$\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$Seja $G$ um grupo e $\\F$ um corpo. A \u00e1lgebra de grupo $\\F G$ \u00e9 definido como o conjunto de combina\u00e7\u00f5es lineares $\\sum_{g\\in G} \\alpha_g g$ finitas. Claramente, $\\F G$ \u00e9 um $G$-m\u00f3dulo sobre $\\F$ pela multiplica\u00e7\u00e3o \u00e0 direita.\u00a0 O seguinte lema \u00e9 imediato.<\/p>\n
Lema.<\/strong>\u00a0Se $U\\leq \\F G$, ent\u00e3o $U$ \u00e9 um $G$-subm\u00f3dulo se e somente se $U$ \u00e9 um ideal \u00e0 direita de $\\F G$. Se $V$ \u00e9 um $G$-m\u00f3dulo simples, ent\u00e3o existe um ideal maximal $I$ \u00e1 direita de $\\F G$ tal que $V\\cong \\F G\/I$ como $G$-m\u00f3dulos.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>A primeira afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 \u00f3bvia. Seja $V$ um $G$-m\u00f3dulo simples e seja $v\\in V\\setminus\\{0\\}$. Defina Seja $V=V_1\\oplus\\cdots\\oplus V_k$ um $G$-m\u00f3dulo sobre um corpo $\\F$. Sabe se que $\\mbox{End}_G(V)$ \u00e9 uma $\\F$-\u00e1lgebra com as opera\u00e7\u00f5es usuais. Seja $\\alpha\\in\u00a0\\mbox{End}_G(V)$. Se $v\\in V_i$, ent\u00e3o $v\\alpha=w_i+\\cdots+w_k$ onde $w_j\\in V_j$. Assim obtemos, para todo $j$, um mapa $\\alpha_{ij}:V_i\\rightarrow V_j$ e \u00e9 f\u00e1cil ver que $\\alpha_{ij}\\in\\mbox{Hom}_G(V_i,V_j)$. Al\u00e9m disso, se $\\alpha_{ij}\\in \\mbox{Hom}(V_i,V_j)$ para todo $i,j$, ent\u00e3o a matrix $(\\alpha_{ij})$ defina um elemento de $\\mbox{End}_G(V)$.<\/p>\n Teorema.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo finito e seja $\\F$ um corpo algebricamente fechado tal que $\\mbox{char}\\,\\F$ n\u00e3o divide $|G|$. As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras para $R=\\F G$:<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>1. Pelo Teorema de Maschke, $R$ \u00e9 completamente redut\u00edvel como $G$-m\u00f3dulo: $R=\\bigoplus V_i$ onde $V_i$ s\u00e3o ideais minimais \u00e0 direita de $R$. Como na demonstra\u00e7\u00e3o do Teorema de Clifford, sejam $S_1,\\ldots,S_m$ os tipos de isomorfismo de $G$-subm\u00f3dulos simples (ideias minimais \u00e0 direita) em $R$. Pelo Teorema de Jordan-Holder, $m<\\infty$. Com $i\\in \\{1,\\ldots,m\\}$, defina <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" $\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$Seja $G$ um grupo e $\\F$ um corpo. A \u00e1lgebra de grupo $\\F G$ \u00e9 definido como o conjunto de combina\u00e7\u00f5es lineares $\\sum_{g\\in G} \\alpha_g g$ finitas. Claramente, $\\F G$ \u00e9 um $G$-m\u00f3dulo sobre $\\F$ pela multiplica\u00e7\u00e3o \u00e0 direita.\u00a0 O seguinte lema \u00e9 imediato. Lema.\u00a0Se $U\\leq \\F G$, ent\u00e3o $U$ \u00e9 um $G$-subm\u00f3dulo se … Continue reading A \u00e1lgebra de grupo<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/556"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=556"}],"version-history":[{"count":3,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/556\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":559,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/556\/revisions\/559"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=556"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=556"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=556"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n\\[
\n\\varphi: \\F G\\rightarrow V,\\quad v\\mapsto vx.
\n\\]
\nEnt\u00e3o $\\varphi$ \u00e9 um homomorphismo de $G$-m\u00f3dulos. Como $\\mbox{Im}\\,\\varphi\\leq_G V$ e $V$ \u00e9 simples, temos que $\\varphi$ \u00e9 sobrejetiva. Ent\u00e3o $V\\cong \\F G\/\\ker \\varphi$. O n\u00facleo $\\ker\\varphi$ \u00e9 um ideal maximal \u00e1 direita pela primeira afirma\u00e7\u00e3o e pela simplicidade de $V\\cong \\F G\/\\ker\\varphi$.<\/p>\n\n
\n\\[
\nI_i=\\sum W\\mbox{ onde }W\\leq_G R\\mbox{ e } W\\cong S_i.
\n\\]
\nClaramente, $I_i$ \u00e9 um $G$-subm\u00f3dulo de $R$ (ou seja, ideal \u00e0 direita) e $R=I_1\\oplus\\cdots\\oplus I_m$. Seja $r\\in R$. Ent\u00e3o $rS_i$ \u00e9 um $G$-subm\u00f3dulo de $R$ e o mapa $s\\mapsto rs$ \u00e9 um $G$-homomorfismo sobrejetivo entre $S_i$ e $rS_i$. O n\u00facleo deste homomorfismo \u00e9 um $G$-subm\u00f3dulo de $S_i$. Como $S_i$ \u00e9 simples, $S_i\\cong r S_i$ ou $rS_i=0$. Isto implica que $r I_i\\leq I_i$ e que $I_i$ \u00e9 um ideal de $R$.<\/p>\n