{"id":504,"date":"2019-10-15T11:59:03","date_gmt":"2019-10-15T11:59:03","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=504"},"modified":"2019-10-15T11:59:03","modified_gmt":"2019-10-15T11:59:03","slug":"grupos-livres","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/10\/15\/grupos-livres\/","title":{"rendered":"Grupos livres"},"content":{"rendered":"

Sejam $X,X^{-1}$ dois conjuntos distintos e assuma que existe uma bije\u00e7\u00e3o $x\\mapsto x^{-1}$ entre $X$ e $X^{-1}$.\u00a0 Se $x^{-1}\\in X^{-1}$, ent\u00e3o escrevemos $(x^{-1})^{-1}=x$. Uma palavra<\/em> em $X$ \u00e9 uma express\u00e3o na forma
\n\\[
\nw=x_1x_2\\cdots x_k
\n\\]
\nonde $k\\geq 0$ e $x_i\\in X\\cup X^{-1}$.\u00a0 Se $k=0$, ent\u00e3o $w$ \u00e9 denotado por $e$ e \u00e9 dita a palavra vazia<\/em>. O comprimento<\/em> da palavra $w$ acima \u00e9 $k$. Uma palavra $w=x_1x_2\\cdots x_k$ \u00e9 dita reduzida<\/em> se $w=e$ ou o comprimento de $w$ \u00e9 maior que $0$ e $w$ n\u00e3o cont\u00e9m nenhuma ocorr\u00eancia da subpalavra $xx^{-1}$ ou $x^{-1}x$ com $x\\in X$. Se $w$ \u00e9 uma palavra, ent\u00e3o cancelando as ocorr\u00eancias de subpalavras na forma $xx^{-1}$ ou\u00a0$x^{-1}x$, obtemos uma palavra $\\bar w$ reduzida.<\/p>\n

Denotaremos por $F_X$ o conjunto de palavras reduzidas. Introduzimos uma opera\u00e7\u00e3o bin\u00e1ria no conjunto $F_X$. Sejam $w_1,w_2\\in F_X$. Definimos $w_1\\cdot w_2=\\overline{w_1w_2}$ onde $w_1w_2$ significa a concatena\u00e7\u00e3o de palavras.<\/p>\n

