{"id":339,"date":"2019-08-21T22:40:12","date_gmt":"2019-08-21T22:40:12","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=339"},"modified":"2019-09-04T23:50:32","modified_gmt":"2019-09-04T23:50:32","slug":"subgrupos-de-hall","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/08\/21\/subgrupos-de-hall\/","title":{"rendered":"Subgrupos de Hall"},"content":{"rendered":"

Seja $\\pi$ \u00e9 um conjunto de primos. Um n\u00famero natural \u00e9 dito $\\pi$-n\u00famero<\/em>, se $p\\mid n$ implica que $p\\in\\pi$. Um n\u00famero \u00e9 dito $\\pi’$-n\u00famero<\/em>, se $p\\mid n$ implica que $p\\not\\in\\pi$.<\/p>\n

Se $G$ \u00e9 um grupo e\u00a0 $H\\leq G$, ent\u00e3o $H$ \u00e9 dito $\\pi$-subgrupo de Hall<\/a>,<\/em> se $|H|$ \u00e9 um $\\pi$-n\u00famero e $|G:H|$ \u00e9 um $\\pi’$-n\u00famero.<\/p>\n

Exemplo.<\/strong> Se $\\pi=\\{p\\}$ com um primo $p$, ent\u00e3o $\\pi$-subgrupo de Hall \u00e9 simplesmente um $p$-subgrupo de Sylow.<\/p>\n

Exemplo.\u00a0<\/strong>O grupo $A_5$ n\u00e3o possui $\\{3,5\\}$-subgroupo de Hall nem $\\{2,5\\}$-subgrupo de Hall.<\/p>\n

Nesta p\u00e1gina provaremos o seguinte teorema.<\/p>\n

Teorema (P. Hall).\u00a0<\/strong>Os seguintes s\u00e3o equivalentes para um grupo finito $G$.<\/p>\n

    \n
  1. $G$ \u00e9 sol\u00favel;<\/li>\n
  2. para todo conjunto de primos $\\pi$, existe Hall $\\pi$-subgrupo $H$ de $G$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Al\u00e9m disso, em um grupo sol\u00favel, os $\\pi$-subgrupos s\u00e3o conjugados.<\/p>\n

    Para demonstrar o teorema, precisaremos de dois resultados que s\u00e3o interessantes independentemene do Teorema de Hall.<\/p>\n

    Lemma (O argumento de Frattini<\/a>).\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo finito com subgrupo normal $N$ e $P$ um $p$-subgrupo de Sylow de $N$. Ent\u00e3o
    \n$$
    \nG=N_G(P)N.
    \n$$<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>\u00c9 claro que $N_G(P)N\\subseteq G$, ent\u00e3o precisamos provar que $G\\subseteq N_G(P)N$.<\/p>\n

    Note que $P$ \u00e9 um $p$-subgrupo de Sylow de $N$.\u00a0Seja $g\\in G$. Ent\u00e3o $P^g$ \u00e9 um $p$-subgrupo de Sylow de $G$ contido em $N$, logo ele tamb\u00e9m \u00e9 um $p$-subgrupo de Sylow de $N$. Pelo Teorema de Sylow, existe $n\\in N$ tal que $P^g=P^n$; ou seja $P^{gn^{-1}}=P$, que quer dizer que $gn^{-1}\\in N_G(P)$. Portanto existe $x\\in N_G(P)$ tal que $gn^{-1}=x$ que implica que $g=xn$; ou seja $G\\subseteq N_G(P)N$.<\/p>\n

    Lema.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo sol\u00favel com ordem $p^na$ onde $p\\nmid a$ e assuma que $G$ possui um \u00fanico subgrupo minimal normal $M$ tal que $|M|=p^n$. Ent\u00e3o $G$ cont\u00e9m subgrupos de ordem $a$ e dois tais subgrupos s\u00e3o conjugados.<\/p>\n

