{"id":438,"date":"2019-09-17T00:24:12","date_gmt":"2019-09-17T00:24:12","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=438"},"modified":"2019-09-23T23:55:42","modified_gmt":"2019-09-23T23:55:42","slug":"grupos-de-permutacoes","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/09\/17\/grupos-de-permutacoes\/","title":{"rendered":"Grupos de permuta\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"

Se $\\Omega$ \u00e9 um conjunto, ent\u00e3o $S(\\Omega)$ denota o grupo de permuta\u00e7\u00f5es de $\\Omega$. Quando $\\Omega=\\{1,\\ldots,n\\}$, ent\u00e3o\u00a0 $S(\\Omega)$ \u00e9 escrito como $S_n$. Um grupo de permuta\u00e7\u00f5es<\/em> \u00e9 um subgrupo de algum $S(\\Omega)$.<\/p>\n

Seja $G$ um grupo e $\\Omega$ um conjunto. Dizemos que $G$ age<\/em> em $\\Omega$ se est\u00e1 dada uma fun\u00e7\u00e3o
\n$$
\n\\Omega\\times G\\rightarrow\\Omega,\\quad (\\omega,g)\\mapsto \\omega g
\n$$
\ntal que as seguintes propriedades est\u00e3o verdadeiras para todo $\\omega\\in\\Omega$ e $g,h\\in G$:<\/p>\n

    \n
  1. $\\omega 1=\\omega$;<\/li>\n
  2. $(\\omega g)h=\\omega(gh)$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Note que se $G$ age em $\\Omega$, ent\u00e3o $g$ induz um mapa $\\psi_g:\\Omega\\rightarrow\\Omega$ definido como $\\omega\\mapsto \\omega g$. \u00c9 f\u00e1cil ver que $\\psi_g\\in S(\\Omega)$ e que o mapa $\\psi:g\\mapsto \\psi_g$ \u00e9 um homomorfismo $G\\rightarrow S(\\Omega)$. O homomorfismo $\\psi$ \u00e9 chamado do homomorfismo associado com a a\u00e7\u00e3o<\/em> de $G$. Por outro lado, se $\\psi:G\\rightarrow S(\\Omega)$ \u00e9 um homomorfismo, ent\u00e3o $(\\omega,g)\\mapsto \\omega \\psi(g)$ \u00e9 uma a\u00e7\u00e3o de $G$ em $\\Omega$.<\/p>\n

    Assuma que $G$ age em $\\Omega$ com homomorfismo associado $\\psi$. O n\u00facleo<\/em> da a\u00e7\u00e3o \u00e9 $\\ker\\psi$. A a\u00e7\u00e3o de $G$ \u00e9 dito fiel\u00a0<\/em>se $\\ker\\psi=1$. Neste caso $G\\cong G\\psi$ e $G$ pode ser considerado como um grupo de permuta\u00e7\u00f5es. Considere a seguinte rela\u00e7\u00e3o de equival\u00eancia sobre $\\Omega$: $\\alpha\\sim\\beta$ se e somente se $\\beta=\\alpha g$ com algum $G$. Uma classe de equival\u00eancia dessa rela\u00e7\u00e3o \u00e9 chamada de \u00f3rbita<\/em>. O grupo $G$ \u00e9 dito transitivo em $\\Omega$ se $\\Omega$ \u00e9 uma \u00f3rbita. Se $\\alpha\\in\\Omega$, ent\u00e3o o estabilizador $G_\\alpha$ de $\\alpha$ em $G$ \u00e9 definido como
    \n$$
    \nG_\\alpha=\\{g\\in G\\mid \\alpha g=\\alpha\\}.
    \n$$
    \n\u00c9 claro que $G_\\alpha\\leq G$. Al\u00e9m disso, o n\u00facleo da a\u00e7\u00e3o \u00e9 $\\bigcap_{\\alpha\\in\\Omega} G_\\alpha$.<\/p>\n

    Um grupo $G\\leq S(\\Omega)$ \u00e9 dito regular se $G$ \u00e9 transitivo e $G_\\alpha=1$ para algum (todo) $\\alpha\\in \\Omega$.<\/p>\n

    Lema.\u00a0<\/strong>Sejam $\\alpha,\\beta\\in\\Omega$, $g\\in G$ tais que $\\alpha g=\\beta$. Ent\u00e3o $G_\\beta=(G_\\alpha)^g=g^{-1}G_\\alpha g$.<\/p>\n

