Se $G$ \u00e9 um grupo e $A,B\\leq G$, ent\u00e3o
\n$$
\n[A,B]=\\left<[a,b]\\mid a\\in A,\\ b\\in B\\right>.
\n$$<\/p>\n
Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>Se $A,B\\unlhd G$, ent\u00e3o $[A,B]\\unlhd G$.<\/p>\n Lema.\u00a0<\/strong>Seja $K\\unlhd G$, e $H\\leq G$ tal que $K\\leq H\\leq G$.\u00a0 Ent\u00e3o $[H,G]\\leq K$ se e somente se $H\/K\\leq Z(G\/K)$.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Exerc\u00edcio.<\/p>\n Uma s\u00e9rie normal Em um grupo $G$, definimos a s\u00e9rie $\\gamma_i(G)$\u00a0 recursivamente como $\\gamma_1(G)=G$, e $\\gamma_{i+1}(G)=[G,\\gamma_i(G)]$ para $i\\geq 1$. Note que $\\gamma_2(G)=G’$. A s\u00e9rie $\\gamma_i(G)$ \u00e9 chamada de s\u00e9rie central descendente<\/em>.<\/p>\n Similarmente, definimos $\\zeta_0(G)=1$ e recursivamente $\\zeta_{i+1}(G)$ \u00e9 definido como o subgrupo de $G$ que cont\u00e9m $\\zeta_{i}(G)$ e satisfaz que Lema.\u00a0<\/strong>As s\u00e9ries $\\gamma_i(G)$ e $\\zeta_i(G)$ s\u00e3o centrais.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>\u00c9 claro no caso de $\\zeta_i(G)$. O caso de $\\gamma_i(G)$ segue do lema anterior.<\/p>\n Lema.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>1. Indu\u00e7\u00e3o por $i$. A afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 clara para $i=1$. Assuma que $\\gamma_i(G)\\leq G_i$ para $i\\geq 1$. Ent\u00e3o 2. Indu\u00e7\u00e3o por $i$. \u00c9 clara para $i=0$. Assuma que $H_i\\leq \\zeta_i(G)$ para algum $i$. Ent\u00e3o temos um homomorfismo sobrejetivo Teorema.\u00a0<\/strong>Em um grupo $G$ tem se que $\\zeta_c(G)=G$ se e somente se $\\gamma_{c+1}(G)=1$. Neste caso $$ Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>Segue do lema anterior.<\/p>\n Um grupo $G$ \u00e9 dito nilpotente se existe um $c\\geq 1$ tal que $\\gamma_{c+1}(G)=1$. O menor tal $c$ \u00e9 dito a classe de nilpot\u00eancia de $G$. Claramente, um grupo nilpotente \u00e9 sol\u00favel, mas um grupo sol\u00favel n\u00e3o \u00e9 necessariamente nilpotente (e.g. $S_3$).<\/p>\n Corol\u00e1rio. <\/strong>Seja $G$ um grupo.<\/p>\n Teorema.\u00a0<\/strong>Um $p$-grupo finito \u00e9 nilpotente.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Indu\u00e7\u00e3o pela ordem de $G$. A afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira para grupos de ordem $p$ ou $p^2$. Assuma que a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira para grupo cuja ordem \u00e9 menor que $p^n$ e seja $G$ um grupo de ordem $p^n$. Como $Z(G)\\neq 1$, temos pela hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o que $G\/Z(G)$ \u00e9 nilpotente e pelo corol\u00e1rio anterior obtemos que $G$ \u00e9 nilpotente.<\/p>\n Lema.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo nilpotente.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>1. Seja $i$ tal que $\\gamma_{i-1}(G)\\not\\leq H$, mas $\\gamma_i(G)\\leq H$. Ent\u00e3o 2. Assuma que $m$ \u00e9 minimal tal que $\\zeta_m(G)\\cap N\\neq 1$. Ora 3. Seja $M$ um subgrupo maximal de $G$. Por parte (1), tem-se que $N_G(M)=G$, ent\u00e3o $M$ \u00e9 normal em $G$. Pela maximalidade de $M$, o quociente $G\/M$ n\u00e3o possui um subgrupo pr\u00f3prio, n\u00e3o trivial. Portanto $G\/M\\cong C_p$ com algum primo $p$. Em particular, $|G:M|=p$.<\/p>\n Exerc\u00edcio. <\/strong>Seja $G$ um grupo finito, e $P$ um subgrupo de Sylow. Mostre que $N_G(N_G(P))=N_G(P)$,<\/p>\n Teorema.\u00a0<\/strong>Um grupo finito \u00e9 nilpotente se e somente se ele \u00e9 produto direto dos seus subgrupos de Sylow.