$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}$<\/p>\n
Teorema (Teste da raiz).<\/strong> Se existirem $0\\leq c<1$ e $n_0\\in\\N$ tal que $\\sqrt[n]{|a_n|}\\leq c$ para todo $n\\geq n_0$, ent\u00e3o a s\u00e9rie $\\sum a_n$ \u00e9 absolutamente convergente. Em particular, se $\\limsup \\sqrt[n]{|a_n|}<1$, ent\u00e3o a s\u00e9rie \u00e9 absolutamente convergente.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong> As condi\u00e7\u00f5es do teorema implicam que $|a_n|\\leq c^n$ para todo $n\\geq n_0$. Como $0\\leq c<0$, temos que $\\sum c^n$ \u00e9 convergente. Pelo teorema da compara\u00e7\u00e3o,\u00a0 $\\sum |a_n|$ \u00e9 convergente, logo $\\sum a_n$ \u00e9 absolutamente convergente.<\/p>\n Assuma que $a:=\\limsup\u00a0\\sqrt[n]{|a_n|}<1$. Seja $\\varepsilon=(1-a)\/2$. Ent\u00e3o $a+\\varepsilon<1$. Por um exerc\u00edcio anterior, existe $n_0\\in\\N$ tal que $\\sqrt[n]{|a_n|}\\leq a+\\varepsilon$. Pelo par\u00e1grafo anterior, $\\sum a_n$ \u00e9 absolutamente convergente.$\\Box$<\/p>\n Note que as condi\u00e7\u00f5es do teorema anterior s\u00e3o v\u00e1lidas quando existe\u00a0$\\lim_{n\\rightarrow\\infty} \\sqrt[n]{|a_n|}$ e este limite \u00e9 menor que um.<\/p>\n Exerc\u00edcio.<\/strong>\u00a0Demonstre que se existem infinitos \u00edndices $n$ tal que $\\sqrt[n]{|a_n|}\\geq 1$, ent\u00e3o a s\u00e9rie $\\sum a_n$ diverge.<\/p>\n No caso $\\lim\\sqrt{|a_n|}=1$ n\u00e3o pode-se decidir usando o teste da raiz se a s\u00e9rie diverge ou converge. Por exemplo, a s\u00e9rie $\\sum(1\/n)$ diverge, enquanto $\\sum(1\/n^2)$ converge. Por outro lado, Teorema (Teste da raz\u00e3o).<\/strong> Assuma que $\\sum a_n$ \u00e9 uma s\u00e9rie com $a_n\\neq 0$. Assuma que existe um $n_0\\in \\N$ e $0<c<1$ tal que $|a_{n+1}|\/|a_n|\\leq c$ para todo $n\\geq n_0$. Ent\u00e3o a s\u00e9rie $\\sum a_n$ converge absolutamente. Em particular, se $\\limsup\u00a0|a_{n+1}|\/|a_n|<1$, ent\u00e3o a s\u00e9rie $\\sum a_n$ \u00e9 absolutamente convergente.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>Se $n\\geq n_0$, temos que A afirma\u00e7\u00e3o sobre o $\\limsup$ pode ser verificada como no caso do teste da raiz.<\/p>\n Como no caso do teste da raiz, podemos tamb\u00e9m afirmar que se $\\lim\u00a0|a_{n+1}|\/|a_n|<1$, ent\u00e3o a s\u00e9rie \u00e9 convergente. Se\u00a0$\\lim\u00a0|a_{n+1}|\/|a_n|=1$, ent\u00e3o a s\u00e9rie pode ser convergente ou divergente; considere as s\u00e9ries $\\sum (1\/n)$ e $\\sum (1\/n^2)$.<\/p>\n Exerc\u00edcio.<\/strong> Assuma que existem infinitos \u00edndices $n$ tal que $|a_{n+1}|\/|a_n|\\geq 1$. Demonstre que a s\u00e9rie $\\sum a_n$ \u00e9 divergente.<\/p>\n Lema.<\/strong> Seja $(a_n)$ uma sequ\u00eancia limitada de n\u00fameros reais positivos. Ent\u00e3o Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>S\u00f3 precisa-se demonstrar a primeira e a terceira desigualdade. N\u00f3s demonstraremos a primeira. A terceira fica como exerc\u00edcio. Assuma por absurdo que $\\liminf \\frac{a_{n+1}}{a_n}> \\liminf \\sqrt[n]{a_n}$. Ent\u00e3o existe um\u00a0 n\u00famero $c$ tal que\u00a0 $\\liminf \\sqrt[n]{a_n}<c<\\liminf \\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Isto quer dizer que existe $n_0$ tal que Teorema (Dirichlet).<\/strong> Seja $\\sum a_n$ uma s\u00e9rie tal que as reduzidas $s_n=a_1+\\cdots+a_n$ formam uma sequ\u00eancia limitada. Seja $(b_n)$ uma sequ\u00eancia n\u00e3o crescente de n\u00fameros positivos com $\\lim b_n=0$. Ent\u00e3o a s\u00e9rie $\\sum (a_nb_n)$ \u00e9 convergente.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Temos que O Teorema de Dirichlet implica imediatamente o Teorema de Leibniz e o Teorema de Abel.<\/p>\n Teorema (Leibniz).<\/strong> Se $(b_n)$ \u00e9 uma sequ\u00eancia n\u00e3o crescente com $\\lim b_n=0$, ent\u00e3o a s\u00e9rie $\\sum (-1)^nb_n$ \u00e9 convergente.<\/p>\n Teorema (Abel).<\/strong> Se $\\sum a_n$ \u00e9 convergente e $(b_n)$ \u00e9 uma sequ\u00eancia n\u00e3o crescente de n\u00fameros positivos, ent\u00e3o $\\sum (a_nb_n)$ \u00e9 convergente.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" $\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}$ Teorema (Teste da raiz). Se existirem $0\\leq c<1$ e $n_0\\in\\N$ tal que $\\sqrt[n]{|a_n|}\\leq c$ para todo $n\\geq n_0$, ent\u00e3o a s\u00e9rie $\\sum a_n$ \u00e9 absolutamente convergente. Em particular, se $\\limsup \\sqrt[n]{|a_n|}<1$, ent\u00e3o a s\u00e9rie \u00e9 absolutamente convergente. Demonstra\u00e7\u00e3o. As condi\u00e7\u00f5es do teorema implicam que $|a_n|\\leq c^n$ para todo $n\\geq n_0$. Como $0\\leq c<0$, … Continue reading Testes de converg\u00eancia para s\u00e9ries<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/84"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=84"}],"version-history":[{"count":32,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/84\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":156,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/84\/revisions\/156"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=84"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=84"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=84"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n$$
\n\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{(1\/n)}=\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{(1\/n^2)}=1.