    Note que o lema anterior \u00e9 um caso particular do Teorema de Schur<\/a>–Zassenhaus<\/a>.<\/p>\n

    Teorema (Schur-Zassenhaus).\u00a0<\/strong>Seja $N$ um subgrupo normal de um grupo finito $G$ tal que $\\mbox{mdc}(|N|,|G:N|)=1$. Ent\u00e3o $G$ possui um subgrupo de ordem $|G:N|$. Al\u00e9m disso se ou $N$ ou $G\/N$ \u00e9 sol\u00favel, ent\u00e3o dois tais subgrupos s\u00e3o conjugados.<\/p>\n

    Na verdade, a condi\u00e7\u00e3o no Teorema de Schur-Zassenhaus que ou $N$ ou $G\/N$ \u00e9 sol\u00favel \u00e9 v\u00e1lida em qualquer grupo finito pelo famoso Teorema de Feit<\/a>–Thompson<\/a>.<\/p>\n

    Teorema (Feit-Thompson, 1963).\u00a0<\/strong>Um grupo finito de ordem \u00edmpar \u00e9 sol\u00favel.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o do Lema.\u00a0<\/strong>O quociente $G\/M$ \u00e9 um grupo sol\u00favel de ordem $a$. Seja $K\/M$ um subgrupo minimal normal de $G\/M$. O grupo $K\/M$ \u00e9 um $q$-grupo abeliano elementar para algum primo $q\\neq p$.\u00a0Ent\u00e3o $|K|=q^mp^n$ e se $Q$ \u00e9 um Sylow $q$-subgrupo de $K$, ent\u00e3o $K=QM$.<\/p>\n

    Afirma\u00e7\u00e3o. <\/strong>$Z(K)=1$.<\/p>\n

    Assuma que n\u00e3o. Como $K$ \u00e9 normal em $G$ e $Z(K)$ \u00e9 carater\u00edstico em $K$, temos que $Z(K)$ \u00e9 normal em $G$. Como $M$ \u00e9 o \u00fanico minimal normal de $G$, $M\\leq Z(K)$. Isto implica que $Q$ \u00e9 carater\u00edstico em $K$ e logo ser\u00e1 normal em $G$. Mas isto implica que $M\\leq Q$, que \u00e9 uma contradi\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

    Seja $N^*=N_G(Q)$ e $N=N_K(Q)=N^*\\cap K$.<\/p>\n

    Afirma\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>$M\\cap N=1$.<\/p>\n

    Seja $x\\in M\\cap N$. Afirmamos que $x\\in Z(K)$. Se $k\\in K$, ent\u00e3o $k=mq$ com $m\\in M$ e $q\\in Q$. Claramente, $x$ comuta com $m$. Provaremos que $x$ comuta com $q$. Note que $xqx^{-1}q^{-1}\\in Q\\cap M=1$. Logo $x$ comuta com $q$ e $x\\in Z(K)$, como foi afirmado. Logo, $M\\cap N\\leq Z(K)=1$.<\/p>\n

    Afirma\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>$|N^*|=a$.<\/p>\n

    Pelo argumento de Frattini, temos que $G=KN^*$. Como
    \n$$
    \nG\/K=KN^*\/K\\cong N^*\/(N^*\\cap K)=N^*\/N
    \n$$
    \ntem-se que $|N^*|=|G||N|\/|K|$. Por outro lado, $K=MQ=MN$ e isto implica que $|K|=|M||N|\/|M\\cap N|=|M||N|$. Portanto,
    \n$$
    \n|N^*|=|G||N|\/|K|=|G||N|\/(|M||N|)=|G|\/|M|=a.
    \n$$<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o do Teorema de Hall.\u00a0 <\/strong>(1) $\\Rightarrow$ (2). Provaremos o resultado por indu\u00e7\u00e3o em $|G|$. O teorema \u00e9 v\u00e1lido se $|G|=1, p^2, p\\cdot q$, etc, onde $p$ e $q$ s\u00e3o primos. Assuma que o teorema \u00e9 v\u00e1lido para grupos de ordem menor que $|G|$ e assuma que $|G|=ab$ tal que $a$ \u00e9 um $\\pi$-n\u00famero e $b$ \u00e9 um $\\pi’$-n\u00famero.<\/p>\n

