{"id":626,"date":"2019-11-19T00:20:14","date_gmt":"2019-11-19T00:20:14","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=626"},"modified":"2019-11-21T11:26:33","modified_gmt":"2019-11-21T11:26:33","slug":"integralidade","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/11\/19\/integralidade\/","title":{"rendered":"Integralidade"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\C}{\\mathbb C}\\newcommand{\\K}{\\mathbb K}\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}$\u00a0Um elemento $\\alpha\\in\\C$ \u00e9 dito inteiro alg\u00e9brico<\/em> se $\\alpha$ \u00e9 raiz de um polin\u00f4mio m\u00f4nico em $\\Z[t]$.<\/p>\n

Lema.\u00a0<\/strong>As seguintes s\u00e3o verdadeiras.<\/p>\n

    \n
  1. Se $\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_r$ s\u00e3o inteiros alg\u00e9bricos, ent\u00e3o $\\Z[\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_r]$ \u00e9 finitamente gerado como um grupo abeliano (aditivo).<\/li>\n
  2. Se $R$ \u00e9 um subanel de $\\C$ tal que $\\Z\\subseteq R$ e $R$ \u00e9 finitamente gerado como um grupo abeliano, ent\u00e3o os elementos de $R$ s\u00e3o inteiros alg\u00e9bricos.<\/li>\n
  3. O conjunto dos inteiros alg\u00e9bricos de $\\C$ \u00e9 um anel.<\/li>\n
  4. $\\alpha\\in\\Q$ \u00e9 um inteiro alg\u00e9brico se e somente se $\\alpha\\in\\Z$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong> Demonstraremos apenas 2. e 3. O resto \u00e9 exerc\u00edcio.<\/p>\n

    2. Seja $s\\in R$ e assuma que $R$ \u00e9 gerado por $\\left<x_1,\\ldots,x_d\\right>$ como um grupo abeliano. Para $i\\in\\{1,\\ldots,d\\}$, temos que
    \n\\[
    \ns x_i=\\sum_{j=1}^d \\alpha_{ij}x_j
    \n\\]
    \ncom $\\alpha_{ij}\\in\\Z$. Pondo $A=(\\alpha_{ij})$, temos que
    \n\\[
    \nA (x_1,\\ldots,x_d)^{\\rm t}=s(x_1,\\ldots,x_d)^{\\rm t}.
    \n\\]
    \nPortanto, $s$ \u00e9 um autovalor de $A$; ou seja $s$ \u00e9 uma raiz do polin\u00f4mio carater\u00edstico de $A$ que \u00e9 um elemento m\u00f4nico de $\\Z[t]$.<\/p>\n

    3. Segue dos items 1. e 2.<\/p>\n

    Lema.<\/strong> Seja $G$ um grupo finito e sejam $C_1,\\ldots,C_r$ as classes de conjuga\u00e7\u00e3o de $G$. Para um corpo $\\K$ de carater\u00edstica zero,\u00a0 os elementos
    \n\\[
    \nk_i=\\sum_{g\\in C_i}g\\quad\\mbox{com}\\quad i\\in\\{1,\\ldots,r\\}
    \n\\]
    \nformam uma base do centro de $\\K G$. Al\u00e9m disso,
    \n\\[
    \nk_ik_j=\\sum_{s=1}^r m_{ij}^{(s)} k_s
    \n\\]
    \nonde $m_{ij}^{(s)}$ \u00e9 o n\u00famero de pares $(g_i,g_j)\\in C_i\\times C_j$ tal que $g_ig_j=g$ onde $g$ \u00e9 um elemento fixo de $C_r$. Em particular os coeficientes $m_{ij}^{(s)}$ s\u00e3o inteiros n\u00e3o negativos.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Exerc\u00edcio.<\/p>\n