Teorema. <\/strong>$(F_X,\\cdot)$ \u00e9 um grupo.<\/p>\n

O grupo $F_X$ \u00e9 chamado de grupo livre<\/em> gerado por $X$.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.
\n<\/strong>A opera\u00e7\u00e3o em $F_X$ \u00e9 bem definida. Al\u00e9m disso, $e$ \u00e9 elemento neutro, e se $x_1\\cdots x_k\\in F_X$, ent\u00e3o
\n$$
\n(x_1\\cdots x_k)(x_k^{-1}\\cdots x_1^{-1})=(x_k^{-1}\\cdots x_1^{-1})(x_1\\cdots x_k)=e.
\n$$
\nLogo, todo elemento possui inverso. A parte n\u00e3o trivial desta demonstra\u00e7\u00e3o \u00e9 mostrar que a opera\u00e7\u00e3o em $F_X$ \u00e9 associativa. Mostraremos isso utilizando o truque de van der Waerden<\/a>.
\nSeja $x\\in X$. Definimos as fun\u00e7\u00f5es $\\psi_x,\\psi_{x^{-1}}:F_X\\rightarrow F_X$ como
\n$$
\n\\psi_x(x_1\\cdots x_k)=\\left\\{\\begin{array}{ll} x_1\\cdots x_{k-1}&\\mbox{se $x_k=x^{-1}$};\\\\
\nx_1\\cdots x_kx&\\mbox{no caso contr\u00e1rio;}\\end{array}\\right.
\n$$
\ne
\n$$
\n\\psi_{x^{-1}}(x_1\\cdots x_k)=\\left\\{\\begin{array}{ll} x_1\\cdots x_{k-1}&\\mbox{se $x_k=x$};\\\\
\nx_1\\cdots x_kx^{-1}&\\mbox{no caso contr\u00e1rio.}\\end{array}\\right.
\n$$
\nNas defini\u00e7\u00f5es destas fun\u00e7\u00f5es, assumimos que o argumento $x_1\\cdots x_k$ \u00e9 uma palavra reduzida. Claramente, as fun\u00e7\u00f5es $\\psi_x$ e $\\psi_{x^{-1}}$ s\u00e3o bem definidas. Al\u00e9m disso, note que $\\psi_x\\circ \\psi_{x^{-1}}=\\psi_{x^{-1}}\\circ \\psi_x=\\mbox{id}_{F_X}$. Portanto $\\psi_x,\\psi_{x^{-1}}$ s\u00e3o bijetivas e $\\psi_x^{-1}=\\psi_{x^{-1}}$. Em outras palavras, $\\psi_x,\\psi_{x^{-1}}\\in S(F_X)$. Seja $\\mathcal F_X$ o subgrupo de $S(F_X)$ gerado por $\\{\\psi_x\\mid x\\in X\\}$. Defina $\\psi: F_X\\rightarrow \\mathcal F_X$,
\n$$
\n\\psi(x_1\\cdots x_k)=\\psi_{x_1}\\cdots \\psi_{x_k}.
\n$$
\nComo $\\mathcal F_X$ \u00e9 gerado por $\\{\\psi_x\\mid x\\in X\\}$, $\\psi$ \u00e9 sobrejetivo. Al\u00e9m disso, se $\\psi(x_1\\cdots x_k)=\\psi(y_1\\cdots y_m)$, ent\u00e3o
\n$\\psi_{x_1}\\cdots \\psi_{x_k}=\\psi_{y_1}\\cdots \\psi_{y_m}$. Por outro lado,
\n$x_1\\cdots x_k=e(\\psi_{x_1}\\cdots \\psi_{x_k})=e(\\psi_{y_1}\\cdots \\psi_{y_m})=y_1\\cdots y_m$. Portanto $\\psi$ \u00e9 injetiva, e ent\u00e3o $\\psi$ \u00e9 bijetiva. Como $\\psi$ tamb\u00e9m satisfaz a igualdade $\\psi(w_1w_2)=\\psi(w_1)\\psi(w_2)$, obtemos que $\\psi$ \u00e9 um isomorfismo entre as estruturas $F_X$ e $\\mathcal F_X$ com as suas respetivas multiplica\u00e7\u00f5es. Como $\\mathcal F_X$ \u00e9 associativa, obtemos que $F_X$ tamb\u00e9m \u00e9. Portanto $F_X$ \u00e9 um grupo.<\/p>\n

Teorema (Propriedade Universal).\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo e $F_X$ um grupo livre gerado por $X$. Seja $\\varphi:X\\rightarrow G$ um mapa arbitr\u00e1rio. Ent\u00e3o existe um homomorfismo $\\psi:F_X\\rightarrow G$ tal que $\\psi|_X=\\varphi$. (Todo mapa $X\\rightarrow G$ pode ser estendido a um homomorfismo $F_X\\rightarrow G$.)<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0Seja $w=x_1\\cdots x_k\\in F_X$ e defina $\\psi(w)=\\varphi(x_1)\\cdots\\varphi(x_k)$. Ent\u00e3o $\\psi$ \u00e9 um homomorfismo e claramente $\\psi(x)=\\varphi(x)$ para todo $x\\in X$.<\/p>\n

Corol\u00e1rio.<\/strong> Seja $G$ um grupo gerado por um conjunto $X$. Ent\u00e3o existe um homomorfismo $\\psi:F_X\\rightarrow G$ sobrejetivo tal que $\\psi|_X=\\mbox{id}_X$. Em particular $G\\cong F\/\\ker\\psi$. (Cada grupo \u00e9 quociente de um grupo livre.)<\/p>\n

Seja $X$ um conjunto, $F_X$ o grupo livre gerado por $X$ e $Y\\subseteq F_X$. Seja $\\left<Y\\right>^{F_X}$ o subgrupo normal gerado por $Y$. O grupo quociente $G=F_X\/\\left<Y\\right>^{F_X}$ \u00e9 denotado por
\n\\begin{equation}\\label{eq:pres}
\n\\left<X \\mid Y\\right>.
\n\\end{equation}
\nA express\u00e3o~\\eqref{eq:pres} \u00e9 dita uma apresenta\u00e7\u00e3o para o grupo $G$.<\/p>\n

