teorema inerente a teoria de grafos. Em seguida, vários matemáticos basearam-se na abordagem de Swan com a finalidade de estudar as identidades polinomiais satisfeitas pela álgebra de matrizes em diversos outros contextos. Nesta palestra, veremos como podemos usar esse tipo de abordagem no estudo da minimalidade do grau de identidades standard para a álgebra de matrizes munida da involução graduada simplética.

Daniela Alves de Oliveira

Universidade de São Paulo (São Carlos)

Polinômios sobre corpos binários com fatores esparços

Seja $\mathbb F_q$ um corpo finito com $q$ elementos, onde $q$ é uma potência de $2$. Nesse trabalho, nós estudamos os inteiros positivos $n$ para os quais os fatores irredutíveis do polinômio $x^n-1$ sobre $\mathbb F_q$ são todos binômios e trinômios. Em particular, descrevemos completamente os inteiros $n$ para $q=2,4$.

Trabalho em colaboração com Lucas Reis.

Danilo Sanção da Silveira

Universidade Federal de Ouro Preto

Elementos de Torção Generalizada em Grupos

Dizemos que um elemento de um grupo é de torção generalizada se algum produto finito de seus conjugados é igual a identidade. Elementos de torção são elementos de torção generalizada, mas a recíproca não é verdadeira. Nesta palestra apresentaremos classes de grupos em que elementos de torção generalizada são de torção.

Trabalho em colaboração com Raimundo Bastos (UnB) e Csaba Schneider (UFMG).

Elkin Oveimar Quintero Vanegas

Universidade Federal do Amazonas

Irreducible modules over commutative power-associative algebras

We introduce the modules over the class of commutative power-associative algebras and we expose a connection, due to I. Shestakov, with Albert’s problem (a problem of classification of finite-dimensional algebras) with irreducible modules. Furthermore, for any natural number $n$, we associate for the irreducible ${\mathfrak sl}_2(\mathbb{C})$-module of dimension $n$ an irreducible module of dimension $3n$ of the zero algebra of dimension four. Thus, we have examples of commutative power-associative algebras where its multiplicative enveloping algebra is either finite or infinite dimensional, so far as Jordan as well as Lie algebras.

Felipe Yukihide Yasumura

Universidade de São Paulo

Homogeneous involutions on graded division algebras

We describe the so-called homogeneous involution on finite-dimensional graded-division algebra over an algebraically closed field. We also compute their graded polynomial identities with involution.

Fernando Augusto Naves

Universidade Federal de Lavras

$A$-identidades $\Z_2$-graduadas para $M_{1,1}(E)$

Sejam $F$ um corpo de característica zero e $E$ a álgebra de Grassmann unitária de dimensão infinita sobre $F$. O estudo das $A$-identidades polinomiais começou com Henke e Regev em [He]. Eles estudaram as $A$-identidades da álgebra de Grassmann $E$. Nos anos seguintes, diversos trabalhos que abordavam a noção de $A$-identidades foram produzidos. Em particular, Brandão, Gonçalves e Koshlukov [BGK] introduziram o conceito de $A$-identidade $\Z_2$-graduada. Eles descreveram as $A$-identidades $\Z_2$-graduadas para $M_2(F)$ e calcularam suas $A$-codimensões graduadas correspondentes. Inspirados nesse trabalho, em parceria com Talpo, descrevemos o conjunto de geradores de todas as $A$-identidades $\Z_2$-graduadas para $M_{1,1}(E)$ e calculamos as $A$-codimensões graduadas desta álgebra. Consideraremos a $\Z_2$-graduação na álgebra $R=M_{1,1}(E)$, $R=R_0 \oplus R_1$, onde $R_0$ consiste nas matrizes em $M_{1,1}(E)$ com zeros na diagonal secundária e $R_1$ consiste nas matrizes em $M_{1,1}(E)$ com zeros na diagonal principal. Apresentaremos nesta palestra tais resultados obtidos e discutiremos sobre a generalização do conceito de $A$-identidade $G$-graduada, onde $G$ é um grupo finito ordenado.

Bibliografia

[B] A. P. Brandão Jr, D. J. Gonçalves, and P. Koshlukov, Graded A-identities for the matrix algebra of order two, Int. J. Algebra Comput. 26 (8), 1617-1631, (2016).

[He] A. Henke and A. Regev, $A$-codimensions and $A$-cocharacters, Israel J. Math. 133, 339-355, (2003).

