$\\newcommand{\\C}{\\mathbb C}\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}\\newcommand{\\tr}{{\\rm tr}\\,}$ Nesta p\u00e1gina, grupos s\u00e3o finitos e representa\u00e7\u00f5es s\u00e3o de dimens\u00e3o finita.<\/p>\n
Lema. <\/strong>Seja $X$ uma matrix complexa com ordem finita. Ent\u00e3o $X$ \u00e9 diagonaliz\u00e1vel e os autovalores de $X$ s\u00e3o ra\u00edzes da unidade.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>Seja $X$ de ordem $n$. Ent\u00e3o $X$ satisfaz o polin\u00f4mio $t^n-1$ e o polin\u00f4mio minimal $m_X(t)$ de $X$ \u00e9 um divisor de $t^n-1$. Como $t^n-1$ tem $n$ ra\u00edzes distintas em $\\C$, $m_X(t)$ tamb\u00e9m tem ra\u00edzes distintas. Isto significa que $X$ \u00e9 diagonaliz\u00e1vel.<\/p>\n Seja $Y$ uma matriz invert\u00edvel tal que $X^Y$ \u00e9 diagonal com $(\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_r)$ no diagonal. Como $X^n=I$, $(X^Y)^n=I$, e $\\lambda_j^n=1$ para todo $j$; ou seja $\\lambda_j$ \u00e9 uma raiz da unidade.<\/p>\n Lembre que o tra\u00e7o $\\tr A$ de uma matriz quadrada $A$ \u00e9 a soma das suas entradas diagonais. Se $A$ e $B$ s\u00e3o matrizes $n\\times n$, ent\u00e3o $\\tr AB=\\tr BA$. Portanto, se\u00a0 $B$ for invert\u00edvel, ent\u00e3o Seja $V$ um $\\C$-espa\u00e7o vetorial e seja $\\varrho:G\\rightarrow GL(V)$ uma representa\u00e7\u00e3o de $G$.\u00a0 Seja $B$ uma base de $V$, e denota por $(g\\varrho)_B$ a matriz da transforma\u00e7\u00e3o $g\\varrho$ na base $B$. O caracter da representa\u00e7\u00e3o $\\varrho$ \u00e9 o mapa Lema.\u00a0<\/strong>Seja $\\varrho:G\\rightarrow GL(V)$ uma representa\u00e7\u00e3o de $G$ e seja $\\chi$ o caracter correspondente. Ent\u00e3o<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>1. $1\\chi=\\tr (1\\varrho)=\\tr I=\\dim V$.<\/p>\n 2. Seja $Y$ uma matriz tal que $(g\\varrho)^Y$ \u00e9 diagonal com $(\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_n)$ no diagonal. Ent\u00e3o 3. Seja $g,h\\in G$. Ent\u00e3o $(g^h)\\chi$ \u00e9 o tra\u00e7o de $(g^h)\\varrho=(h\\varrho)^{-1}(g\\varrho)(h\\varrho)$ cujo tra\u00e7o \u00e9 igual ao tra\u00e7o de $g\\varrho$. Portanto $(g^h)\\chi=g\\chi$.<\/p>\n Lema. <\/strong>Seja $\\F$ um corpo e sejam $\\varrho:G\\rightarrow GL(n,\\F)$ e $\\sigma :G\\to GL(m,\\F)$ representa\u00e7\u00f5es\u00a0 irredut\u00edveis de um grupo $G$. Sejam $i,j\\in\\{1,\\ldots,n\\}$ e $r,s\\in\\{1,\\ldots,m\\}$. Ent\u00e3o<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>1. Sejam $V=\\F^n$ and $W=\\F^m$ os $G$-m\u00f3dulos que correspondem \u00e0s representa\u00e7\u00f5es $\\varrho$ e $\\sigma$, respetivamente. Se $\\alpha\\in\\mbox{Hom}_\\F(V,W)$, defina Seja $\\alpha:V\\rightarrow W$ a aplica\u00e7\u00e3o que manda $(e_j\\in V)\\mapsto (e_r\\in W)$ e $e_i\\mapsto 0$ se $i\\neq j$. Ent\u00e3o $\\alpha$ \u00e9 representada pela matriz cuja entrada na posi\u00e7\u00e3o $(k,l)$ \u00e9 $\\delta_{jk}\\delta_{rl}$. Ent\u00e3o 2. Assuma que $V=W$, $\\varrho=\\sigma$, e sejam $\\alpha$, $\\overline\\alpha$ as mesmas transforma\u00e7\u00f5es que no par\u00e1grafo anterior. Logo, $\\overline\\alpha\\in\\mbox{End}_G(V)$. Pelo Lema de Schur, $\\overline\\alpha=\\lambda_{jr} I$ onde $\\lambda_{jr}\\in\\F$. A \u00faltima equa\u00e7\u00e3o destacada implica que Teorema (Rela\u00e7\u00f5es de ortogonalidade).