{"id":417,"date":"2019-09-16T12:40:38","date_gmt":"2019-09-16T12:40:38","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=417"},"modified":"2019-09-16T13:56:19","modified_gmt":"2019-09-16T13:56:19","slug":"o-subgrupo-de-frattini","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/09\/16\/o-subgrupo-de-frattini\/","title":{"rendered":"O subgrupo de Frattini"},"content":{"rendered":"

O subgrupo de Frattini<\/em> de um grupo $G$, denotado por $\\Phi(G)$, e a interse\u00e7\u00e3o dos subgrupos maximais de $G$. Como um automorfismo $\\alpha\\in \\mbox{Aut}(G)$ induz uma permuta\u00e7\u00e3o no conjunto de subgrupos maximais de $G$, o subgrupo $\\Phi(G)$ \u00e9 carater\u00edstico e, em particular, normal em $G$. Um elemento $g\\in G$ \u00e9 dito n\u00e3o gerador\u00a0<\/em>se $\\left<X,g\\right>=G$ implica que $\\left<X\\right>=G$ para todo $X\\subseteq G$ (ou seja, $g$ pode ser omitido de todo subconjunto gerador de $G$).<\/p>\n

Lema.\u00a0<\/strong>O subgrupo de Frattini de um grupo finito coincide com o subconjunto de n\u00e3o geradores de $G$.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>Assuma que $G$ \u00e9 finito.\u00a0Seja $g\\in \\Phi(G)$ e seja $X\\subseteq G$ tal que $\\left<X,g\\right>=G$. Assumindo que $\\left<X\\right>\\neq G$, temos que $\\left<X\\right>$ est\u00e1 contido em um subgrupo maximal $M$ de $G$ ($G$ \u00e9 finito). Como $g\\in \\Phi(G)$, temos ainda que $g\\in M$. Logo $\\left<X,g\\right>\\leq M$, que \u00e9 uma contradi\u00e7\u00e3o. Portanto $\\left<X\\right>=G$, e $g$ \u00e9 n\u00e3o gerador.<\/p>\n

Assuma agora que $g$ \u00e9 n\u00e3o gerador e seja $M$ um subgrupo maximal tal que $g\\not\\in M$. Pela maximalidade de $M$, temos que $\\left<M,g\\right>=G$. Como $g$ \u00e9 n\u00e3o gerador, isto implica que $M=G$, mas isso \u00e9 uma contradi\u00e7\u00e3o. Portanto devemos ter que $g\\in M$. Como $M$ \u00e9 arbitr\u00e1rio, temos tamb\u00e9m que $g\\in\\Phi(G)$.<\/p>\n

Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Se $G$ \u00e9 finito e $P$ \u00e9 um subgrupo de Sylow de $\\Phi(G)$, ent\u00e3o $P\\unlhd G$. Consequentemente, $\\Phi(G)$ \u00e9 um grupo nilpotente.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0Seja $P$ um subgrupo de Sylow de $\\Phi(G)$. Como $\\Phi(G)\\unlhd G$, obtemos pelo argumento de Frattini que $G=\\Phi(G)N_G(P)$. Pelo Lema anterior, $G=N_G(P)$ que implica que $P\\unlhd G$. Em particular, $P\\unlhd \\Phi(G)$ e isto vale para todos os subgrupos de Sylow de $\\Phi(G)$. Logo, $\\Phi(G)$ \u00e9 produto direto dos seus subgrupos de Sylow e $\\Phi(G)$ \u00e9 nilpotente.<\/p>\n