F. A. Naves, H. L. Talpo, Graded A-identities for $M_{1,1}(E)$, Linear and Multilinear Algebra, (2021).

Grasiela Martini

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Comódulo Coálgebra Parcial de Álgebras de Hopf de Multiplicadores

Neste trabalho estendemos a noção de comódulo coálgebra parcial ao contexto de álgebras de Hopf de multiplicadores. Além disso, construímos um coproduto smash parcial generalizando as construções de L. Delvaux em [2] e E. Batista e J. Vercruysse em [1].

Bibliografia

[1] E. Batista and J. Vercruysse, Dual Constructions for Partial Actions of Hopf Algebras, Journal of Pure and Applied Algebra 220 (2016), 518-559.

[2] L. Delvaux, Semi-Direct Products of Multiplier Hopf Algebras: Smash Coproducts, Communications in Algebra 30 (2002), no.12, 5979-5997.

José Alves Oliveira

Universidade Federal de Lavras

Dinâmica de funções polinomiais sobre corpos finitos

Seja $\mathbb{F}_q$ um corpo finito com $q$ elementos e seja $n$ um inteiro positivo. Nessa palestra, discutiremos sobre o grafo associado à aplicação $x\mapsto x^n h(x^{\frac{q-1}{m}})$ sobre $\mathbb{F}_q$, onde $h(x)\in\mathbb{F}_q[x]$. Nosso objetivo é apresentar o grafo dessa aplicação no caso em que certas condições de regularidade são satisfeitas. Em particular, nossos resultados caracterizam completamente a dinâmica de funções monomiais sobre corpos finitos.

José Luis Vilca Rodríguez

Universidade de São Paulo

O problema de globalização de ações parciais de grupos em álgebras não associativas

Grosso modo, uma ação de grupo parcial em uma álgebra é uma coleção de automorfismos parciais (bijeções entre ideais) que são compatíveis com a operação de grupo. O objetivo desta palestra é estudar em que condições uma ação parcial de um grupo em uma álgebra não associativa pode ser estendida a uma ação global (usual) de um grupo, ou seja, uma ação por automorfismo. Tal problema é conhecido como o problema da globalização, e a ação global é chamada de globalização.

Vamos nos concentrar principalmente em algumas classes de álgebras de Lie, álgebras de Jordan e álgebras de Malcev, mostrando condições necessárias e suficientes para a existência e unicidade de uma globalização para uma ação parcial sobre essas álgebras.

Os resultados aqui apresentados fazem parte de um trabalho em colaboração com W. Cortes (UFRGS).

Luis Augusto de Mendonça

Universidade Federal de Minas Gerais

Groups with the Magnus property

A group $G$ is said to have the Magnus property (MP) if any two elements $g, h \in G$ with the same normal closure are already conjugate or inverse-conjugate: $g = h^x$ or $g^{-1} = h^x$ for some $x \in G$. A well known result by W. Magnus asserts that free groups have MP. I will discuss such property for some classes of relatively free nilpotent and solvable groups. Joint work with B. Klopsch and J.M. Petschick.

Manuela da Silva Souza

Universidade Federal da Bahia

Two-dimensional Jordan algebras: classification and polynomial identities theory

Jordan algebras were introduced by the physicist Pascual Jordan to formalize notions in quantum mechanics. These algebras have been studied since then and have connections with other areas of Mathematics such as Differential Geometry, Functional Analysis and Projective Geometry. Precisely, a Jordan algebra $J$ is a commutative algebra whose product satisfies \(((x^2)y)x - (x^2)(yx) = 0,\) for all $x$, $y \in J$.

Let $F$ be a field of characteristic different from $2$. Small-dimensional Jordan algebras over $F$ have been extensively studied and such two-dimensional algebras have been classified. In this talk (based on [DDSS]) we classify the two-dimensional power-associative commutative algebras over $F$. As consequence, we obtain a classification of two-dimensional Jordan algebras over $F$ and prove that there exists, up to isomorphism, a unique two-dimensional nonassociative Jordan algebra. The construction of this algebra can be generalized naturally to produce a Jordan algebra $D$ with an arbitrary dimension. If $F$ is infinite, we determine a finite basis for the polynomial identities of $D$, as well of all associative Jordan algebras of dimension two. This is joint work with D. Diniz (UFCG), D. Gonçalves (UFSCar) and V. Silva (UFMG).

