{"id":549,"date":"2019-10-23T22:41:51","date_gmt":"2019-10-23T22:41:51","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=549"},"modified":"2019-10-24T11:25:30","modified_gmt":"2019-10-24T11:25:30","slug":"os-teoremas-de-schur-e-clifford-2","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/10\/23\/os-teoremas-de-schur-e-clifford-2\/","title":{"rendered":"O Lema de Schur e o Teorema de Clifford"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$Teorema (O lema de Schur<\/a>). <\/strong>Sejam $U$ e $V$ dois $\\F G$-m\u00f3dulos simples e $\\varphi:U\\rightarrow V$ um $G$-homomorfismo. Ent\u00e3o $\\varphi=0$ ou $\\varphi$ \u00e9 um isomorfismo.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Trivial. S\u00f3 observar que $\\ker\\varphi$ e $\\mbox{Im}\\,\\varphi$ s\u00e3o subm\u00f3dulos. Ent\u00e3o temos duas possibilidades, $\\ker\\varphi=0$ e $\\mbox{Im}\\,\\varphi=U$ (e $\\varphi$ \u00e9 um isomorfismo) ou $\\ker\\varphi=V$ e $\\varphi=0$.<\/p>\n

Lembre que para um $\\F G$-m\u00f3dulo $V$, $\\mbox{End}_G(V)$ \u00e9 uma $\\F$-\u00e1lgebra. Uma $\\F$-\u00e1lgebra \u00e9 dita \u00e1lgebra de divis\u00e3o se todo elemento n\u00e3o nulo \u00e9 invert\u00edvel. A \u00e1lgebra dos quaternions \u00e9 um exemplo de \u00e1lgebras de divis\u00e3o.<\/p>\n

Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Seja $V$ um $G$-m\u00f3dulo simples. Ent\u00e3o $\\mbox{End}_G(V)$ \u00e9 uma \u00e1lgebra de divis\u00e3o.<\/p>\n

Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Seja $\\F$ algebricamente fechado, $V$ um $G$-m\u00f3dulo simples de dimens\u00e3o finita, e $\\alpha\\in \\mbox{End}_G(V)$. Ent\u00e3o existe $\\lambda\\in\\F$ tal que $\\alpha=\\lambda\\cdot \\mbox{id}$.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Como $\\F$ \u00e9 algebricamente fechado, $\\alpha$ possui um autovalor $\\lambda$. Seja $U$ o autoespa\u00e7o
\n\\[
\nU=\\{v\\in V\\mid v\\alpha =\\lambda v\\}.
\n\\]
\nAfirmamos que $U$ \u00e9 um $G$-subm\u00f3dulo. Se $u\\in U$ e $g\\in G$, ent\u00e3o
\n\\[
\n(ug)\\alpha=(u\\alpha)g=(\\lambda u)g=\\lambda(ug);
\n\\]
\nlogo $ug\\in U$. Al\u00e9m disso, $U\\neq 0$, e a simplicidade de $V$ implica que $U=V$. Portanto $v\\alpha=\\lambda v$ para todo $v\\in V$.<\/p>\n

Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Seja $\\F$ algebricamente fechado, $V$ um $G$-m\u00f3dulo simples de dimens\u00e3o finita, e seja $\\varrho$ a representa\u00e7\u00e3o correspondente. Ent\u00e3o $Z(G)\\varrho\\leq\\{\\lambda\\cdot\\mbox{id}\\mid\\lambda\\in\\F^*\\}$.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Seja $z\\in Z(G)$ e $g\\in G$. Ent\u00e3o $(vg)z=v(gz)=v(zg)=(vz)g$ e $z\\varrho\\in\\mbox{End}_G(V)$.<\/p>\n

Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo finito abeliano, $\\F$ um corpo algebricamente fechado, e $V$ um $\\F G$-m\u00f3dulo simples de dimens\u00e3o finita. Ent\u00e3o $\\dim V=1$.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Pelos corol\u00e1rios anteriores, se $g\\in G$, ent\u00e3o existe $\\lambda\\in\\F^*$ tal que $vg=\\lambda v$ para todo $v\\in V$. Por irredutibilidade, obtemos que $\\dim V=1$.<\/p>\n