Exemplo.\u00a0<\/strong>O grupo c\u00edclico $C_n$ \u00e9 apresentado pela apresenta\u00e7\u00e3o
\n$$
\n\\left<x\\mid x^n\\right>.
\n$$<\/p>\n

Exemplo.\u00a0<\/strong>Seja $G$ o grupo dihedral $D_n$ com $n\\geq 3$. Afirmamos que $G$ \u00e9 apresentado por
\n$$
\n\\left< a,b\\mid a^n,b^2,baba\\right>.
\n$$
\nSeja $\\bar a\\in D_n$ a rota\u00e7\u00e3o de ordem $n$ e $\\bar b\\in D_n$ uma reflex\u00e3o. Seja $X=\\{a,b\\}$ e considere o grupo livre $F_X$. Pela Propriedade Universal, o mapa $a\\mapsto \\bar a$, $b\\mapsto \\bar b$, pode ser estendido a um homomorfismo sobrejetivo $\\psi:F_X\\rightarrow D_n$. Como $\\bar a^n=\\bar b^2=\\bar b\\bar a\\bar b\\bar a=1$, tem-se que $a^n,b^n,baba\\in \\ker\\psi$. Denotando por $N=\\left<a^n,b^2,baba\\right>^{F_X}$, obtemos que $N\\leq \\ker\\psi$. Portanto, podemos definir um homomorfismo sobrejetivo $\\bar\\psi:F_X\/N\\rightarrow D_n$ e isto implica que $|F_X\/N|\\geq 2n$.. Para provar que $\\bar\\psi$ \u00e9 um isomorfismo, precisamos provar que $|F_X\/N|\\leq 2n$, mas isso segue da observa\u00e7\u00e3o que, usando $a^n\\in N$, $b^2\\in N$ e $baN=a^{-1}bN$,\u00a0 todo elemento de $F\/N$ pode ser escrito como $a^\\alpha b^\\beta N$ onde $0\\leq \\alpha\\leq n-1$ e $0\\leq \\beta\\leq 1$.<\/p>\n

Exemplo.\u00a0<\/strong>O grupo dos quaternions $Q_8$ pode ser apresentado pelas apresenta\u00e7\u00f5es
\n$$
\n\\left<a,b\\mid a^4,b^2a^2,bab^{-1}a\\right>
\n$$
\ne
\n$$
\n\\left<a,b\\mid abab^{-1},a^2b^{-2}\\right>
\n$$<\/p>\n

Exemplo.\u00a0<\/strong>O grupo sim\u00e9trico \u00e9 gerado pelas transposi\u00e7\u00f5es $a_i=(i,i+1)$ com $i\\in\\{1,\\ldots,n-1\\}$ e ele pode ser apresentado pela apresenta\u00e7\u00e3o
\n$$
\n\\left<a_1,\\ldots,a_{n-1}\\mid a_i^2,(a_ia_{i+1})^3, [a_i,a_j] \\mbox{ se $|i-j|\\geq 2$}\\right>.
\n$$
\nEsta apresenta\u00e7\u00e3o \u00e9 referida com a apresenta\u00e7\u00e3o de Coxeter<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Sejam $X,X^{-1}$ dois conjuntos distintos e assuma que existe uma bije\u00e7\u00e3o $x\\mapsto x^{-1}$ entre $X$ e $X^{-1}$.\u00a0 Se $x^{-1}\\in X^{-1}$, ent\u00e3o escrevemos $(x^{-1})^{-1}=x$. Uma palavra em $X$ \u00e9 uma express\u00e3o na forma \\[ w=x_1x_2\\cdots x_k \\] onde $k\\geq 0$ e $x_i\\in X\\cup X^{-1}$.\u00a0 Se $k=0$, ent\u00e3o $w$ \u00e9 denotado por $e$ e \u00e9 dita a … Continue reading Grupos livres<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/504"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=504"}],"version-history":[{"count":34,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/504\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":538,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/504\/revisions\/538"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=504"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=504"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=504"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}