{"id":350,"date":"2019-08-26T13:33:08","date_gmt":"2019-08-26T13:33:08","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=350"},"modified":"2019-08-26T13:33:08","modified_gmt":"2019-08-26T13:33:08","slug":"exercicios-1","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/08\/26\/exercicios-1\/","title":{"rendered":"Exerc\u00edcios 1"},"content":{"rendered":"

1.\u00a0 Determine uma s\u00e9rie de composi\u00e7\u00e3o para os seguintes grupos: $S_4$, $GL(2,3)$, $GL(2,2)$.<\/p>\n

2. Seja $G$ um grupo e $K\\leq N\\leq G$ subgrupos de $G$. Demonstre as seguintes afirma\u00e7\u00f5es:<\/p>\n

    \n
  1. Se $K\\,\\mbox{char}\\,N$ e $N\\,\\mbox{char}\\,G$, ent\u00e3o $K\\,\\mbox{char}\\,G$.<\/li>\n
  2. Se $K\\,\\mbox{char}\\,N$ e $N\\unlhd G$, ent\u00e3o $K\\unlhd G$.<\/li>\n<\/ol>\n

    3. Seja $G$ um grupo. Mostre que os seguintes subgrupos s\u00e3o carater\u00edsticos em $G$:<\/p>\n

      \n
    1. $Z(G)=\\{x\\in G\\mid xy=yx\\mbox{ para todo }y\\in G\\}$;<\/li>\n
    2. $G^n=\\left<g^n\\mid g\\in G\\right>$ com $n\\in\\mathbf N$ fixo;<\/li>\n
    3. $\\Phi(G)=\\bigcap_{M\\in\\mathcal M}M$ onde $\\mathcal M$ \u00e9 o conjunto dos subgrupos maximais de $G$ (chamado de subgrupo de Frattini<\/em> de $G$).<\/li>\n
    4. $\\mbox{Soc}(G)=\\left<N\\mid N\\mbox{ \u00e9 um subgrupo minimal normal de $G$}\\right>$ (chamado de socle de $G$<\/em>).<\/li>\n<\/ol>\n

      4. Seja $G$ um grupo, $M$ um subgrupo minimal normal de $G$ e $N\\unlhd G$. Mostre que ou $M\\leq N$ ou $M\\cap N=1$ e $[M,N]=1$ onde $[M,N]=\\left<[x,y]\\mid x\\in M,\\ y\\in N\\right>$.<\/p>\n

      5. Um grupo $G$ \u00e9 dito carateristicamente simples se os \u00fanicos subgrupos carater\u00edsticos de $G$ s\u00e3o 1 e $G$. Mostre que um subgrupo minimal normal de um grupo $G$ \u00e9 carateristicamente simples.<\/p>\n

      6. Seja $G$ um grupo sol\u00favel carateristicamente simples.<\/p>\n

        \n
      1. Mostre que $G$ \u00e9 abeliano.<\/li>\n
      2. Assumindo que $G$ \u00e9 finitamente gerado, mostre que $G$ \u00e9 isomorfo a $C_p\\times\\cdots\\times C_p$ com algum primo $p$.<\/li>\n<\/ol>\n

        7. Mostre que se $G$ \u00e9 um grupo finito carateristicamente simples, ent\u00e3o $G$ \u00e9 isomorfo a $T^m$ onde $T$ \u00e9 um grupo finito simples.<\/p>\n

        8. Considere o grupo $S_4$ e seu subgrupo $X=\\left<(1,2)(3,4),(1,3)(2,4)\\right>$.<\/p>\n

          \n
        1. Mostre que $X$ \u00e9 carater\u00edstico em $G$.<\/li>\n
        2. Mostre que $X$ \u00e9 o \u00fanico subgrupo minimal normal de $G$.<\/li>\n
        3. Considerando $X$ como o espa\u00e7o vetorial $(\\mathbf F_2)^2$, defina
          \n$$
          \n\\varphi:G\\rightarrow \\mbox{Aut}(X)=\\mbox{GL}(2,2)
          \n$$
          \npondo
          \n$$
          \n\\varphi: g\\mapsto \\varphi_g\\mbox{ onde }\\varphi_g(x)=x^g=g^{-1}xg\\mbox{ para todo }x\\in X.
          \n$$
          \nMostre que $\\varphi(G)=GL(2,2)$ e $\\ker\\varphi=X$.
          \nDeduza que $S_4=(C_2)^2\\rtimes GL(2,2)=\\mbox{AGL}(2,2)$.<\/li>\n<\/ol>\n

           <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

          1.\u00a0 Determine uma s\u00e9rie de composi\u00e7\u00e3o para os seguintes grupos: $S_4$, $GL(2,3)$, $GL(2,2)$. 2. Seja $G$ um grupo e $K\\leq N\\leq G$ subgrupos de $G$. Demonstre as seguintes afirma\u00e7\u00f5es: Se $K\\,\\mbox{char}\\,N$ e $N\\,\\mbox{char}\\,G$, ent\u00e3o $K\\,\\mbox{char}\\,G$. Se $K\\,\\mbox{char}\\,N$ e $N\\unlhd G$, ent\u00e3o $K\\unlhd G$. 3. Seja $G$ um grupo. Mostre que os seguintes subgrupos s\u00e3o carater\u00edsticos … Continue reading Exerc\u00edcios 1<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/350"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=350"}],"version-history":[{"count":5,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/350\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":355,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/350\/revisions\/355"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=350"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=350"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=350"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}