{"id":472,"date":"2019-10-08T00:14:34","date_gmt":"2019-10-08T00:14:34","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=472"},"modified":"2019-10-10T11:15:45","modified_gmt":"2019-10-10T11:15:45","slug":"classical-forms-and-the-classical-groups","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/10\/08\/classical-forms-and-the-classical-groups\/","title":{"rendered":"Formas cl\u00e1ssicas e os grupos cl\u00e1ssicos"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$Seja $\\F$ um corpo e $V$ um espa\u00e7o vetorial de dimens\u00e3o $n$ sobre $\\F$. Seja $\\sigma\\in \\mbox{Aut}(\\F)$. Um mapa
\n$$
\nV\\times V\\rightarrow\\F,\\quad (u,v)\\mapsto (u,v)
\n$$
\n\u00e9 dito $\\sigma$-sesquilinear<\/em> se
\n\\begin{align*}
\n(\\alpha u+\\beta v,w)=&\\alpha(u,w)+\\beta(v,w);\\\\
\n(u,\\alpha v+\\beta w)=&(\\alpha\\sigma) (u,v)+(\\beta\\sigma)(v,w).
\n\\end{align*}
\nUma forma $\\sigma$-sesquilinear $(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 dita $\\sigma$-hermitiana,<\/em> se $(u,v)=(v,u)\\sigma$. Uma forma $\\mbox{id}$-sesquilinear \u00e9 dita bilinear<\/em>.<\/p>\n

Lema.\u00a0<\/strong>Seja $(\\cdot,\\cdot)$ uma forma $\\sigma$-hermitiana n\u00e3o nula. Ent\u00e3o $\\sigma^2=\\mbox{id}$.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Sejam $u,v\\in \\F$ tais que $(u,v)=c\\neq 0$. Ent\u00e3o
\n$$
\nc{\\sigma^2}=(u,v)\\sigma^2=(v,u)\\sigma=(u,v)=c.
\n$$<\/p>\n

O lema anterior implica que se $(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 uma forma $\\sigma$-hermitiana, ent\u00e3o $\\sigma$ \u00e9 um automorfismo do corpo $\\F$ com $\\sigma=\\mbox{id}$ ou $|\\sigma|=2$. No segundo caso, dizemos que $\\sigma$ \u00e9 um automorfismo involutivo<\/em>.<\/p>\n

Uma forma $\\mbox{id}$-hermitiana \u00e9 dita forma sim\u00e9trica<\/em>. Uma forma bilinear \u00e9 dita simpl\u00e9tica<\/em> se $(u,u)=0$ para todo $u\\in V$. Note que se $(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 uma forma simpl\u00e9tica, ent\u00e3o $(u,v)=-(v,u)$ vale para todo $u,v\\in V$. Al\u00e9m disso, se $\\mbox{char}\\,\\F\\neq 2$, ent\u00e3o a identidade $(u,v)=-(v,u)$ implica que a forma \u00e9 simpl\u00e9tica.<\/p>\n

Uma forma $(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 dita n\u00e3o degenerada<\/em> se
\n\\begin{align*}
\n&\\{v\\in V\\mid (v,u)=0\\mbox{ para todo }u\\in V\\}=\\\\&\\{v\\in V\\mid (u,v)=0\\mbox{ para todo }u\\in V\\}=\\{0\\}.
\n\\end{align*}<\/p>\n

Seja $V$ um espa\u00e7o vetorial sobre um corpo de carater\u00edstica diferente de 2. Seja $(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 uma forma que satisfaz uma das seguintes condi\u00e7\u00f5es:<\/p>\n

    \n
  1. forma nula: $(u,v)=0$ para todo $u,v\\in V$;<\/li>\n
  2. forma bilinear simpl\u00e9tica n\u00e3o degenerada;<\/li>\n
  3. forma $\\sigma$-hermitiana n\u00e3o degenerada com $\\sigma\\in\\mbox{Aut}(\\F)$ involut\u00edva.<\/li>\n
  4. forma bilinear sim\u00e9trica n\u00e3o\u00a0 degenerada.<\/li>\n<\/ol>\n

    Uma forma que satisfaz uma das quatro condi\u00e7\u00f5es em cima \u00e9 dita forma cl\u00e1ssica<\/em>.<\/p>\n

    Seja $(\\cdot,\\cdot)$ uma das formas cl\u00e1ssicas e denote por $Z=\\{\\lambda I\\mid \\lambda\\in\\F^*\\}\\leq GL(n,\\F)$.
    \nDenotamos por
    \n\\begin{align*}
    \nGX(n,\\F)=&\\{X\\in GL(n,\\F)\\mid (uX,vX)=(u,v)\\mbox{ para todo } u,v\\in V\\};\\\\
    \nSX(n,F)=&\\{X\\in SL(n,\\F)\\mid (uX,vX)=(u,v)\\mbox{ para todo } u,v\\in V\\};\\\\
    \nPGX(n,\\F)=&GX(n,\\F)\/(Z\\cap GX(n,\\F));\\\\
    \nPSX(n,\\F)=&SX(n,\\F)\/(Z\\cap SX(n,\\F)).
    \n\\end{align*}<\/p>\n

