1. Mostre que $A_5$ n\u00e3o possui $\\{2,5\\}$-subgrupo de Hall.<\/p>\n
2. Ache todos os $\\pi$-subgrupos de Hall de $A_6$.<\/p>\n
3. Assuma a vericidade do lema que afirma que “Se $G$ \u00e9 um grupo simples finito e $C$ \u00e9 uma classe de conjuga\u00e7\u00e3o de $G$ tal que $|C|=p^k$ onde $p$ \u00e9 um primo, ent\u00e3o $C=\\{1\\}$.” Demonstre que um grupo de ordem $p^nq^m$, com $p$ e $q$ primos, \u00e9 sol\u00favel.<\/p>\n
4. Demonstre que um $\\pi$-subgrupo de Hall normal \u00e9 carater\u00edstico.<\/p>\n
5. Seja $G$ um grupo $A,B\\leq G$ tal que $|G:A|$ e $|G:B|$ s\u00e3o finitos e primos entre si. Demonstre que $|G:A\\cap B|=|G:A||G:B|$.<\/p>\n
6. Demonstre que as seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o equivalentes:<\/p>\n
7. Seja $H$ um $\\pi$-subgrupo de Hall de um grupo finito $G$ e seja $N\\unlhd G$. Mostre que $H\\cap N$ e $HN\/N$ s\u00e3o $\\pi$-subgrupos de Hall em $N$ e $G\/N$, respetivamente.<\/p>\n
8. Sejam $N$ e $H$ grupos e seja $\\varphi:H\\rightarrow \\mbox{Aut}(N)$ um homorfismo. Seja $G$ o conjunto $N\\times H$ e defina a multiplica\u00e7\u00e3o em $G$ com
\n$$
\n(n_1,h_1)(n_2,h_2)=(n_1n_2^{\\varphi(h_1^{-1})},h_1h_2).
\n$$
\nDemonstre as seguintes afirma\u00e7\u00f5es.<\/p>\n
O grupo $G$ \u00e9 dito produto semidireto<\/em>\u00a0de $N$ e $H$ e \u00e9 denotado por $N\\rtimes_\\varphi H$, ou simplesmente por $N\\rtimes H$ quando n\u00e3o tem perigo de confus\u00e3o.<\/p>\n 9. Seja $G$ um grupo, seja\u00a0 $N\\unlhd G$ tal que\u00a0 $N$ possui um complemento $H\\leq G$. Demonstre que $G\\cong N\\rtimes_\\varphi H$ onde $\\varphi:H\\rightarrow \\mbox{Aut}(N)$ \u00e9 dado por 1. Mostre que $A_5$ n\u00e3o possui $\\{2,5\\}$-subgrupo de Hall. 2. Ache todos os $\\pi$-subgrupos de Hall de $A_6$. 3. Assuma a vericidade do lema que afirma que “Se $G$ \u00e9 um grupo simples finito e $C$ \u00e9 uma classe de conjuga\u00e7\u00e3o de $G$ tal que $|C|=p^k$ onde $p$ \u00e9 um primo, ent\u00e3o $C=\\{1\\}$.” Demonstre que … Continue reading Exerc\u00edcios 2<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/358"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=358"}],"version-history":[{"count":14,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/358\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":445,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/358\/revisions\/445"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=358"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=358"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=358"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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