$\\newcommand{\\C}{\\mathbb C}$Assuma nesta p\u00e1gina que $G$ \u00e9 um grupo finito, $\\chi_1,\\ldots,\\chi_k$ s\u00e3o os caracteres de $G$ irredut\u00edveis e os graus destes caracteres s\u00e3o $n_1,\\ldots,n_k$, respetivamente; ou seja, $1\\chi_i=n_i$ para todo $i$.<\/p>\n
Seja $V=\\C G$ considerado como um $G$-m\u00f3dulo seja $\\varrho$ o caracter correspondente. O conjunto $G$ \u00e9 uma base de $V$ e
\n\\[
\ng\\varrho=|\\{h\\in G\\mid hg=h\\}|.
\n\\]
\nObtemos a seguinte lema.<\/p>\n
Teorema.\u00a0<\/strong> Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>A primeira afirma\u00e7\u00e3o segue da observa\u00e7\u00e3o antes do teorema. Para provar a segunda afirma\u00e7\u00e3o, lembre que pelo Teorema de Maschke, $\\C G$ \u00e9 uma soma direta de $G$-m\u00f3dulos simples. Portanto Teorema.\u00a0<\/strong>Os caracteres $\\chi_1,\\ldots,\\chi_k$ formam uma base ortonormal do espa\u00e7o de fun\u00e7\u00f5es Antes de provar o teorema, provaremos o seguinte lema.<\/p>\n Lema.\u00a0<\/strong>Seja $f\\in W$, e seja $\\sigma$ uma representa\u00e7\u00e3o irredut\u00edvel de $G$ em $V$ com caracter $\\chi$. Ent\u00e3o Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0Note que $\\sigma_f\\in\\mbox{End}_{\\C}(V)$. Demonstra\u00e7\u00e3o do Teorema.\u00a0<\/strong>J\u00e1 vimos que o sistema $\\chi_1,\\ldots,\\chi_k$ \u00e9 ortonormal em $W$. Portanto \u00e9 suficiente provar que se $f\\in W$ tal que $\\left<\\chi_i,\\overline f\\right>=\\left<f,\\overline\\chi_i\\right>=0$ para todo $i$, ent\u00e3o $f=0$. Assuma que $f$ \u00e9\u00a0 tal fun\u00e7\u00e3o. Para uma representa\u00e7\u00e3o $\\sigma$ de $G$, defina $\\sigma_f$ como Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Seja $g\\in G$.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Seja $f:G\\rightarrow\\C$ a fun\u00e7\u00e3o que \u00e9 igual a 1 na classe de $g$ e zero nos outros elementos.\u00a0 Pelo teorema anterior, <\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" $\\newcommand{\\C}{\\mathbb C}$Assuma nesta p\u00e1gina que $G$ \u00e9 um grupo finito, $\\chi_1,\\ldots,\\chi_k$ s\u00e3o os caracteres de $G$ irredut\u00edveis e os graus destes caracteres s\u00e3o $n_1,\\ldots,n_k$, respetivamente; ou seja, $1\\chi_i=n_i$ para todo $i$. Seja $V=\\C G$ considerado como um $G$-m\u00f3dulo seja $\\varrho$ o caracter correspondente. O conjunto $G$ \u00e9 uma base de $V$ e \\[ g\\varrho=|\\{h\\in G\\mid … Continue reading A decomposi\u00e7\u00e3o de $\\mathbb CG$<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/594"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=594"}],"version-history":[{"count":28,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/594\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":625,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/594\/revisions\/625"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=594"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=594"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=594"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n\\[
\ng\\varrho=\\left\\{\\begin{array}{cl} |G| & \\mbox{se $g=1$};\\\\
\n0 & \\mbox{se $g\\neq 1$}\\end{array}\\right.
\n\\]
\ne
\n\\[
\n\\varrho=\\sum_{i=1}^k n_i\\chi_i.
\n\\]
\nEm particular,
\n\\[
\n\\sum_{i=1}^k n_i^2=|G|.
\n\\]<\/p>\n
\n\\[
\n\\varrho=\\alpha_1\\chi_1+\\cdots+\\alpha_k\\chi_k
\n\\]
\ncom alguns coeficientes $\\alpha_i\\geq 0$. Como $\\chi_1,\\ldots,\\chi_k$ \u00e9 um sistema ortonormal,
\n\\[
\n\\alpha_i=\\left<\\varrho,\\chi_i\\right>=\\frac 1{|G|}\\sum_{g\\in G}(g\\varrho)\\overline{(g\\chi_i)}=\\frac 1{|G|}|G| n_i=n_i.
\n\\]
\nA \u00faltima afirma\u00e7\u00e3o segue calculando
\n\\[
\n|G|=\\dim \\C G=1 \\varrho=\\sum_{i=1}^k n_i(1\\chi_i)=\\sum_{i=1}^k n_i^2.
\n\\]<\/p>\n
\n\\[
\nW=\\{f\\in\\mbox{Func}(G,\\C)\\mid (g^x)f=gf\\mbox{ para todo }g,x\\in G\\}.