    Assuma primeiro que existe um subgrupo normal $N$ de $G$ tal que $b\\nmid |N|$. Ent\u00e3o $|N|=a’b’$ onde $a’$ \u00e9 $\\pi$-n\u00famero, $b’$ \u00e9 $\\pi’$-n\u00famero e $b'<b$. Considere $Q=G\/N$. Tem-se que $|Q|=(a\/a’)(b\/b’)$. Pela hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o, existe um subgrupo $A\/N$ de $Q$ com ordem $a\/a’$. Logo $|A|=(a\/a’)a’b’=ab’$. Usando a hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o mais uma vez, $A$ possui um subgrupo de ordem $a$.<\/p>\n

    Provaremos que dois tais subgrupos s\u00e3o conjugados. Sejam $A$ e $B$ subgrupos de $G$ de ordem $a$. Considere o subgrupo $AN\\leq G$. Afirmamos que $|AN|=ab’$. Assuma que $|AN|=\\alpha\\beta$ onde $\\alpha$ e $\\beta$ s\u00e3o $\\pi$- e $\\pi’$-n\u00fameros, respetivamente. Como $A\\leq AN$ e $N\\leq AN$, temos que $\\alpha=a$ e $b’\\mid \\beta$. Por outro lado
    \n$|AN|=|A||N|\/|A\\cap N|$ que implica que $\\alpha\\beta\\mid aa’b’$ que implica que $\\beta|b’$. Obtemos ent\u00e3o que $\\beta=b’$ e $|AN|=ab’$. O mesmo argumento mostra que $|B|=ab’$. Ent\u00e3o temos que $AN\/N$ e $BN\/N$ s\u00e3o subgrupos de $G\/N$ com ordem $a\/a’$. Pela hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o, eles s\u00e3o conjugados. Assuma que $x\\in G$ \u00e9 tal que
    \n$$
    \nBN\/N=(xN)^{-1}(AN\/N)(xN)=x^{-1}AxN\/N.
    \n$$
    \nPortanto, $x^{-1}AxN=BN$. Isto implica que $A^x$ e $B$ s\u00e3o subgrupos de $BN$ de ordem $a$. Pela hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o, eles s\u00e3o conjugados. Logo, $A$ e $B$ s\u00e3o conjugados.<\/p>\n

    Resta verificar o caso quando $G$ n\u00e3o possui um subgrupo normal $N$ como em cima. Neste caso, temos, para todo subgrupo normal $N$, que $b\\mid |N|$. Seja $N$ um subgrupo minimo normal. Ent\u00e3o $|N|=p^n$ com algum $n$ e $b\\mid |N|$. Isto implica que $b=|M|=p^n$. Al\u00e9m disso se $M$ \u00e9 um subgrupo minimal normal de $G$, ent\u00e3o o mesmo argumento mostra que $|N|=p^n$ e $MN=p^n$. Logo $M=N$. Temos ent\u00e3o que $N$ \u00e9 o \u00fanico subgrupo minimal normal de $G$ e $|N|=b=p^n$. O resultado agora segue do lema em cima.<\/p>\n

    (2) $\\Rightarrow$ (1) Nesta dire\u00e7\u00e3o provaremos o seguinte resultado mais forte.<\/p>\n