    Lembre que se $\\chi$ \u00e9 um caracter de $G$, ent\u00e3o $g\\chi$ \u00e9 uma soma de $|G|$-\u00e9simas ra\u00edzes da unidade. Denotando uma $|G|$-\u00e9sima raiz primitiva por $\\xi$, temos que $g\\chi\\in\\K$ onde $\\K$ \u00e9 o corpo num\u00e9rico $\\Q(\\xi)$. Al\u00e9m disso, $g\\chi$ \u00e9 um inteiro alg\u00e9brico. Provaremos o seguinte teorema mais forte.<\/p>\n

    Teorema.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo finito, seja $\\chi$ um $\\C$-caracter irredut\u00edvel de $G$ de grau $n$, e seja $g\\in G$. Ent\u00e3o $|g^G|(g\\chi)\/n$ \u00e9 um inteiro alg\u00e9brico.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Sejam $C_1,\\ldots,C_r$ as classes de conjuga\u00e7\u00e3o de $G$ e seja $k_i=\\sum_{x\\in C_i}x$. Ent\u00e3o $\\{k_1,\\ldots,k_r\\}$ \u00e9 uma base de $\\C G$. Escreva
    \n\\begin{equation}\\label{eq:center}
    \nk_ik_j=\\sum_{s=1}^rm_{ij}^{(s)} k_s
    \n\\end{equation}
    \ne lembre pelo exerc\u00edcio anterior que os coeficientes $m_{ij}^{(s)}$ s\u00e3o n\u00fameros inteiros n\u00e3o negativos. Seja $\\varrho$ a representa\u00e7\u00e3o correspondente a $\\chi$ e considere $\\varrho$ como um mapa $\\C G\\to \\mbox{End}(V)$. Como $k_i$ \u00e9 um elemento central, $k_i\\varrho=\\lambda_i I$ com algum $\\lambda_i\\in\\C$. Assuma que $g\\in C_i$, seja $\\lambda=\\lambda_i$ e calcule que
    \n\\[
    \nn\\lambda=\\mbox{tr}(k_i\\varrho)=\\sum_{x\\in C_i}x\\chi=|g^G|\\chi(g).
    \n\\]
    \nPrecisamos provar que $\\lambda$ \u00e9 um inteiro alg\u00e9brico. Aplicando $\\varrho$ na equa\u00e7\u00e3o \\eqref{eq:center}, obtemos que
    \n\\begin{equation}\\label{eq:lambdaeq}
    \n\\lambda_i\\lambda_j=\\sum_{s=1}^r m_{ij}^{(s)}\\lambda_s.
    \n\\end{equation}
    \nConsidere
    \n\\[
    \nR=\\left\\{\\sum_{i=1}^r\\alpha_i \\lambda_i\\mid\\alpha_i\\in\\Z\\right\\}.
    \n\\]
    \nPela equa\u00e7\u00e3o \\eqref{eq:lambdaeq}, $R$ \u00e9 um anel tal que $\\Z\\subseteq R\\subseteq \\C$. Al\u00e9m disso, $R$ \u00e9 finitamente gerado como grupo abeliano. Portanto, pelo lema anterior, os elementos de $R$ s\u00e3o inteiros alg\u00e9bricos. Ent\u00e3o $\\lambda$ \u00e9 um inteiro alg\u00e9brico, como foi afirmado.<\/p>\n

    Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Seja $n$ o grau de um character irredut\u00edvel $\\chi$ de um grupo finito $G$. Ent\u00e3o $n\\mid |G|$.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Seja $\\varrho$ a representa\u00e7\u00e3o de $\\chi$. Assuma que $C_1,\\ldots,C_r$ s\u00e3o as classes de conjuga\u00e7\u00e3o de $G$, e seja $g_i\\in C_i$ para todo $i$. Pela rela\u00e7\u00e3o de ortogonalidade, temos que
    \n\\[
    \n\\frac{|G|}{n} = \\frac 1n\\sum_{g\\in G}(g\\chi)\\overline{g\\chi}=\\frac 1n\\sum_{i=1}^r |C_i|(g_i\\chi)\\overline{g_i\\chi}.
    \n\\]
    \nUsando a nota\u00e7\u00e3o do resultado anterior, $\\lambda_i=|C_i|(g_i\\chi)\/n$ e obtemos que
    \n\\[
    \n|G|\/n=\\sum_{i=1}^r \\lambda_i\\overline{g_i\\chi}.
    \n\\]
    \nO lado direito da \u00faltima equa\u00e7\u00e3o \u00e9 um inteiro alg\u00e9brico. Ent\u00e3o a lado esquerdo tamb\u00e9m \u00e9, e $m\/n\\in\\Q$ \u00e9 um inteiro alg\u00e9brico. Portanto $|G|\/n$ \u00e9 um inteiro, ou seja $n\\mid |G|$.<\/p>\n