\n\\]
\nEm particular, o n\u00famero de $\\C$-representa\u00e7\u00f5es irredut\u00edveis de dimens\u00e3o finita de $G$ \u00e9 igual ao n\u00famero das classes de conjuga\u00e7\u00e3o de $G$.<\/p>\n
\n\\[
\n\\sigma_f=\\sum_{g\\in G} (gf)(g\\sigma)=\\left(\\frac{|G|}{1\\chi}\\left<f,\\overline \\chi\\right>\\right)\\cdot\\mbox{id}.
\n\\]<\/p>\n
\nVerificamos primeiro que $\\sigma_f(h\\sigma)=(h\\sigma)\\sigma_f$, ou seja $\\sigma_f\\in\u00a0\\mbox{End}_{G}(V)$. De fato
\n\\begin{align*}
\n(h\\sigma)^{-1}\\sigma_f(h\\sigma)&=\\sum_{g\\in G}(gf)(h\\sigma)^{-1}(g\\sigma)(h\\sigma)\\\\&=\\sum_{g\\in G}(gf)((h^{-1}gh)\\sigma)=\\sum_{y\\in G} ((h yh^{-1})f)(y\\sigma)\\\\&=\\sum_{y\\in G} (yf)(y\\sigma)=\\sigma_f.
\n\\end{align*}
\nPortanto, $\\sigma_f\\in\u00a0\\mbox{End}_{G}(V)$, como foi afirmado. Como $V$ \u00e9 um $G$-m\u00f3dulo simples, obtemos que $\\sigma_f=\\lambda\\cdot\\mbox{id}$ onde $\\lambda\\in\\C^*$. Al\u00e9m disso,
\n\\[
\n\\lambda\\dim V=(1\\chi)\\lambda=\\mbox{Tr}(\\sigma_f)=\\sum_{g\\in G}(gf)\\mbox{Tr}(g\\sigma)=
\n\\sum_{g\\in G}(gf)(g\\chi)=|G|\\left<f,\\overline \\chi\\right>
\n\\]
\nEm particular, $\\lambda=|G|\\left<f,\\overline \\chi\\right>\/(1\\chi)$ e $\\sigma_f=|G|\\left<f,\\overline \\chi\\right>\/(1\\chi)\\cdot\\mbox{id}$.<\/p>\n
\n\\[
\n\\sigma_f=\\sum_{g\\in G}(gf)(g\\sigma).
\n\\]
\nSe $\\sigma$ for irredut\u00edvel, ent\u00e3o $\\sigma_f=0$ pelo Lema anterior.
\nSe $\\sigma$ n\u00e3o for irredut\u00favel, ent\u00e3o o $G$-m\u00f3dulo $V$ correspondente pode ser escrito como uma soma direta $V=V_1\\oplus\\cdots\\oplus V_m$ de $G$-m\u00f3dulos simples e temos a equa\u00e7\u00e3o correspondente para o caracter:\u00a0 $\\chi=\\sum_i\\chi_i$. Seja $\\sigma_i$ a representa\u00e7\u00e3o induzida por $\\sigma$ em $V_i$. Ent\u00e3o $g\\sigma=\\sum_ig\\sigma_i$. Logo
\n\\[
\n\\sigma_f=\\sum_{g\\in G}(gf)(g\\sigma)=\\sum_{g\\in G}\\sum_{i=1}^m (gf)(g\\sigma_i)=\\sum_{i=1}^m(\\sigma_i)_f.
\n\\]
\nPortanto
\n\\[
\n\\sigma_f=\\sum_{i=1}^m(\\sigma_i)_f=\\sum_{i=1}^m\\frac{|G|}{1\\chi_i}\\left<f,\\overline{\\chi_i}\\right>\\cdot\\mbox{id}_{V_i}=0.
\n\\]
\nSeja $\\rho$ a representa\u00e7\u00e3o de $G$ em $\\C G$,
\n\\[
\n0=1\\rho_f=1\\cdot \\sum_{g\\in G}(gf)(g\\varrho)=\\sum_{g\\in G}(gf)g.
\n\\]
\nPortanto $gf=0$ para todo $g$ e $f=0$.<\/p>\n\n
\n\\[
\nf=\\sum_{i=1}^k \\left<f,\\chi_i\\right>\\chi_i=\\sum_{i=1}^k \\frac{|g^G|}{|G|}
\n\\overline{ (g\\chi_i)}\\chi_i=
\n\\frac 1{|C_G(g)|}\\sum_{i=1}^k\\overline{(g\\chi_i)}\\chi_i.
\n\\]
\nLogo, para $h\\in G$, temos que
\n\\[
\nhf=
\n\\frac 1{|C_G(g)|}\\sum_{i=1}^k\\overline{(g\\chi_i)}(h\\chi_i).
\n\\]
\nTomando $h=g$, obtemos equa\u00e7\u00e3o 1., tomando $h\\not\\in g^G$, obtemos equa\u00e7\u00e3o 2.<\/p>\n