    Sobre um corpo finito existem um n\u00famero pequeno de possibilidades das formas cl\u00e1ssicas. Se\u00a0$(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 uma forma cl\u00e1ssica, ent\u00e3o um par $(e,f)\\in V\\times V$ \u00e9 dito par hiperb\u00f3lico se $(e,e)=(f,f)=0$ e $(e,f)=1$. Neste caso o espa\u00e7o $\\left<e,f\\right>$ \u00e9 dito plano hiperb\u00f3lico.<\/p>\n

    Se $u,v\\in V$ tais que $(u,v)=0$, ent\u00e3o escrevemos que $u\\perp v$. Se $U,W\\leq V$ tal que $u\\perp w$ para todo $u\\in U$ e $w\\in W$, ent\u00e3o escrevemos que $U\\perp W$. Se, al\u00e9m disso, $U\\cap W=0$, ent\u00e3o escrevemos $U\\oplus W=U \u29b9W$.<\/p>\n

    Teorema.\u00a0<\/strong>Seja $\\F$ um corpo finito de ordem $q$ \u00edmpar e seja $(\\cdot,\\cdot)$ uma forma cl\u00e1ssica em $V=\\F^n$.\u00a0 Ent\u00e3o uma das seguintes possibilidades \u00e9 v\u00e1lida:<\/p>\n

      \n
    1. $(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 a forma nula;<\/li>\n
    2. $(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 uma forma simpl\u00e9tica, $n$ \u00e9 par e existem planos hiperb\u00f3licos $L_1,\\ldots,L_{n\/2}$ tais que
      \n$$
      \nV=L_1\u29b9 \\cdots\u29b9 L_{n\/2}.
      \n$$<\/li>\n
    3. $q=q_0^2$, $\\sigma:x\\mapsto x^{q_0}$, $(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 uma forma $\\sigma$-hermitiana, $n$ \u00e9 par e existem planos hiperb\u00f3licos $L_1,\\ldots,L_{n\/2}$ tais que
      \n$$
      \nV=L_1\u29b9 \\cdots\u29b9 L_{n\/2}.
      \n$$<\/li>\n
    4. $q=q_0^2$, $\\sigma:x\\mapsto x^{q_0}$, $(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 uma forma $\\sigma$-hermitiana, $n$ \u00e9 \u00edmpar e existem planos hiperb\u00f3licos $L_1,\\ldots,L_{(n-1)\/2}$ e $w\\in V$ tais que $(w,w)=1$ e
      \n$$
      \nV=L_1\u29b9 \\cdots\u29b9 L_{n\/2}\u29b9 \\left<w\\right>.
      \n$$<\/li>\n
    5. $(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 uma forma sim\u00e9trica, $n$ \u00e9 par e existem planos hiperb\u00f3licos $L_1,\\ldots,L_{n\/2}$ tais que
      \n$$
      \nV=L_1\u29b9 \\cdots\u29b9 L_{n\/2}.
      \n$$<\/li>\n
    6. $(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 uma forma sim\u00e9trica, $n$ \u00e9 par e existem planos hiperb\u00f3licos $L_1,\\ldots,L_{(n-2)\/2}$ e $w_1,w_2\\in V$ tais que $(w_1,w_1)=2$, $(w_2,w_2)=2\\zeta$, $(w_1,w_2)=2$, onde $x^2+x+\\zeta\\in\\F[x]$ \u00e9 irredut\u00edvel e
      \n$$
      \nV=L_1\u29b9 \\cdots\u29b9 L_{(n-2)\/2}\u29b9\\left<w_1,w_2\\right>.
      \n$$<\/li>\n
    7. $(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 uma forma sim\u00e9trica, $n$ \u00e9 \u00edmpar e existem planos hiperb\u00f3licos $L_1,\\ldots,L_{(n-1)\/2}$ e $w\\in V$ tais que $(w,w)=1$\u00a0 e
      \n$$
      \nV=L_1\u29b9 \\cdots\u29b9 L_{(n-1)\/2}\u29b9\\left<w\\right>.
      \n$$<\/li>\n
    8. $(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 uma forma sim\u00e9trica, $n$ \u00e9 \u00edmpar e existem planos hiperb\u00f3licos $L_1,\\ldots,L_{(n-1)\/2}$ e $w\\in V$ tais que $(w,w)=\\zeta$ com $\\zeta\\in\\F^*\\setminus\\F^2$ e
      \n$$
      \nV=L_1\u29b9 \\cdots\u29b9 L_{(n-1)\/2}\u29b9\\left<w\\right>.
      \n$$<\/li>\n<\/ol>\n