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Se $G$ \u00e9 produto direto dos $p$-subgrupos de Sylow, ent\u00e3o $G$ \u00e9 nilpotente.<\/p>\n Assuma que $G$ \u00e9 finito e nilpotente. Seja $P$ um $p$-subgrupo de Sylow de $G$ e seja $N=N_G(P)$. Pelo exerc\u00edcio anterior, $N_G(N)=N$. O lema anterior implica que $N=G$, ent\u00e3o $P$ \u00e9 normal em $G$. Sejam $p_1,\\ldots,p_k$ os divisores primos de $|G|$ e sejam $P_1,\\ldots,P_k$ os subgrupos de Sylow correspondentes. Como todo $P_i$ \u00e9 normal em $G$, Se $G$ \u00e9 um grupo e $A,B\\leq G$, ent\u00e3o $$ [A,B]=\\left<[a,b]\\mid a\\in A,\\ b\\in B\\right>. $$ Exerc\u00edcio.\u00a0Se $A,B\\unlhd G$, ent\u00e3o $[A,B]\\unlhd G$. Lema.\u00a0Seja $K\\unlhd G$, e $H\\leq G$ tal que $K\\leq H\\leq G$.\u00a0 Ent\u00e3o $[H,G]\\leq K$ se e somente se $H\/K\\leq Z(G\/K)$. Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0Exerc\u00edcio. Uma s\u00e9rie normal $$ G_0>\\cdots> G_k $$ de um grupo $G$ \u00e9 … Continue reading Grupos nilpotentes<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/373"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=373"}],"version-history":[{"count":19,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/373\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":395,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/373\/revisions\/395"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=373"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=373"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=373"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n$$
\nG_0>\\cdots> G_k
\n$$
\nde um grupo $G$ \u00e9 dito s\u00e9rie central\u00a0<\/em>se
\n$$
\nG_i\/G_{i+1}\\leq Z(G\/G_{i+1}).
\n$$
\nNote que se $G_i$ \u00e9 uma s\u00e9rie central, ent\u00e3o os quocientes $G_i\/G_{i+1}$ s\u00e3o abelianos.<\/p>\n
\n$$
\nZ(G\/\\zeta_{i}(G))=\\zeta_{i+1}(G)\/\\zeta_i(G).
\n$$
\nA s\u00e9rie $\\zeta_i(G)$ \u00e9 chamada de s\u00e9rie central ascendente<\/em> de $G$. O termo $\\zeta_i(G)$ \u00e9 dito $i$-\u00e9simo centro de $G$<\/em>.<\/p>\n\n
\n$$
\nG_1=G>G_2>\\cdots> G_k
\n$$
\n\u00e9 uma s\u00e9rie central, ent\u00e3o $\\gamma_i(G)\\leq G_i$ para todo $i$.<\/li>\n
\n$$
\n1=H_0<H_1<\\cdots<H_m
\n$$
\n\u00e9 uma s\u00e9rie central ent\u00e3o $H_i\\leq \\zeta_i(G)$ para todo $i$.<\/li>\n<\/ol>\n
\n$$
\n\\gamma_{i+1}(G)=[\\gamma_i(G),G]=[G_i,G]\\leq G_{i+1}.
\n$$
\nA \u00faltima desigualdade segue do lema anterior.<\/p>\n
\n$$
\n\\alpha:G\/ H_i\\rightarrow G\/\\zeta_i(G).
\n$$
\nComo a s\u00e9rie $H_i$ \u00e9 central, $H_{i+1}\/H_{i}\\leq Z(G\/ H_i)$.\u00a0 Aplicando o homomorfismo $\\alpha$, obtemos que
\n$$
\nH_{i+1}\\zeta_{i}(G)\/\\zeta_i(G) \\leq Z(G\/\\zeta_i(G))=\\zeta_{i+1}(G)\/\\zeta_i(G).
\n$$
\nPortanto, $H_{i+1}\\leq \\zeta_{i+1}(G)$.<\/p>\n
\n\\gamma_{i+1}(G)\\leq \\zeta_{c-i}(G)
\n$$
\npara todo $i\\geq 0$.<\/p>\n\n
\n
\n$$
\n[\\gamma_{i-1}(G),H]\\leq [\\gamma_{i-1}(G),G]=\\gamma_i(G)\\leq H.
\n$$
\nLogo $\\gamma_{i-1}(G)\\leq N_{G}(H)$. Como $\\gamma_{i-1}(G)\\not\\leq H$, obtem-se que $N_G(H)\\leq H$ e segue que $H<N_G(H)$.<\/p>\n
\n$$
\n[N\\cap \\zeta_m(G),G]\\leq N\\cap [\\zeta_m(G),G]=N\\cap \\zeta_{m-1}(G)=1.
\n$$
\nIsto implica que $N\\cap \\zeta_m(G)\\leq Z(G)$.<\/p>\n
\n$[P_i,P_j]\\leq P_i\\cap P_j=1$ (se $i\\neq j$), ent\u00e3o $P_1\\times\\cdots\\times P_k$ \u00e9 um subgrupo de $G$. Comparando ordens, $G=P_1\\times\\cdots\\times P_k$.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"