    Exemplo.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo e $H\\leq G$. Seja $\\Omega=[G:H]$, o conjunto de classes laterais \u00e0 direita de $H$ em $G$. Ent\u00e3o $G$ age em $\\Omega$: se $Hx\\in\\Omega$ e $g\\in G$, ent\u00e3o $(Hx)g=H(xg)$. \u00c9 f\u00e1cil ver que esta a\u00e7\u00e3o \u00e9 transitiva. Al\u00e9m disso $H\\leq G$ \u00e9 o estabilizador do ponto $H1\\in\\Omega$. Portanto o n\u00facleo da a\u00e7\u00e3o \u00e9
    \n$$
    \n\\mbox{Core}_G(H)=\\bigcap_{g\\in G} H^g.
    \n$$
    \nO subgrupo na equa\u00e7\u00e3o anterior \u00e9 chamado do core<\/em> de $H$ em $G$. Ele \u00e9 o maior subgrupo normal de $G$ contido em $H$.<\/p>\n

    Assuma que $G$ age nos conjuntos $\\Omega_1$ e $\\Omega_2$. Estas a\u00e7\u00f5es s\u00e3o equivalentes<\/em> se existir uma bije\u00e7\u00e3o $\\varphi:\\Omega_1\\rightarrow \\Omega_2$ tal que $(\\omega g)\\varphi=(\\omega\\varphi)g$ para todo $\\omega\\in\\Omega$ e $g\\in G$. O mapa $\\varphi$ \u00e9 chamada de equival\u00eancia<\/em> entre as duas a\u00e7\u00f5es de $G$.<\/p>\n

    Assuma que $G$ age em $\\Omega$ transitivamente. Seja $\\alpha\\in\\Omega$ fixo. Definamos um mapa $\\varphi:\\Omega\\rightarrow [G:H]$. Para $\\beta\\in\\Omega$, seja
    \n$$
    \n\\beta\\varphi=\\{g\\in G\\mid \\alpha g=\\beta\\}.
    \n$$<\/p>\n

    Teorema (Teorema de \u00d3rbita e Estabilizador).\u00a0<\/strong>O mapa $\\varphi$ \u00e9 uma equival\u00eancia bem definida entre as a\u00e7\u00f5es de $G$ sobre $\\Omega$ e $[G:G_\\alpha]$. Em particular, $|\\Omega|=|G:G_\\alpha|$.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Passo 1: $\\beta\\varphi$ \u00e9 uma classe lateral \u00e0 direita de $G_\\alpha$ em $G$. Primeiro $\\beta\\varphi\\neq\\emptyset$ pela transitividade de $G$. Seja $g\\in \\beta\\varphi$. Afirmamos que $\\beta\\varphi=G_\\alpha g$. Seja $hg\\in G_\\alpha g$ com $h\\in G_\\alpha$. Ent\u00e3o $\\alpha (hg)=(\\alpha h)g=\\alpha g=\\beta$. Portanto $G_\\alpha g\\subseteq \\beta\\varphi$. Seja $x\\in \\beta\\varphi$. Ent\u00e3o $\\beta=\\alpha g=\\alpha x$, portanto $y:=xg^{-1}\\in G_\\alpha$. Logo, $x=yg\\in G_\\alpha g$. Obtivemos que\u00a0$G_\\alpha g=\\beta\\varphi$.<\/p>\n

    Passo 2: $\\varphi$ \u00e9 uma bije\u00e7\u00e3o. Assuma que $\\beta\\varphi=\\gamma\\varphi$ com alguns $\\beta,\\gamma\\in\\Omega$. Seja $g\\in \\beta\\varphi$. Ent\u00e3o $\\beta=\\alpha g=\\gamma$ e $\\beta=\\gamma$. Seja $G_\\alpha g\\in [G:G_\\alpha]$. Ent\u00e3o $G_\\alpha g=\\beta\\varphi$ onde $\\beta=\\alpha g$.<\/p>\n

    Passo 3: $\\varphi$ \u00e9 uma equival\u00eancia. Seja $\\omega\\in \\Omega$ e $g\\in G$. Ent\u00e3o $\\omega g=\\alpha hg$ onde $h\\in G$ tal que $\\omega=\\alpha h$. Temos portanto que $(\\omega g)\\varphi= G_\\alpha (hg)$. Por outro lado, $(\\omega\\varphi)g=(G_\\alpha h)g$. Como $G_\\alpha(hg)=(G_\\alpha h)g$, temos que $\\varphi$ \u00e9 uma equival\u00eancia.<\/p>\n

    Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Assuma que $G$ um grupo finito que age transitivamente em $\\Omega$. Ent\u00e3o $|\\Omega|\\mid |G|$.<\/p>\n