    Lema.\u00a0<\/strong>Assuma que $G$ \u00e9 um grupo finito tal que $G$ possui um $\\{p\\}’$-subgrupo de Hall para todo primo $p$. Ent\u00e3o $G$ \u00e9 sol\u00favel.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Assuma que $G$ \u00e9 um contra-exemplo de menor ordem. Afirmamos primeiro que $G$ \u00e9 simples. De fato, assuma que $1\\neq N\\lhd G$ e que $p$ \u00e9 um primo. Seja $H\\leq G$ um $\\{p\\}’$-subgrupo de Hall de $G$. Ent\u00e3o $H\\cap N$ e $HN\/N$ s\u00e3o $\\{p\\}’$-subgrupos de Hall de $N$ e de $G\/N$ respetivamente. Pela minimalidade de $G$, $N$ e $G\/N$ s\u00e3o sol\u00faveis que implica que $G$ tamb\u00e9m \u00e9 sol\u00favel.\u00a0 Mas isto n\u00e3o \u00e9 o caso: uma contradi\u00e7\u00e3o. Podemos ent\u00e3o assumir sem perder generalidade que $G$ \u00e9 um grupo simples.<\/p>\n

    Suponha que $|G|=p_1^{\\alpha_1}\\cdots p_k^{\\alpha_k}$ onde os $p_i$ s\u00e3o primos mutualmente distintos e $\\alpha_i\\geq 1$. Para todo $i$, seja $H_i$ o $\\{p_i\\}’$-subgrupo de Hall de $G$. Ent\u00e3o
    \n$$
    \n|H_i|=|G|\/p_i^{\\alpha_i}=\\prod_{j\\neq i}p_j^{\\alpha_j}.
    \n$$
    \nPonha $D=H_3\\cap\\cdots\\cap H_k$. Temos que $|D|=p_1^{\\alpha_1}p_2^{\\alpha_2}$ e $D$ \u00e9 um grupo sol\u00favel pelo Teorema de Burnside. Seja $N$ um subgrupo minimal normal de $D$. Ent\u00e3o $N$ \u00e9 um $p$-grupo abeliano elementar. Assuma por exemplo que $N$ \u00e9 um $p_1$-grupo. Ora, $|G:D\\cap H_2|=\\prod_{i\\geq 2}p_i^{\\alpha_i}$, ent\u00e3o $|D\\cap H_2|=p_1^{\\alpha_1}$. Portanto $D\\cap H_2$ \u00e9 um $p_1$-subgrupo de Sylow de $D$. Pelo teoremas de Sylow, $N\\leq D\\cap H_2$ que implica que $N\\leq H_2$. No entanto, obtemos similarmente que $|D\\cap H_1|=p_2^{\\alpha_2}$ e comparar as ordens implica que $G=H_2(D\\cap H_1)$. Seja $g\\in G$ e escreva $g=hd$ onde $h\\in H_2$ e $d\\in D\\cap H_1$. Se $x\\in N$, ent\u00e3o
    \n$$
    \ngxg^{-1}=hdxd^{-1}h^{-1}=hyh^{-1} \\in H_2
    \n$$
    \nonde $y=dxd^{-1}$. Logo $N^G\\leq H_2$ onde $N^G$ \u00e9 o fecho normal de $N$ em $G$. Como $H_2<G$, obtemos que $N^G$ \u00e9 um subgrupo normal n\u00e3o trivial e pr\u00f3prio em $G$, mas isto \u00e9 imposs\u00edvel, como $G$ \u00e9 simples.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Seja $\\pi$ \u00e9 um conjunto de primos. Um n\u00famero natural \u00e9 dito $\\pi$-n\u00famero, se $p\\mid n$ implica que $p\\in\\pi$. Um n\u00famero \u00e9 dito $\\pi’$-n\u00famero, se $p\\mid n$ implica que $p\\not\\in\\pi$. Se $G$ \u00e9 um grupo e\u00a0 $H\\leq G$, ent\u00e3o $H$ \u00e9 dito $\\pi$-subgrupo de Hall, se $|H|$ \u00e9 um $\\pi$-n\u00famero e $|G:H|$ \u00e9 um $\\pi’$-n\u00famero. … Continue reading Subgrupos de Hall<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/339"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=339"}],"version-history":[{"count":10,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/339\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":393,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/339\/revisions\/393"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=339"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=339"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=339"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}