{"id":457,"date":"2019-09-30T23:12:23","date_gmt":"2019-09-30T23:12:23","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=457"},"modified":"2020-09-23T14:31:44","modified_gmt":"2020-09-23T14:31:44","slug":"o-lema-de-iwasawa-e-a-simplicidade-de-pslnf","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/09\/30\/o-lema-de-iwasawa-e-a-simplicidade-de-pslnf\/","title":{"rendered":"O Lema de Iwasawa e a simplicidade de PSL(n,F)"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$Lema (Iwasawa<\/a>).\u00a0<\/strong>Assuma que um grupo $G$ age primitivamente no conjunto $\\Omega$ e um estabilizador $G_\\alpha$ possui um subgrupo normal abeliano $A$ tal que $\\left<A^g\\mid g\\in G\\right>=G$. Suponha ainda que $G$ \u00e9 perfeito (ou seja, $G’=G$). Denotando por $K$ o n\u00facleo da a\u00e7\u00e3o de $G$ em $\\Omega$, tem-se que $G\/K$ \u00e9 simples.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>\u00a0Trocando $G$ por $G\/K$, podemos assumir sem perder generalidade que $K=1$; ou seja $G$ \u00e9 um subgrupo de $S(\\Omega)$. Seja $N\\neq 1$ um subgrupo normal de $G$. Como $G_\\alpha$ \u00e9 maximal, $G_\\alpha N=G$ e todo elemento $x\\in G$ pode ser escrito como $x=gn$ onde $g\\in G_\\alpha$ e $n\\in N$. Em particular, $A^x=A^{(gn)}=A^n$. Logo $AN=G$ e $G\/N=A\/(A\\cap N)$ \u00e9 abeliano. Como $G’=G$, obtemos que $(G\/N)’=G\/N$, que implica que $N=G$.\u00a0 Ou seja $G$ \u00e9 simples.<\/p>\n

Teorema.\u00a0<\/strong>Seja $n\\geq 2$ e $\\F$ um corpo (finito ou infinito) tal que $(n,|\\F|)\\neq (2,2), (2,3)$. Ent\u00e3o o grupo $PSL(n,\\F)$ \u00e9 simples.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>N\u00f3s vamos mostrar que as condi\u00e7\u00f5es do Lema de Iwasawa est\u00e3o v\u00e1lidas.<\/p>\n

A\u00e7\u00e3o:<\/em> Considere o grupo $G=SL(n,\\F)$ com sua a\u00e7\u00e3o em $\\Omega=\\{\\left<v\\right>\\mid v\\in\\F^n\\setminus\\{0\\}\\}$. Mostramos anteriormente na aula que $SL(n,\\F)$ \u00e9 2-transitivo em $\\Omega$ e portanto primitivo. O n\u00facleo da a\u00e7\u00e3o \u00e9
\n$$
\nK=\\{\\lambda I\\mid \\lambda^n=1\\}
\n$$
\nonde $I$ \u00e9 a matriz identidade.\u00a0 Ent\u00e3o $SL(n,\\F)\/K\\cong PSL(n,\\F)$.<\/p>\n

O estabilizador. <\/em>Seja $\\alpha=\\left<(1,0,\\ldots,0)\\right>$. O estabilizador de $\\alpha$ \u00e9 composto por matrizes na forma
\n$$
\n\\begin{pmatrix} a & 0\\\\ v & A\\end{pmatrix}
\n$$
\nonde $a\\in\\F^*$, $v\\in \\F^{n-1}$, $0$ \u00e9 o vetor nulo em $\\F^{n-1}$ e $A$ \u00e9 uma matriz $(n-1)\\times (n-1)$ tal que $\\det A=a^{-1}$.<\/p>\n

Afirma\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/em>As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras:
\n\\begin{align*}
\n\\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ v & I\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} a & 0\\\\ 0 & A\\end{pmatrix}=&\\begin{pmatrix} a & 0\\\\ a v & A\\end{pmatrix}\\\\
\n\\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ v_1 & I\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ v_2 & I\\end{pmatrix}=&
\n\\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ v_1+v_2 & I\\end{pmatrix}\\\\
\n\\begin{pmatrix} a_1 & 0\\\\ 0 & A_1\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} a_2 & 0\\\\ 0 & A_2\\end{pmatrix}=&\\begin{pmatrix} a_1a_2 & 0\\\\ 0 & A_1A_2\\end{pmatrix}\\\\\\begin{pmatrix} a & 0\\\\ 0 & A\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ v & I\\end{pmatrix}=&
\n\\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ a^{-1}A v^t & I\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} a & 0\\\\ 0 & A\\end{pmatrix}.
\n\\end{align*}<\/p>\n