    Assuma que $G$ age transitivamente em $\\Omega$. Um conjunto $\\Delta\\subseteq \\Omega$ \u00e9 dito bloco\u00a0<\/em>se $\\Delta g=\\Delta$ ou $\\Delta g\\cap\\Delta=\\emptyset$ para todo $g\\in G$.\u00a0 Uma parti\u00e7\u00e3o $\\mathcal P$ de $\\Omega$ \u00e9 dito $G$-invariante se $\\Delta g\\in \\mathcal P$ para todo $\\Delta\\in \\mathcal P$.<\/p>\n

    Lema.\u00a0<\/strong>Assuma que $G$ age em $\\Omega$ transitivamente. As seguintes s\u00e3o verdadeiras.<\/p>\n

      \n
    1. Se $\\Delta$ \u00e9 um bloco ent\u00e3o $\\mathcal P=\\{\\Delta g\\mid g\\in G\\}$ \u00e9 uma parti\u00e7\u00e3o $G$-invariante de $\\Omega$.<\/li>\n
    2. Se $\\mathcal P$ \u00e9 uma parti\u00e7\u00e3o $G$ invariante de $\\Omega$ e $\\Delta\\in\\mathcal P$, ent\u00e3o $\\Delta$ \u00e9 um bloco.<\/li>\n
    3. Seja $\\omega\\in\\Omega$ fixo. O mapa $\\Delta\\mapsto \\{\\Delta g\\mid g\\in G\\}$ \u00e9 uma bije\u00e7\u00e3o entre o conjunto de blocos $\\Delta$ tal que $\\omega\\in\\Delta$ e o conjunto de parti\u00e7\u00f5es $G$-invariantes de $G$.<\/li>\n<\/ol>\n

      Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Exerc\u00edcio.<\/p>\n

      Se $G$ age em $\\Omega$ transitivamente e $\\omega\\in\\Omega$, ent\u00e3o $\\{\\omega\\}$ e $\\Omega$ s\u00e3o blocos. Similarmente $\\{\\{\\omega\\}\\mid\\omega\\in\\Omega\\}$ e $\\{\\Omega\\}$ s\u00e3o parti\u00e7\u00f5es $G$-invariantes. Um grupo transitivo \u00e9 dito primitivo<\/em> se estes s\u00e3o os \u00fanicos blocos. No caso contrario o grupo e chamado de imprimitivo<\/em>.<\/p>\n

      Assuma que $G$ age transitivamente em $\\Omega$ e seja $\\omega\\in\\Omega$ fixo. Se $\\Delta$ \u00e9 um bloco tal que $\\omega\\in\\Delta$, ent\u00e3o denota por $G_\\Delta$ o estabilizador de $\\Delta$ em $G$. Se $H\\leq G$ tal que $G_\\omega\\leq H$, ent\u00e3o denote por $\\omega H$ a $H$-\u00f3rbita que cont\u00e9m $\\omega$.<\/p>\n

      Teorema.\u00a0<\/strong>As seguintes s\u00e3o verdadeiras.<\/p>\n

        \n
      1. Se $\\Delta$ \u00e9 um bloco tal que $\\omega\\in\\Delta$, ent\u00e3o $G_\\omega \\leq G_\\Delta\\leq G$.<\/li>\n
      2. Se $H$ \u00e9 um subgrupo de $G$ tal que $G_\\omega\\leq H$, ent\u00e3o $\\Delta=\\omega H$ \u00e9 um bloco tal que $\\omega\\in\\Delta$.<\/li>\n
      3. Se $\\Delta$ \u00e9 um bloco tal que $\\omega\\in\\Delta$, ent\u00e3o $\\omega(G_\\Delta)=\\Delta$. Se $H\\leq G$ tal que $G_\\omega\\leq H$, ent\u00e3o $G_{\\omega H}=H$. Em particular os mapas $\\Delta\\mapsto G_\\Delta$ e $H\\mapsto \\omega H$ s\u00e3o bije\u00e7\u00f5es entre o conjunto de blocos $\\Delta$ tal que $\\omega\\in\\Delta$ e o conjunto de subgrupos $H$ tal que $G_\\omega\\leq H$.<\/li>\n<\/ol>\n

        Demonstral\u00e7\u00e3o. <\/strong>1. Claramente, $G_\\Delta\\leq G$. Seja $g\\in G_\\omega$. Ent\u00e3o $\\omega\\in \\Delta\\cap \\Delta g$, ent\u00e3o $\\Delta g=\\Delta$. Logo $G_\\omega\\in G_\\Delta$.<\/p>\n

