{"id":633,"date":"2019-11-20T20:34:26","date_gmt":"2019-11-20T20:34:26","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=633"},"modified":"2019-11-21T11:29:12","modified_gmt":"2019-11-21T11:29:12","slug":"o-teorema-pq-de-burnside","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/11\/20\/o-teorema-pq-de-burnside\/","title":{"rendered":"O Teorema $pq$ de Burnside"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\C}{\\mathbb C}$Lema (Burnside).\u00a0<\/strong>Se $G$ \u00e9 um grupo finito que possui uma classe de conjuga\u00e7\u00e3o com $p^m$ elementos, onde $p$ \u00e9 um primo e $m\\geq 1$, ent\u00e3o $G$ n\u00e3o pode ser simples.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>Assuma com o objetivo de obter uma contradi\u00e7\u00e3o que $G$ \u00e9 simples.\u00a0Seja $g\\in G$ pertencente a uma classe $C$ com $p^m$ elementos como assumido no lema. Suponha que $\\varrho$ \u00e9 uma $\\C$-representa\u00e7\u00e3o n\u00e3o trivial irredut\u00edvel de $G$ com caracter $\\chi$. Pela simplicidade de $G$, $\\ker\\varrho=1$ e $G\\cong G\\varrho$. Assuma que $g\\chi\\neq 0$ e $p\\nmid 1\\chi$. Por um lema anterior, $g\\varrho=\\lambda\\cdot\\mbox{id}$, portanto $g\\varrho\\in Z(G\\varrho)$, equivalentemente $g\\in Z(G)=1$; ou seja, $g=1$. Mas isso \u00e9 imposs\u00edvel, pois n\u00f3s assumimos que $|g^G|>1$. Obtivemos ent\u00e3o que $g\\chi=0$ para todo caracter irredut\u00edvel tal que $p\\nmid 1\\chi$.<\/p>\n

Considere o caracter $\\psi$ que corresponde \u00e0 representa\u00e7\u00e3o regular sobre $\\C G$. Por um resultado anterior,
\n\\[
\n\\psi=\\sum_{i=1}^r(1\\chi_i)\\chi_i
\n\\]
\nonde $\\chi_1,\\ldots,\\chi_r$ s\u00e3o os caracteres irredut\u00edveis de $G$.Assumindo que $\\chi_1$ \u00e9 a representa\u00e7\u00e3o trivial, e usando que $g\\neq 1$,
\n\\begin{align*}
\n0=&g\\psi=\\sum_{i=1}^r (1\\chi_i)(g\\chi_i)=g\\chi_1+\\sum_{i\\geq 2,\\ p\\nmid 1\\chi_i}(1\\chi_i)(g\\chi_i)+\\sum_{i\\geq 2,\\ p\\mid 1\\chi_i}(1\\chi_i)(g\\chi_i)\\\\&=
\n1+\\sum_{i\\geq 2,\\ p\\mid 1\\chi_i}(1\\chi_i)(g\\chi_i)
\n\\end{align*}
\nA \u00faltima express\u00e3o na linha anterior \u00e9 um n\u00famero inteiro na forma $1+kp$ onde $k$ tamb\u00e9m \u00e9 um inteiro, e consequentemente n\u00e3o pode ser igual a zero: ent\u00e3o o grupo $G$ \u00e9 simples.<\/p>\n

Teorema (Burnside).\u00a0<\/strong>Sejam $p$ e $q$ n\u00fameros primos. Ent\u00e3o um grupo de ordem $p^\\alpha q^\\beta$ \u00e9 sol\u00favel.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Assuma que o teorema \u00e9 falso e seja $G$ um contraexemplo minimal. Se $1<N\\lhd G$ \u00e9 um subgrupo normal, ent\u00e3o as ordens de $N$ e $G\/N$ est\u00e3o na forma $p^*q^*$. Pela minimalidade de $G$, $N$ e $G\/N$ s\u00e3o sol\u00faveis que implica que $G$ tamb\u00e9m \u00e9. Isto implica que um contraexemplo minimal \u00e9 um grupo simples.<\/p>\n

Seja $Q$ um $q$-subgrupo de Sylow de $G$. O centro de $Q$ \u00e9 n\u00e3o trivial e seja $g\\in Z(Q)$. Como $Q\\leq C_G(g)$ e $Z(G)=1$, tem-se que $|g^G|=|G:C_G(g)|=p^a$ com algum $a\\neq 1$. Mas isso \u00e9 imposs\u00edvel pelo resultado anterior.<\/p>\n

 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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