      Enquanto nos casos 7. e 8. do teorema anterior, obtemos espa\u00e7os n\u00e3o isom\u00e9tricos, os grupos correspondentes s\u00e3o isomorfos. Os grupos $GX$, $SX$, $PGX$, $PSX$ s\u00e3o denotados de acordo com a seguinte tabela:<\/p>\n\n\n\n\n\t\n\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t
      forma<\/th>$GX(n,q)$<\/th>$SX(n,q)$<\/th>$PGX(n,q)$<\/th>$PSX(n,q)$<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
      nula<\/td>$GL(n,q)$<\/td>$SL(n,q)$<\/td>$PGL(n,q)$<\/td>$PSL(n,q)$<\/td>\n<\/tr>\n
      simpl\u00e9tica<\/td>$Sp(n,q)$<\/td>$Sp(n,q)$<\/td>$PSp(n,q)$<\/td>$PSp(n,q)$<\/td>\n<\/tr>\n
      hermitiana<\/td>$GU(n,q)$<\/td>$SU(n,q)$<\/td>$PGU(n,q)$<\/td>$PSU(n,q)$<\/td>\n<\/tr>\n
      sim\u00e9trica (caso 5.)<\/td>$GO^+(n,q)$<\/td>$SO^+(n,q)$<\/td>$PGO^+(n,q)$<\/td>$PSO^+(n,q)$<\/td>\n<\/tr>\n
      sim\u00e9trica (caso 6.)<\/td>$GO^-(n,q)$<\/td>$SO^-(n,q)$<\/td>$PGO^-(n,q)$<\/td>$PSO^-(n,q)$<\/td>\n<\/tr>\n
      sim\u00e9trica (caso 7.-8.)<\/td>$GO(n,q)$<\/td>$SO(n,q)$<\/td>$PGO(n,q)$<\/td>$PSO(n,q)$<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n

      Simplificando a defini\u00e7\u00e3o verdadeira, no caso de formas sim\u00e9tricas, denotamos ainda por $\\Omega^+(n,q)$, $\\Omega^-(n,q)$, e por $\\Omega(n,q)$, o subgrupo derivado de $SO^+(n,q)$, $SO^-(n,q)$, e $SO(n,q)$, respetivamente. Escrevemos $P\\Omega(n,\\F)=\\Omega(n,\\F)\/(Z\\cap \\Omega(n,\\F))$ e $P\\Omega^\\pm(n,\\F)=\\Omega^\\pm(n,\\F)\/(Z\\cap \\Omega^\\pm(n,\\F))$.<\/p>\n

      Teorema. <\/strong>As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras.<\/p>\n

        \n
      1. Se $n\\geq 2$ e $(n,q)\\neq (2,2),\\ (2,3)$, ent\u00e3o $PSL(n,q)$ is simples;<\/li>\n
      2. Se $n\\geq 2$ e $(n,q)\\neq (2,2),\\ (2,3),\\ (4,2)$, ent\u00e3o $PSp(n,q)$ \u00e9 simples;<\/li>\n
      3. Se $n\\geq 2$ e $(n,q)\\neq (2,4),(2,9),(3,4)$, ent\u00e3o $PSU(n,q)$ \u00e9 simples;<\/li>\n
      4. Se $n\\geq 6$ par e $q$ \u00e9 \u00edmpar, ent\u00e3o $P\\Omega^+(n,q)$ \u00e9 simples.<\/li>\n
      5. Se $n\\geq 4$ par e $q$ \u00e9 \u00edmpar, ent\u00e3o $P\\Omega^-(n,q)$ \u00e9 simples.<\/li>\n
      6. Se $n\\geq 3$\u00a0 \u00edmpar e $q$ \u00e9 \u00edmpar e $(n,q)\\neq (3,3)$,\u00a0 ent\u00e3o $P\\Omega(n,q)$ \u00e9 simples.<\/li>\n<\/ol>\n

        Partes 1.-3. podem ser demonstradas usando o Lema de Iwasawa. Para demonstrar partes 4.-6., pode-se usar a teoria das \u00e1lgebras de Clifford<\/a>.<\/p>\n

        Os grupos cl\u00e1ssicos podem ser simples sobre um corpo $\\F$ infinito ou sobre carater\u00edstica 2, mas a situa\u00e7\u00e3o \u00e9 mais complicada.<\/p>\n

         <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        $\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$Seja $\\F$ um corpo e $V$ um espa\u00e7o vetorial de dimens\u00e3o $n$ sobre $\\F$. Seja $\\sigma\\in \\mbox{Aut}(\\F)$. Um mapa $$ V\\times V\\rightarrow\\F,\\quad (u,v)\\mapsto (u,v) $$ \u00e9 dito $\\sigma$-sesquilinear se \\begin{align*} (\\alpha u+\\beta v,w)=&\\alpha(u,w)+\\beta(v,w);\\\\ (u,\\alpha v+\\beta w)=&(\\alpha\\sigma) (u,v)+(\\beta\\sigma)(v,w). \\end{align*} Uma forma $\\sigma$-sesquilinear $(\\cdot,\\cdot)$ \u00e9 dita $\\sigma$-hermitiana, se $(u,v)=(v,u)\\sigma$. Uma forma $\\mbox{id}$-sesquilinear \u00e9 dita bilinear. Lema.\u00a0Seja … Continue reading Formas cl\u00e1ssicas e os grupos cl\u00e1ssicos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/472"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=472"}],"version-history":[{"count":23,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/472\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":502,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/472\/revisions\/502"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=472"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=472"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=472"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}