Exercicio.\u00a0<\/strong><\/p>\n

    \n
  1. Seja $G$ um grupo abeliano elementar. Ent\u00e3o $\\Phi(G)=1$.<\/li>\n
  2. Seja $N$ um subgrupo normal de $G$, ent\u00e3o $\\Phi(G)N\/N\\leq \\Phi(G\/N)$, se\u00a0 $\\Phi(G)\\leq N$. Ent\u00e3o $\\Phi(G\/N)=\\Phi(G)\/N$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Teorema.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um $p$-grupo finito. Ent\u00e3o $\\Phi(G)=G’G^p$ onde
    \n$$
    \nG^p=\\left<g^p\\mid g\\in G\\right>.
    \n$$<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Seja $M$ um subgrupo maximal de $G$. Por um teorema anterior, $M\\unlhd G$ e $G\/M\\cong C_p$. Em particular, $G\/M$ \u00e9 abeliano, e $G’\\leq M$. Al\u00e9m disso, se $g\\in G$, ent\u00e3o
    \n$$
    \n1=(gM)^p=g^pM
    \n$$
    \ne $g^p\\in M$. Em particular, $G^p\\leq M$, e $G’G^p\\leq M$ Como $M$ \u00e9 arbitr\u00e1rio, $G’G^p\\leq \\Phi(G)$.<\/p>\n

    Para provar que\u00a0 $G’G^p=\\Phi(G)$, note que $G\/G’G^p$ \u00e9 um grupo abeliano elementar. Ent\u00e3o as duas partes do exerc\u00edcio anterior implicam que
    \n$$
    \n1=\\Phi(G\/G’G^p)=\\Phi(G)\/G’G^p.
    \n$$
    \nLogo $\\Phi(G)=G’G^p$.<\/p>\n

    Note que para um $p$-grupo finito $G$, o quociente $G\/\\Phi(G)$ \u00e9 um $p$-grupo abeliano elementar, e portanto pode ser considerado como um espa\u00e7o vetorial sobre o corpo $\\mathbf F_p$.<\/p>\n

    Teorema (Teorema de Base de Burnside<\/a>).\u00a0<\/strong>Seja $G$ um $p$-grupo finito e $X$ um sistema minimal de geradores de $G$. Ent\u00e3o $|X|=\\dim_{\\mathbf F_p}G\/\\Phi(G)$. Em particular, todo sistema minimal de geradores de $G$ tem a mesma cardinalidade.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Seja $X=\\{x_1,\\ldots,x_d\\}$ um sistema minimal de geradores de $G$. Seja $V=G\/\\Phi(G)$ e considere $V$ como um espa\u00e7o vetorial sobre $\\mathbf F_p$. Para $g\\in G$, denotemos por $\\bar g$ a imagem $g\\Phi(G)$. Segue que $\\bar X=\\{\\bar x_1,\\ldots,\\bar x_d\\}$ \u00e9 um sistema de geradores de $V$. Por um argumento standard de \u00e1lgebra linear, pode-se escolher uma base de $V$ composto por elementos de $\\bar X$. Assuma sem perder generalidade que $\\{\\bar x_1,\\ldots,\\bar x_s\\}$ \u00e9 uma base de $V$ com $s\\leq d$. Isto implica que $G=\\left<x_1,\\ldots,x_s,\\Phi(G)\\right>=\\left<x_1,\\ldots,x_s\\right>$. Pela minimalidade de $X$, tem-se que $d=s=\\dim_{\\mathbf F_p}V$.<\/p>\n

     <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    O subgrupo de Frattini de um grupo $G$, denotado por $\\Phi(G)$, e a interse\u00e7\u00e3o dos subgrupos maximais de $G$. Como um automorfismo $\\alpha\\in \\mbox{Aut}(G)$ induz uma permuta\u00e7\u00e3o no conjunto de subgrupos maximais de $G$, o subgrupo $\\Phi(G)$ \u00e9 carater\u00edstico e, em particular, normal em $G$. Um elemento $g\\in G$ \u00e9 dito n\u00e3o gerador\u00a0se $\\left<X,g\\right>=G$ implica … Continue reading O subgrupo de Frattini<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/417"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=417"}],"version-history":[{"count":5,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/417\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":423,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/417\/revisions\/423"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=417"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=417"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=417"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}