    Lema.\u00a0<\/strong>Seja $\\varrho$ uma $\\C$-representa\u00e7\u00e3o irredut\u00edvel de grau $n$ de $G$ com caracter $\\chi$ e seja $g\\in G$ tal que $\\mbox{mdc}(|g^G|,n)=1$. Ent\u00e3o $g\\chi=0$ ou $g\\varrho=\\lambda \\cdot\\mbox{id}$.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0 Denote $|g^G|=m$. Sejam $r,s\\in\\Z$ tal que $rm+sn=1$. Por um teorema anterior, $m(g\\chi)\/n$ \u00e9 um inteiro alg\u00e9brico, ent\u00e3o
    \n\\[
    \nt=\\frac{g\\chi}n=\\frac{rm(g\\chi)}n+\\frac{sn(g\\chi)}n
    \n\\]
    \ntamb\u00e9m \u00e9 um inteiro alg\u00e9brico.<\/p>\n

    Sejam $\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_n$ os autovalores de $g\\varrho$ (com multiplicidade) tais que $g\\chi=\\sum_i \\lambda_i$ e $|t|=|\\sum_i \\lambda_i|\/n$. Como cada $\\lambda_i$ \u00e9 uma raiz da identididade, $|\\lambda_i|=1$ e $|t|=|\\sum_i\\lambda_i|\/n\\leq 1$.<\/p>\n

    Assuma que os $\\lambda_i$ n\u00e3o s\u00e3o todos iguais. Isto implica que $|t|<1$. Seja $\\K=\\Q(\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_n)$ e seja $\\alpha\\in\\mbox{Gal}(\\K:\\Q)$.\u00a0 \u00a0Neste caso os $\\lambda_i\\alpha$ tamb\u00e9m n\u00e3o s\u00e3o todos iguais, e $|t\\alpha|<1$. Lembre que $\\K$ \u00e9 uma extens\u00e3o de Galois (\u00e9 uma extens\u00e3o ciclot\u00f4mica) de $\\Q$ e que $G=\\mbox{Gal}(\\K:\\Q)$ \u00e9 um grupo finito. Ponha
    \n\\[
    \nu=\\prod_{\\alpha\\in G}t\\alpha.
    \n\\]
    \nEnt\u00e3o $|u|<1$ e $u\\alpha=u$ para todo $\\alpha\\in G$. Logo $u\\in \\Q$. Mas $u$ \u00e9 um inteiro alg\u00e9brico tal que $|u|<1$, ent\u00e3o $u=0$. Isto diz que $t=0$, que mostra que $g\\chi=0$.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    $\\newcommand{\\C}{\\mathbb C}\\newcommand{\\K}{\\mathbb K}\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}$\u00a0Um elemento $\\alpha\\in\\C$ \u00e9 dito inteiro alg\u00e9brico se $\\alpha$ \u00e9 raiz de um polin\u00f4mio m\u00f4nico em $\\Z[t]$. Lema.\u00a0As seguintes s\u00e3o verdadeiras. Se $\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_r$ s\u00e3o inteiros alg\u00e9bricos, ent\u00e3o $\\Z[\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_r]$ \u00e9 finitamente gerado como um grupo abeliano (aditivo). Se $R$ \u00e9 um subanel de $\\C$ tal que $\\Z\\subseteq R$ e $R$ \u00e9 finitamente … Continue reading Integralidade<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/626"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=626"}],"version-history":[{"count":8,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/626\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":641,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/626\/revisions\/641"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=626"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=626"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=626"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}