\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo finito e $\\chi$, $\\psi$ dois $\\C$-caracteres irredut\u00edveis que correspondem a representa\u00e7\u00f5es n\u00e3o equivalentes. Temos as seguintes igualdades: Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Sejam $\\varrho$ e $\\sigma$ as representa\u00e7\u00f5es correspondentes a $\\chi$ e $\\psi$. Pelo lema anterior Seja $X$ um conjunto finito e considere os espa\u00e7o vetorial Seja agora $G$ um grupo, defina $\\mbox{Func}(G,\\C)$ como em cima, e seja $W$ o subespa\u00e7o de $\\mbox{Func}(G,\\C)$ formado por fun\u00e7\u00f5es que s\u00e3o constantes nas classes de conjuga\u00e7\u00e3o de $G$: Corol\u00e1rio. <\/strong>Os caracteres irredut\u00edveis $\\chi_i$ de um grupo finito $G$ formam uma base ortonormal de $W$. Em particular, o n\u00famero de classes de equival\u00eancia de representa\u00e7\u00f5es irredut\u00edveis de um grupo finito \u00e9 finito e este n\u00famero \u00e9 menor ou igual ao n\u00famero das classes de conjuga\u00e7\u00e3o de $G$.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" $\\newcommand{\\C}{\\mathbb C}\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}\\newcommand{\\tr}{{\\rm tr}\\,}$ Nesta p\u00e1gina, grupos s\u00e3o finitos e representa\u00e7\u00f5es s\u00e3o de dimens\u00e3o finita. Lema. Seja $X$ uma matrix complexa com ordem finita. Ent\u00e3o $X$ \u00e9 diagonaliz\u00e1vel e os autovalores de $X$ s\u00e3o ra\u00edzes da unidade. Demonstra\u00e7\u00e3o. Seja $X$ de ordem $n$. Ent\u00e3o $X$ satisfaz o polin\u00f4mio $t^n-1$ e o polin\u00f4mio minimal $m_X(t)$ de … Continue reading O caracter e as rela\u00e7\u00f5es de ortgonalidade<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/560"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=560"}],"version-history":[{"count":28,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/560\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":584,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/560\/revisions\/584"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=560"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=560"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=560"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n\\[
\n\\tr A^B=\\tr (B^{-1}A)B=\\tr B(B^{-1}A)=\\tr A.
\n\\]
\nOu seja, matrizes que pertencem a mesma classe de conjuga\u00e7\u00e3o, t\u00eam o mesmo tra\u00e7o.<\/p>\n
\n\\[
\n\\chi=\\chi_\\varrho: G\\rightarrow \\C,\\quad g\\mapsto \\tr (g\\varrho)_B.
\n\\]
\nSe $B’$ \u00e9 uma outra base de $V$, ent\u00e3o $(g\\varrho)_B$ e $(g\\varrho)_{B’}$ s\u00e3o conjugados, e pelas observa\u00e7\u00f5es no par\u00e1grafo anterior, elas t\u00eam o mesmo tra\u00e7o. Em particular, $\\chi$ independe da escolha da base $B$. Al\u00e9m disso, $g\\chi$ \u00e9 a soma dos autovalores de $g$.<\/p>\n\n
\n\\[
\n(g^{-1}\\varrho)^Y=((g\\varrho)^{-1})^Y=((g\\varrho)^Y)^{-1};
\n\\]
\nou seja, $g^{-1}\\varrho$ \u00e9 diagonaliz\u00e1vel por $Y$ e as entradas diagonais s\u00e3o $(\\lambda_1^{-1},\\ldots,\\lambda_n^{-1})$. Como $\\lambda_i$ \u00e9 uma raiz da unidade, $\\lambda_i^{-1}=\\overline\\lambda_i$. Portanto
\n\\[
\ng^{-1}\\chi=\\lambda_1^{-1}+\\cdots+\\lambda_n^{-1}=\\overline \\lambda_1+\\cdots+\\overline\\lambda_n=\\overline{\\lambda_1+\\cdots+\\lambda_n}=\\overline{g\\chi}.
\n\\]<\/p>\n\n
\n\\[
\n\\sum_{g\\in G} (g\\varrho)_{ij}(g^{-1}\\sigma)_{rs}=0.
\n\\]<\/li>\n
\n\\[
\n\\sum_{g\\in G} (x\\varrho)_{ij}(x^{-1}\\varrho)_{rs}=\\frac{|G|}{n}\\delta_{is}\\delta_{jr}.
\n\\]<\/li>\n<\/ol>\n
\n\\[
\n\\overline\\alpha\\in\\mbox{Hom}_G(V,W),\\quad \\overline\\alpha=\\sum_{g\\in G} (g\\varrho)\\alpha(g\\sigma)^{-1}.