        2. Seja\u00a0 $\\Delta=\\omega H$ e seja $g\\in G$ tal que $\\alpha \\in \\Delta\\cap \\Delta g=\\omega H\\cap \\omega Hg$. Ent\u00e3o existem $h_1,h_2\\in H$ tal que $\\alpha=\\omega h_1=\\omega h_2g$. Portanto, $\\omega h_2gh_1^{-1}=\\omega$, e $h_2gh_1^{-1}\\in G_\\omega$. Como $h_1,h_2\\in H\\geq G_\\omega$, obtemos que $g\\in H$ que implica que $\\Delta g=\\omega Hg=\\omega H=\\Delta$.<\/p>\n

        3. Seja $\\Delta$ um bloco tal que $\\omega\\in \\Delta$ e seja $H=G_\\Delta$. Afirmamos que $\\omega H=\\Delta$. Se $h\\in H$, ent\u00e3o $\\omega h\\in \\Delta$ pela defini\u00e7\u00e3o de $H$. Portanto $\\omega H\\subseteq \\Delta$. Se $\\delta\\in\\Delta$, ent\u00e3o existe um $g\\in G$ tal que $\\omega g=\\delta$. Neste caso, $\\delta=\\omega g\\in \\Delta\\cap \\Delta g$ que implica que $g\\in G_\\Delta$. Logo $\\delta\\in \\omega H$.\u00a0\u00a0Logo\u00a0$\\Delta\\subseteq \\omega H$ e obtemos a igualdade\u00a0$\\Delta= \\omega H$.<\/p>\n

        Seja agora $H\\leq G$ tal que $G_\\omega\\leq H$ e seja $\\Delta=\\omega H$. Afirmamos que $H=G_\\Delta$. Se $h\\in H$ e $\\delta\\in \\Delta$, ent\u00e3o $\\delta h=\\omega gh\\in\\Delta$ com $g\\in H$. Portanto $H\\subseteq G_\\Delta$. Se $g\\in G_\\Delta$, ent\u00e3o $\\omega g\\in\\Delta$ e $\\omega g=\\omega h$ com $h\\in H$. Logo $\\omega gh^{-1}=\\omega$ e $gh^{-1}\\in G_\\omega$. Como $G_\\omega\\leq H$, tem-se que $gh^{-1}\\in H$ e $g\\in H$. Portanto $G_\\Delta\\leq H$ e $G_\\Delta=H$.<\/p>\n

        Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>Assuma que $G$ age em $\\Omega$ transitivamente, seja $\\alpha\\in\\Omega$ e seja $H\\leq G$. Ent\u00e3o $H$ \u00e9 transitivo se e somente se $G_\\alpha H=G$.<\/p>\n

        Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo transitivo agindo em $\\Omega$ e seja $\\omega\\in\\Omega$. Ent\u00e3o $G$ \u00e9 primitivo se e somente se $G_\\omega$ \u00e9 um subgrupo maximal.<\/p>\n

        Um grupo $G$ agindo em $\\Omega$ \u00e9 dito 2-transitivo se\u00a0 para todo $\\alpha,\\beta,\\gamma,\\delta\\in\\Omega$ com $\\alpha\\neq \\beta$ e $\\gamma\\neq \\delta$ existe $g\\in G$ tal que $\\alpha g=\\gamma$ e $\\beta g=\\delta$.<\/p>\n

        Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>Demonstre que um grupo 2-transitivo \u00e9 primitivo. Demonstre que $S_n$, $A_n$, $PSL(n,q)$. $PGL(n,q)$ s\u00e3o 2-transitivos e portanto primitivos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        Se $\\Omega$ \u00e9 um conjunto, ent\u00e3o $S(\\Omega)$ denota o grupo de permuta\u00e7\u00f5es de $\\Omega$. Quando $\\Omega=\\{1,\\ldots,n\\}$, ent\u00e3o\u00a0 $S(\\Omega)$ \u00e9 escrito como $S_n$. Um grupo de permuta\u00e7\u00f5es \u00e9 um subgrupo de algum $S(\\Omega)$. Seja $G$ um grupo e $\\Omega$ um conjunto. Dizemos que $G$ age em $\\Omega$ se est\u00e1 dada uma fun\u00e7\u00e3o $$ \\Omega\\times G\\rightarrow\\Omega,\\quad (\\omega,g)\\mapsto … Continue reading Grupos de permuta\u00e7\u00f5es<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/438"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=438"}],"version-history":[{"count":8,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/438\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":454,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/438\/revisions\/454"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=438"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=438"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=438"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}