O grupo alternado $A_n$ \u00e9 composto por todos os permuta\u00e7\u00f5es pares de $S_n$ onde $n\\geq 2$.<\/p>\n
Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>Seja $C$ uma classe de conjuga\u00e7\u00e3o em $S_n$ representado por um elemento $c_1c_2\\cdots c_m$ par (ent\u00e3o $C\\subseteq A_n$) onde os $c_i$ s\u00e3o ciclos disjuntos com comprimento $r_1,\\ldots,r_m$ respetivamente ($\\sum r_i=n$). Ent\u00e3o uma das seguintes possibilidades \u00e9 verdadeira:<\/p>\n Al\u00e9m disso, possibilidade 2. ocorre se e somente se qualquer uma das seguintes condi\u00e7\u00f5es equivalentes s est\u00e1 v\u00e1lida:<\/p>\n Teorema.\u00a0<\/strong>Se $n\\geq 5$, ent\u00e3o $A_n$ \u00e9 simples.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Indu\u00e7\u00e3o por $n$.<\/p>\n O primeiro passo da indu\u00e7\u00e3o \u00e9 considerar o caso $n=5$. Note que $A_5$ possui cinco classes de conjuga\u00e7\u00e3o, nomeadamente $1^{A_5}$, $(1,2)(3,4)^{A_5}$, $(1,2,3)^{A_5}$, $(1,2,3,4,5)^{A_5}$ e $(1,3,2,4,5)^{A_5}$ com ordens 1, 15, 20, 12, 12. Note que um subgrupo normal de $A_5$ \u00e9 uma uni\u00e3o de classes de conjuga\u00e7\u00e3o. Al\u00e9m disso, um subgrupo normal sempre cont\u00e9m a identidade e \u00e9 fechado para inversos e a sua ordem \u00e9 um divisor de 60 (Teorema de Lagrange). Assim as poss\u00edveis ordens de subgrupos normais s\u00e3o 1 e 60. Portanto $A_5$ \u00e9 simples.<\/p>\n Assuma que $A_n$ \u00e9 simples para algum $n\\geq 5$ considere $G=A_{n+1}$. Seja $G_i$ o estabilizador do ponto $i$ em $G$. Como $G$ \u00e9 transitivo, os $G_i$ s\u00e3o conjugados. Al\u00e9m disso, $G_i\\cong A_n$. Seja $N\\unlhd G$.\u00a0 A interse\u00e7\u00e3o $N\\cap G_1$ \u00e9 normal em $G_1$. Logo $N\\cap G_1=G_1$ ou $N\\cap G_1=1$. No primeiro caso, como $N$ \u00e9 normal e os $G_i$ s\u00e3o conjugados, temos que $G_i\\leq N$ para todo $i$ que implica que $N=G$.<\/p>\n Assuma agora que $N\\cap G_i=1$ para todo $i$. Assuma que $N\\neq 1$. Neste caso $NG_1=G$ ($G_1$ \u00e9 maximal) e $N$ \u00e9 regular. Em particular $|N|=n+1$. Assuma que $\\sigma\\in N\\setminus\\{1\\}$ e escreva $\\sigma$ como um produto $\\sigma=\\sigma_1\\cdots \\sigma_m$ de ciclos disjuntos onde\u00a0 $\\sigma_i$ \u00e9 um $r_i$-ciclo com $r_1\\geq r_2\\geq\\cdots\\geq r_m$. Assuma que $r_1\\geq 3$ e seja $\\sigma_1=(1,2,\\ldots,k)$ com $k\\geq 3$. Seja $\\varrho=(3,4,5)$. Ent\u00e3o $\\sigma^\\varrho\\sigma^{-1}\\in N\\cap G_1\\setminus\\{1\\}$ que \u00e9 uma contradi\u00e7\u00e3o. Portanto $r_1=\\cdots=r_m=2$. Assuma que $\\sigma=(1,2)(3,4)$ e seja $\\varrho=(4,5,6)$. Ent\u00e3o $\\sigma^\\varrho\\sigma^{-1}\\in N\\cap G_1$ que \u00e9 uma contradi\u00e7\u00e3o.<\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" O grupo alternado $A_n$ \u00e9 composto por todos os permuta\u00e7\u00f5es pares de $S_n$ onde $n\\geq 2$. Exerc\u00edcio.\u00a0Seja $C$ uma classe de conjuga\u00e7\u00e3o em $S_n$ representado por um elemento $c_1c_2\\cdots c_m$ par (ent\u00e3o $C\\subseteq A_n$) onde os $c_i$ s\u00e3o ciclos disjuntos com comprimento $r_1,\\ldots,r_m$ respetivamente ($\\sum r_i=n$). Ent\u00e3o uma das seguintes possibilidades \u00e9 verdadeira: $C$ \u00e9 … Continue reading O grupo alternado<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/449"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=449"}],"version-history":[{"count":6,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/449\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":492,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/449\/revisions\/492"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=449"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=449"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=449"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}\n
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