Seja $V$ um $G$-m\u00f3dulo. Uma cadeia
\n\\[
\nV=V_0>V_1>\\cdots >V_k>V_{k+1}=0
\n\\]
\n\u00e9 dita s\u00e9rie de composi\u00e7\u00e3o\u00a0<\/em>se $V_i\/V_{i+1}$ \u00e9 simples para todo $i$.<\/p>\n

Teorema (Jordan-Holder)<\/strong>. Se
\n\\[
\nV=V_0>V_1>\\cdots> V_k>V_{k+1}=0
\n\\]
\ne
\n\\[
\nV=U_0>U_1>\\cdots> U_\\ell>U_{\\ell+1}=0
\n\\]
\ns\u00e3o duas s\u00e9ries de composi\u00e7\u00e3o de um $G$-m\u00f3dulo, ent\u00e3o $k=\\ell$ e existe uma permuta\u00e7\u00e3o $\\pi\\in S_k$ tal que $V_i\/V_{i+1}\\cong U_{i\\pi}\/U_{i\\pi+1}$.<\/p>\n

Teorema (Clifford<\/a>).\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo finito, $V$ um $\\F G$-m\u00f3dulo simples de dimens\u00e3o finita, $N\\unlhd G$ e $U\\leq_N V$ um $N$-subm\u00f3dulo simples.<\/p>\n

    \n
  1. $V=\\sum_{g\\in G}Ug$ onde $Ug$ \u00e9 um $N$-m\u00f3dulo simples e $V$ \u00e9 completamente redut\u00edvel.<\/li>\n
  2. Sejam $S_1,\\ldots,S_k$ os tipos de isomorfismo dos $N$-subm\u00f3dulos simples de $V$ e seja para $i\\in\\{1,\\ldots,k\\}$,
    \n\\[
    \nV_i=\\sum W\\mbox{ onde } W\\leq_N V\\mbox{ e } W\\cong S_i.
    \n\\]
    \nEnt\u00e3o $V=V_1\\oplus\\cdots \\oplus V_k$.<\/li>\n
  3. $G$ age transitivamente no conjunto $\\{V_1,\\ldots,V_k\\}$.<\/li>\n
  4. Seja $G_i=G_{V_i}$ (o estabilizador). Ent\u00e3o $V_i$ \u00e9 um $G_i$-m\u00f3dulo simples.<\/li>\n<\/ol>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>1. $\\sum Ug$ \u00e9 um $G$-subm\u00f3dulo. Por simplicidade, $\\sum Ug=V$. Sejam $u\\in U$, $g\\in G$, e $n\\in N$. Logo
    \n\\[
    \nugn=un^{g^{-1}}g\\in Ug.
    \n\\]
    \nLogo $Ug\\leq_N V$. Al\u00e9m disso, se $W\\leq_N Ug$, ent\u00e3o $Wg^{-1}\\leq U$. Como $U$ \u00e9 $N$-simples, $Ug$ tamb\u00e9m \u00e9 para todo $g\\in G$.\u00a0 Seja $\\{g_1,\\ldots,g_r\\}\\subseteq G$ maximal tal que $W=\\sum_{i} Ug_i=\\bigoplus_i Ug_i$. Afirmamos que $V=W$. Seja\u00a0 $g\\in G$. Como $Ug$ e $W$ s\u00e3o $N$-subm\u00f3dulos,\u00a0 \u00a0$Ug\\cap W$ tamb\u00e9m \u00e9. Pela simplicidade de $Ug$, tem-se que $Ug\\cap W=Ug$ ou $Ug\\cap W=0$. Nos segundo caso, $Ug\\oplus W\\leq_N V$, e isso \u00e9 imposs\u00edvel pela maximalidade de $W$. Logo $Ug\\leq W$ para todo $g\\in G$ e $W=V$ como foi afirmado. Em particular, $V$ \u00e9 completamente redut\u00edvel.<\/p>\n