Conseq\u00eancia:\u00a0<\/em>Seja \\begin{align*}
\nA=&\\left\\{\\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ v & I\\end{pmatrix}\\mid v\\in \\F^{n-1}\\right\\}\\\\
\nH=&\\left\\{\\begin{pmatrix} a & 0\\\\ 0 & A\\end{pmatrix}\\mid \\det A=a^{-1}\\right\\}.
\n\\end{align*}
\nEnt\u00e3o $H\\leq G_\\alpha$, $A\\unlhd G_\\alpha$ e $A$ \u00e9 um grupo abeliano.<\/p>\n

$G$ \u00e9 gerado pelos conjugados de $A$<\/em>. Seja $X$ uma matriz $n\\times n$ tal que $\\det X=1$. \u00c9 bem conhecido que, usando as seguintes opera\u00e7\u00f5es, $X$ pode ser transformado a matriz identidade:<\/p>\n

    \n
  1. somar um m\u00faltiplo da $i$-\u00e9sima linha a $j$-\u00e9sima linha ($i\\neq j$);<\/li>\n
  2. \u00a0somar um m\u00faltiplo da\u00a0$i$-\u00e9sima coluna a $j$-\u00e9sima coluna ($i\\neq j$).<\/li>\n<\/ol>\n

    Denote por $e_{i,j}$ a matriz que tem toda entrada zero exceto a entrada na posi\u00e7\u00e3o $(i,j)$ que \u00e9 1. A opera\u00e7\u00e3o 1. corresponde \u00e0 multiplica\u00e7\u00e3o por $I+\\lambda e_{ji}$ no lado esquerdo, enquanto a opera\u00e7\u00e3o 2. corresponde \u00e0 multiplica\u00e7\u00e3o no lado direito com\u00a0$I+\\lambda e_{ij}$ (onde $\\lambda\\in\\F$). Logo $G=\\left<I+\\lambda e_{ij}\\mid i\\neq j,\\ \\lambda\\in\\F\\right>$.<\/p>\n

    Denote por $e_1,\\ldots,e_n$ a base can\u00f4nica de $\\F^n$. Seja $T=I+\\lambda e_{ij}$. Note que $e_kT=e_k$ se $k\\neq i$, enquanto $e_iT=e_i+\\lambda e_j$. Seja $X\\in SL(n,\\F)$ tal que as imagens de $e_k$ com $k\\not\\in\\{i,j\\}$ s\u00e3o $e_3,\\ldots,e_n$, respetivamente, enquanto $e_i X=e_2$ e $e_jX=\\pm e_1$. Neste caso,
    \n\\begin{align*}
    \ne_2X^{-1}TX=&e_iTX=(e_i+\\lambda e_j)X=e_2\\pm \\lambda e_1\\mbox{ e};\\\\
    \ne_m X^{-1}TX=&e_{m’}TX=e_{m’}X=e_m\\mbox{ se $m\\neq 2$}
    \n\\end{align*}
    \nonde $m’$ \u00e9 tal que $e_{m’}X=e_m$. Obtemos ent\u00e3o que $T^X\\in A$; ou seja, $T\\in A^{X^{-1}}$. Como o conjunto de transforma\u00e7\u00f5es na forma $I+\\lambda e_{ij}$ com $i\\neq j$ geram $G$, obtemos que $G=\\left<A^g\\mid g\\in G\\right>$.<\/p>\n

    $G’=G$. Pelo argumento no par\u00e1grafo anterior, \u00e9 suficiente provar que o elemento $I+\\lambda e_{1n}$ pode ser escrito como um comutador.\u00a0 Se $n\\geq 3$, ent\u00e3o
    \n$$
    \nI+\\lambda e_{1n}=[I+\\lambda e_{12},I+e_{2n}].
    \n$$
    \nSe $n=2$, e $|\\F|\\geq 4$, ent\u00e3o sejam $x\\in \\F$ e $a\\in\\F^*$ tais que $a\\neq \\pm 1$ e $\\lambda = x(a^{-2}-1)$. Ent\u00e3o
    \n$$
    \nI+\\lambda e_{12}=\\left[\\begin{pmatrix} 1 & x \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix},\\begin{pmatrix} a & 0 \\\\ 0 & a^{-1} \\end{pmatrix}\\right].
    \n$$<\/p>\n

     <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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