\n$$<\/p>\n
\n$$
\n\\frac{|a_{n_0+1}|}{|a_{n_0}|}\\leq c,\\ \\frac{|a_{n_0+2}|}{|a_{n_0+1}|}\\leq c,\\ldots,\\frac{|a_{n}|}{|a_{n-1}|}\\leq c,
\n\\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}\\leq c.
\n$$
\nMultiplicando estas desigualdades, obtemos que
\n$$
\n\\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n_0}|}=\\frac{|a_{n_0+1}|}{|a_{n_0}|}\\frac{|a_{n_0+2}|}{|a_{n_0+1}|}\\cdots\u00a0\\frac{|a_{n}|}{|a_{n-1}|} \\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}\\leq c^{n-n_0+1}
\n$$
\nPortanto,
\n$$
\n|a_{n+1}|\\leq c^{n-n_0+1}|a_{n_0}|=c^{n+1}(|a_{n_0}|\/c^{n_0}).
\n$$
\nComo $0<c<1$, segue da Teste da Compara\u00e7\u00e3o que $\\sum a_n$ \u00e9 absolutamente convergente.<\/p>\n
\n$$
\n\\liminf \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\leq \\liminf \\sqrt[n]{a_n}\\leq \\limsup \\sqrt[n]{a_n}\\leq \\limsup\u00a0\\frac{a_{n+1}}{a_n}.
\n$$<\/p>\n
\n$c\\leq {a_{n+1}}\/{a_n}$ para todo $n\\geq n_0$. Logo
\n$$
\nc\\leq \\frac{a_{n_0+1}}{a_{n_0}},\\ldots, c\\leq \\frac\u00a0{a_{n+1}}{a_{n}}.
\n$$
\nMultiplicando estas desigualdades, obtemos que $c^{n-n_0+1}\\leq a_{n+1}\/a_{n_0}$; ou seja
\n$$
\na_{n+1}\\geq c^{n-n_0+1}a_{n_0}=(a_{n_0}\/c^{n_0})c^{n+1}.
\n$$
\nTomando $(n+1)$-\u00e9sima raiz e $\\liminf$, obtemos que $\\liminf\\sqrt[n]{a_n}\\geq c$, que \u00e9 uma contradi\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
\n\\begin{eqnarray*}
\nt_n&=&a_1b_1+\\cdots+a_nb_n\\\\
\n&=&a_1(b_1-b_2)+(a_1+a_2)(b_2-b_3)\\\\&+&(a_1+a_2+a_3)(b_3-b_4)+\\cdots
\n+(a_1+\\cdots+a_n)b_n\\\\
\n&=&s_1(b_1-b_2)+s_2(b_2-b_3)+s_3(b_3-b_4)+\\cdots +s_nb_n\\\\
\n&=&\\sum_{n=2}^n s_{i-1}(b_{i-1}-b_i)+s_nb_n.
\n\\end{eqnarray*}
\nNote que a s\u00e9rie $\\sum_{n\\geq 2}(b_{i-1}-b_i)$ \u00b4\u00e9 convergente e a sequ\u00eancia $s_n$ \u00e9 limitada, Portanto segue da testa da compara\u00e7\u00e3o que $\\sum_{n=2}^n s_{i-1}(b_{i-1}-b_i)$ \u00e9 absolutamente convergente. Isto implica que $a_1b_1+\\cdots+a_nb_n$ \u00e9 convergente. Al\u00e9m disso, como $(s_n)$ \u00e9 limitada e $b_n\\rightarrow 0$, tem-se que $\\lim s_nb_n=0$ e portanto a s\u00e9rie $\\sum (a_nb_n)$ \u00e9 convergente.<\/p>\n