Bibliografia

[DDSS] D. Diniz, D. Gonçalves, V. Silva e M. Souza, Two–dimensional Jordan algebras: Their classification and polynomial identities, LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS, 664, 104–125, 2023.

Maria Luiza Oliveira Santos

Universidade Federal Fluminense

Álgebras com involução graduada e crescimento quadrático das codimensões

Nos últimos anos, o estudo das variedades de álgebras com crescimento polinomial da sequência de codimensões tem sido amplamente desenvolvido, destacando-se, em particular, a busca por caracterizações e classificações de tais variedades de acordo com o comportamento assintótico da sequência de codimensões. Motivados por esses resultados e tendo em vista as superálgebras munidas de involução graduada, as chamadas $\ast$-superálgebras, em um trabalho em colaboração com Ioppolo, dos Santos e Vieira, classificamos todas as variedades de $\ast$-superálgebras minimais de crescimento quadrático, exibindo, a menos de equivalência, uma lista completa de 39 álgebras de dimensão finita geradoras de tais variedades minimais. Recentemente, em conjunto com Bessades e Costa, classificamos as variedades de crescimento quadrático geradas por $\ast$-superálgebras unitárias. Mais especificamente, mostramos que uma $\ast$-superálgebras unitária tem crescimento quadrático da sequência de codimensões se, e somente se, é equivalente a uma soma direta finita de $\ast$-superálgebras unitárias que geram variedades minimais de crescimento no máximo quadrático. Nesta palestra, comentaremos sobre os resultados obtidos nos trabalhos mencionados.

Bibliografia

D. C. L. Bessades, W. D. S. Costa and M. L. O. Santos, On unitary algebras with graded involution of quadratic growth. (Preprint)

A. Ioppolo, R. B. dos Santos, M. L. O. Santos and A. C. Vieira, Superalgebras with graded involution: classifying minimal varieties of quadratic growth. Linear Algebra and its Appl. 621 (2021) 105-134.

Martino Garonzi

Universidade de Brasília

Finite permutation groups: generation and coverings

In this talk, I will summarize some recent results in finite group theory concerning permutation groups, generation and coverings of groups. Usually generation and covering problems can be formulated in terms of maximal subgroups, and this process takes, via a standard argument, to the study of groups of permutations of a set $X$ of size $n$ which are primitive, i.e. they do not preserve any nontrivial partition of $X$. Such groups are classified by the O’Nan-Scott theorem and they include the simple and almost-simple groups. In general, the reduction problem and the solution in the primitive case are hard and it is meaningful to collect as much information as possible on both. The result I will present in the talk are joint with many co-authors.

Mateus Eduardo Salomão

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Identidades polinomiais para a álgebra de Jordam das matrizes triangulares superiores $2\times 2$

Nesta palestra, será apresentada uma descrição do T-ideal das identidades polinomiais para a álgebra de Jordan das matrizes triangulares superiores $2 \times 2$ sobre qualquer corpo (finito ou infinito) de característica diferente de 2 e serão exibidas bases para as correspondentes álgebras relativamente livres. Ademais, será discutido o Problema de Specht para este T-ideal no caso em que o corpo é infinito.

Monique Muller Lopes Rocha

Universidade Federal de São João del-Rei

Fatorações exatas de categorias de fusão

O conceito de fatoração exata de categorias de fusão foi introduzido por Gelaki em 2017 e é uma generalização categórica para o conceito de fatoração exata de grupos finitos. Vamos ver que a fatoração exata de categorias de fusão induz uma fatoração exata nos grupos de graduação universal correspondentes, entre outras propriedades. Este é um trabalho em andamento em conjunto com Julia Plavnik e Héctor Martín Peña Pollastri.

Oscar Armando Hernández Morales

Universidade de São Paulo

New Generalized Imaginary Verma modules

In this talk will be to discuss a technique of constructing irreducible weight modules for any affine Kac-Moody algebra using the parabolic induction, in the case when the Levi factor of a parabolic subalgebra is infinite-dimensional and the central charge is nonzero. Our approach unifies and generalizes all previously known results with imposed restrictions on inducing modules.

Bibliografia

[1] V. Bekkert, G. Benkart, V. Futorny, I. Kashuba, New irreducible modules for Heisenberg and affine Lie algebras, J. Algebra 373 (2013) 284-298.

[2] V. Futorny, I. Kashuba, Induced modules for Kac-Moody Lie algebras, SIGMA 5 (2009) P026.