\n\\]
\nSe $h\\in G$, ent\u00e3o
\n\\begin{align*}
\n\\overline \\alpha (h\\sigma)=&\\sum_{g\\in G} (g\\varrho)\\alpha(g\\sigma)^{-1}(h\\sigma)=\\sum_{g\\in G} (g\\varrho)\\alpha((g^{-1}h)\\sigma)\\\\&=
\n\\sum_{y\\in G} ((hy)\\varrho)\\alpha(y^{-1}\\sigma)=(h\\varrho)\\sum_{y\\in G} (y\\varrho)\\alpha(y\\sigma)^{-1}=(h\\varrho)\\overline \\alpha.
\n\\end{align*}
\nPortanto $\\overline\\alpha\\in \\mbox{Hom}_G(V,W)$.<\/p>\n
\n\\[
\n(\\overline\\alpha)_{is}=\\sum_{g\\in G}\\sum_k\\sum_l(g\\varrho)_{ik}\\delta_{jk}\\delta_{rl}(g^{-1}\\sigma)_{ls}=\\sum_{g\\in G}(g\\varrho)_{ij}(g^{-1}\\sigma)_{rs}.
\n\\]
\nOra, se $\\varrho$ e $\\sigma$ n\u00e3o s\u00e3o equivalentes, ent\u00e3o, pelo Lema de Schur, $\\overline\\alpha=0$, que implica afirma\u00e7\u00e3o 1.<\/p>\n
\n\\[
\n\\lambda_{jr}\\delta_{is}=(\\overline\\alpha)_{is}=\\sum_{x\\in G}(x\\varrho)_{ij}(x^{-1}\\varrho)_{rs}=
\n\\sum_{y\\in G}(y\\varrho)_{rs}(y^{-1}\\varrho)_{ij}=\\lambda_{si}\\delta_{rj}.
\n\\]
\nIsso implica que $\\sum_{x\\in G}(x\\varrho)_{ij}(x^{-1}\\varrho)_{rs}=0$ se $i\\neq s$ ou $j\\neq r$. Al\u00e9m disso, a \u00faltima equa\u00e7\u00e3o implica que
\n\\[
\n\\lambda_{jj}=\\lambda_{jj}\\delta_{ii}=\\lambda_{ii}\\delta_{jj}=\\lambda_{ii}.
\n\\]
\nPortanto, o escalar $\\lambda=\\lambda_{ii}$ \u00e9 independente de $i$. Ent\u00e3o
\n\\begin{align*}
\nn\\lambda=&\\sum_{j=1}^n\\left(\\sum_{x}(x\\varrho)_{ij}(x^{-1}\\varrho)_{ji}\\right)=
\n\\sum_{x}\\left(\\sum_{j=1}^n(x\\varrho)_{ij}(x^{-1}\\varrho)_{ji}\\right)\\\\&=\\sum_x (xx^{-1}\\varrho)_{ii}=|G|.
\n\\end{align*}
\nComo $|G|$ n\u00e3o divide a carater\u00edstica de $\\F$, obtemos que $\\lambda = |G|\/n$.<\/p>\n
\n\\begin{align*}
\n\\sum_{x\\in G}(x\\chi)(x^{-1}\\psi)&=0\\\\
\n\\sum_{x\\in G}(x\\chi)(x^{-1}\\chi)&=|G|.
\n\\end{align*}
\nEm particular, $\\chi\\neq\\psi$.<\/p>\n
\n\\[
\n\\sum_{x\\in G}(x\\chi)(x^{-1}\\psi)=\\sum_{i}\\sum_j\\sum_{x\\in G}(x\\varrho)_{ii}(x^{-1}\\sigma)_{jj}=0.
\n\\]
\nAl\u00e9m disso,
\n\\[
\n\\sum_{x\\in G}(x\\chi)(x^{-1}\\chi)=\\sum_{i}\\sum_j\\sum_{x\\in G}(x\\varrho)_{ii}(x^{-1}\\varrho)_{jj}=\\sum_i\\sum_j\\frac{|G|}n\\delta_{ij}=|G|.
\n\\]<\/p>\n
\n\\[
\n\\mbox{Func}(X,\\C)=\\{f\\rightarrow \\C\\}
\n\\]
\nde fun\u00e7\u00f5es de $X$ em $\\C$. Temos que $\\dim\u00a0\\mbox{Func}(X,\\C)=|X|$. Al\u00e9m disso, defina o produto interno em $\\mbox{Func}(X,\\C)$ com a equa\u00e7\u00e3o
\n\\[
\n\\left<f,g\\right>=\\frac 1{|X|}\\sum_{x\\in X} f(x)\\overline{g(x)}.
\n\\]<\/p>\n
\n\\[
\nW=\\{f\\in\u00a0\\mbox{Func}(G,\\C)\\mid f(x)=f(g^{-1}xg)\\mbox{ para todo }g,x\\in G\\}.
\n\\]
\nNote que a dimens\u00e3o de $W$ \u00e9 igual ao n\u00famero das classes de conjuga\u00e7\u00e3o de $G$.\u00a0 Se $\\chi$ \u00e9 um caracter de $G$, ent\u00e3o $\\chi\\in W$. O teorema anterior pode ser enunciado no seguinte forma:<\/p>\n