    2. Pelo Teorema de Jordan-Holder, existem somente um n\u00famero finito de tipos de isomorfismo de $N$-subm\u00f3dulos simples em $V$. Al\u00e9m disso, $V=\\sum V_i$.\u00a0 Afirmamos que a soma \u00e9 direta. Seja $i\\in\\{1,\\ldots,k\\}$ e seja $Y=\\sum_{j\\neq i}V_j$. Ent\u00e3o $V_i\\cap Y$ \u00e9 um $N$-subm\u00f3dulo de $V$. Al\u00e9m disso, um fator de composi\u00e7\u00e3o de $V_i\\cap Y$ precisa ser fator de composi\u00e7\u00e3o de $V_i$ e tamb\u00e9m de $Y$. Como $V_i$ e $Y$ n\u00e3o t\u00eam fatores de composi\u00e7\u00e3o comuns, $V_i\\cap Y=0$. Logo $V=V_1\\oplus\\cdots\\oplus V_k$.<\/p>\n

    3. Seja $i\\in \\{1,\\ldots,k\\}$ e $g\\in G$. Se $W\\leq V_i$ \u00e9 simples, ent\u00e3o $W\\cong S_i$. Neste caso $Wg$ tamb\u00e9m \u00e9 simples e $Wg\\cong S_j$ com algum $j\\in\\{1,\\ldots,k\\}$. Logo $W_ig=W_j$ e $G$ age o conjunto $\\{V_1,\\ldots,V_k\\}$. Se $\\{V_1,\\ldots,V_s\\}$ \u00e9 uma $G$-\u00f3rbita com $s\\geq 1$, ent\u00e3o $V_1\\oplus\\cdots\\oplus V_s\\leq_G V$. Pela simplicidade de $V$,\u00a0$V_1\\oplus\\cdots\\oplus V_s=V$ e $s=k$. Portanto $G$ \u00e9 transitivo no conjunto $\\{V_i\\}$.<\/p>\n

    4. Mostraremos sem perder generalidade que $V_1$ \u00e9 $G_1$-irredut\u00edvel. Seja $0<W\\leq_{G_1} V_1$. Por parte 3., existem $g_1,\\ldots,g_k$ tais que $V_i=V_1g_i$ para todo $i$. Em particular, $V=V_1g_1\\oplus\\cdots\\oplus V_1g_k$.\u00a0 Se $g\\in G$ e $i\\in\\{1,\\ldots,k\\}$,\u00a0 ent\u00e3o $g_ig\\in G_1g_{i’}$ com algum $i’$ e o mapa $i\\mapsto i’$ \u00e9 uma permuta\u00e7\u00e3o de $\\{1,\\ldots,k\\}$. Em particular, $g_ig=h_ig_{i’}$ com algum $h_i\\in G_1$. Em particular
    \n\\begin{align*}
    \n&(Wg_1\\oplus\\cdots\\oplus Wg_k)g=Wg_{1}g\\oplus\\cdots\\oplus Wg_kg\\\\=&
    \nWh_1g_{1′}\\oplus\\cdots\\oplus Wh_kg_{k’}=
    \nWg_{1′}\\oplus\\cdots\\oplus Wg_{k’}.
    \n\\end{align*}
    \nPortanto, $Wg_1\\oplus\\cdots\\oplus Wg_k$ \u00e9 um $G$-subm\u00f3dulo. Pela simplicidade de $V$,\u00a0 $Wg_1\\oplus\\cdots\\oplus Wg_k=V$ e $W=V_1$.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    $\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$Teorema (O lema de Schur). Sejam $U$ e $V$ dois $\\F G$-m\u00f3dulos simples e $\\varphi:U\\rightarrow V$ um $G$-homomorfismo. Ent\u00e3o $\\varphi=0$ ou $\\varphi$ \u00e9 um isomorfismo. Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0Trivial. S\u00f3 observar que $\\ker\\varphi$ e $\\mbox{Im}\\,\\varphi$ s\u00e3o subm\u00f3dulos. Ent\u00e3o temos duas possibilidades, $\\ker\\varphi=0$ e $\\mbox{Im}\\,\\varphi=U$ (e $\\varphi$ \u00e9 um isomorfismo) ou $\\ker\\varphi=V$ e $\\varphi=0$. Lembre que para um … Continue reading O Lema de Schur e o Teorema de Clifford<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/549"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=549"}],"version-history":[{"count":5,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/549\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":555,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/549\/revisions\/555"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=549"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=549"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=549"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}