[3] V. Futorny, I. Kashuba, Generalized loop modules for affine Kac-Moody algebras, Dev. Math. 38 (2014) 175-183.

[4] V. Futorny, I. Kashuba, Structure of parabolically induced modules for affine Kac?Moody algebras, J. Algebra 500 (2018) 362-374.

[5] M. Guerrini, I. Kashuba, O. Morales, A. de Oliveira, F. J. Santos, Generalized imaginary Verma and Wakimoto modules, J Pure Appl Algebra, Vol. 227, Issue 7 (2023).

Raimundo Bastos

Universidade de Brasília

Solubilidade e os subgrupos de Hall

O objetivo desta palestra será investigar propriedades de grupos que admitem um subgrupo solúvel de índice potência de primo. Mais ainda, apresentar critérios de solubilidade em termos da existência de subgrupos de Hall. Trabalho em colaboração com Csaba Schneider (UFMG).

Ricardo Luiz Souza

Colégio Batista Mineiro

Representações linearmente topologizadas

Todo curso introdutório de Teoria de Representações de Álgebras começa com álgebras de dimensão finita e representações de dimensão finita sobre estas. Isso tem um motivo: A teoria para esses casos é bem entendida e possui bastantes resultados poderosos. Contudo, muitos dos resultados mais importantes e centrais da teoria passam a não valer (em geral!) quando retiramos essas restrições.

Nesta palestra vamos apresentar um jeito de dar uma topologia natural para espaços vetoriais, módulos e anéis, de forma a estender naturalmente diversos resultados que valem em dimensão finita para um contexto mais geral em dimensões infinitas. Especificamente, vamos mostrar como essa topologia é suficiente para demonstrar um teorema de adjunção tensor-hom, construir módulos livres e projetivos, e, afinal, dizer alguma coisa sobre a existência de sequências quase-split para tais módulos.

Sarah Faria Monteiro Mazzini Costa

Universidade Federal de Uberlândia

Interseções Completas e Pontos de Weierstrass

Existem alguns avanços relacionados à racionalidade do espaço de moduli de curvas algébricas pontuadas de gênero g e semigrupo de Weierstrass S, onde os semigrupos estudados têm gênero menor ou igual a 6. Utilizando a compactificação deste espaço de moduli descrita por Contiero e Stohr, temos que este é dado pelo anulamento de um sistema de equações cujas variáveis são coeficientes das syzygies isobáricas resultantes do desdobramento dos geradores da curva monomial que realiza o semigrupo. Projetando a curva monomial no espaço afim de dimensão n, em que n é a dimensão de mergulho do semigrupo, e supondo que a curva é interseção completa, é possível mostrar que a compactificação do espaço de moduli é isomorfa à projetivização da parte negativamente graduada do primeiro módulo de cohomologia do complexo cotangente associado à curva.

Victor Pretti

Universidade de São Paulo

Finding quiver regions on the space of Bridgeland stability conditions

The moduli of instantons bundles over a Fano threefold have been under investigation by many authors during the last 50 years. Their relation with exceptional collections and monads has already been proven to be useful in many situations, such as the ADHM equations and D.Faenzi’s work, for example. Now, to use this relation in the context of Bridgeland stability, we need to find a region where Bridgeland and quiver stability coincide, in that way also obtaining general information about these moduli spaces. We will present a systematic way of describing these quiver regions whenever a Bridgeland stability condition exists.

Willian Goulart Gomes Velasco

Universidade Federal do Paraná

A álgebra parcial de um grupo como a álgebra de convolução de uma categoria inversa

Ações parciais de grupo formam um campo teórico (em teoria de representações, álgebra de operadores e afins) que engloba as ações de grupo usuais. Assim como estas, ações parciais induzem a definição de uma álgebra de grupo, aqui chamada de álgebra parcial de grupo. Nesta palestra discorreremos sobre as estruturas algébricas envolvidas na definição de tal álgebra. parcial. Isto nos motivar a (re)interpretar tais fatos do ponto de vista categórico. Em particular, por meio de ações fibradas de categorias inversas em conjuntos.

Este trabalho foi realizado em colaboração com Marcelo M. Alves (UFPR); apresentaremos resultados ainda não publicados decorrentes da tese de doutoramento do palestrante, trabalho intitulado Algebras of expanded structures.

Willian Versolati França

Universidade Federal de Juiz de Fora

Functional Identities on subsets not closed under addition

In this talk we aim to present some of the recent results in this theory. At the end we intend to suggest new problems in this line of investigation.