{"id":333,"date":"2019-08-20T00:04:20","date_gmt":"2019-08-20T00:04:20","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=333"},"modified":"2019-12-01T15:57:44","modified_gmt":"2019-12-01T15:57:44","slug":"o-teorema-de-jordan-holder","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/08\/20\/o-teorema-de-jordan-holder\/","title":{"rendered":"O Teorema de Jordan-H\u00f6lder"},"content":{"rendered":"

Seja $G$ um grupo e seja
\n\\begin{equation}\\label{cad}
\nG_0=G>G_1>\\cdots >G_k=1
\n\\end{equation}
\numa cadeia de subgrupos. O comprimento da cadeia \\eqref{cad} \u00e9 $k$.\u00a0 Esta cadeia \u00e9 dita normal<\/em> se $G_i\\unlhd G$ para todo $i$; ela \u00e9 dita subnormal<\/em> se $G_i\\unlhd G_{i-1}$ vale para todo $i$.\u00a0 Uma cadeia normal \u00e9 automaticamente subnormal.<\/p>\n

Uma cadeia
\n$$
\nH_0=G>H_1>\\cdots >H_m=1
\n$$
\n\u00e9 um refinamento<\/em> de \\eqref{cad} se $\\{G_0,\\ldots,G_k\\}\\subseteq\\{H_0,\\ldots,H_m\\}$. O refinamento \u00e9 dito pr\u00f3prio se$\\{G_0,\\ldots,G_k\\}\\subset\\{H_0,\\ldots,H_m\\}$. Uma cadeia subnormal que n\u00e3o possui refinamentos pr\u00f3prios \u00e9 dito uma s\u00e9rie de composi\u00e7\u00e3o<\/em>.<\/p>\n

Lembre que um grupo $G\\neq 1$ \u00e9 dito simples se ele n\u00e3o possui subgrupos normais al\u00e9m de $1$ e $G$.<\/p>\n

Lemma.\u00a0<\/strong>A cadeia \\eqref{cad} \u00e9 uma s\u00e9rie de composi\u00e7\u00e3o se e somente se os quocientes $G_i\/G_{i+1}$ s\u00e3o grupos simples.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Assuma que \\eqref{cad} \u00e9 uma s\u00e9rie de composi\u00e7\u00e3o. Seja $N$ um subgrupo normal n\u00e3o trivial do quociente $G_i\/G_{i+1}$. Pelo Teorema da Correspond\u00eancia, existe um subgrupo normal $\\overline N$ de $G_i$ tal que $G_{i+1}\\unlhd \\overline N\\unlhd G_i$ e $N\\neq G_{i+1}$. Ent\u00e3o obtemos que a cadeia
\n$$
\nG_0=G>\\cdots G_i\\geq \\overline N> G_{i+1}>\\cdots>1
\n$$
\n\u00e9 um refinamento de \\eqref{cad}. Como a cadeia n\u00e3o possui refinamento pr\u00f3prio, temos que $\\overline N=G_{i}$; ou seja $N=G_i\/G_{i+1}$. Logo $G_i\/G_{i+1}$ \u00e9 um grupo simples.<\/p>\n

Assuma agora que os quocientes $G_i\/G_{i+1}$ s\u00e3o todos simples e seja
\n$$
\nG_0=G>\\cdots G_i>\\overline N\\geq G_{i+1}>\\cdots>1
\n$$
\num refinamento de \\eqref{cad}. Ent\u00e3o $N\/G_{i+1}\\lhd G_i\/G_{i+1}$. Por simplicidade, n\u00f3s obtemos que\u00a0$N\/G_{i+1}=1$ e portanto $N=G_{i+1}$. Logo, a cadeia \\eqref{cad} n\u00e3o possui refinamento pr\u00f3prio. $\\Box$<\/p>\n

Duas cadeias $G_0>\\cdots>G_k$ e $H_0>\\cdots> H_m$ subnormais s\u00e3o equivalentes se $k=m$ e existe uma permuta\u00e7\u00e3o $\\sigma\\in S_k$ tal que
\n$$
\nG_{i-1}\/G_i\\cong H_{i\\sigma-1}\/H_{i\\sigma} \\mbox{ para todo }i\\in\\{1,\\ldots,k\\}.
\n$$<\/p>\n

Teorema (Jordan-H\u00f6lder).\u00a0<\/strong>Duas s\u00e9ries de composi\u00e7\u00e3o de um grupo $G$ s\u00e3o equivalentes.<\/p>\n

Come\u00e7amos a demonstra\u00e7\u00e3o deste teorema por um lema.<\/p>\n

Lema.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo e sejam $A,B$ subgrupos normais distintos em $G$ tal que $G\/A$ e $G\/B$ s\u00e3o simples. Ent\u00e3o
\n$$
\nG\/A\\cong B\/(A\\cap B)\\quad\\mbox{e}\\quad G\/B=A\/(A\\cap B).
\n$$<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Note que $A\\leq B$ ou $B\\leq A$ s\u00e3o imposs\u00edveis. De fato, no primeiro caso $B\/A$ seria normal em $G\/A$ que \u00e9 imposs\u00edvel pela simplicidade de $G\/A$.<\/p>\n

Pela normalidade de $A$ e $B$, o produto $AB$ \u00e9 um subgrupo normal de $G$.\u00a0 Logo $AB\/A$ \u00e9 normal em $G\/A$. Pela simplicidade de $G\/A$, temos que $AB\/A=G\/A$, que implica que $AB=G$.<\/p>\n

Agora, pelo teorema de isomorfismo
\n$$
\nG\/A=AB\/A=B\/(A\\cap B)
\n$$
\ne similarmente
\n$$
\nG\/B\\cong A\/(A \\cap B).
\n$$<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o do Teorema.\u00a0<\/strong>Fazemos a demonstra\u00e7\u00e3o por indu\u00e7\u00e3o sobre o comprimento da menor s\u00e9rie de composi\u00e7\u00e3o. Se $k=1$, ent\u00e3o $G$ \u00e9 simples e toda s\u00e9rie de composi\u00e7\u00e3o tem a forma
\n$$
\nG_0=G>G_1=1.
\n$$
\nAssuma que a teorema \u00e9 verdadeiro para grupos que possuem uma s\u00e9rie de composi\u00e7\u00e3o de comprimento $k-1\\geq 1$. Assuma que
\n$$
\nG_0=G>G_1>\\cdots >G_k=1
\n$$
\n\u00e9 uma s\u00e9rie de composi\u00e7\u00e3o de um grupo $G$ com comprimento minimal. Assuma ainda que
\n$$
\nH_0=G>H_1>\\cdots>H_m=1
\n$$
\n\u00e9 uma outra s\u00e9rie de composi\u00e7\u00e3o de $G$. Assuma primeiro que $G_1=H_1$. Ent\u00e3o
\n$$
\nG_1>\\cdots >G_k=1
\n$$
\ne
\n$$
\nH_1>\\cdots>H_m=1
\n$$
\ns\u00e3o s\u00e9ries de composi\u00e7\u00e3o do grupo $G_1=H_1$. Pela hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o, estas duas s\u00e9ries s\u00e3o equivalentes, portanto as s\u00e9ries originais de $G$ s\u00e3o tamb\u00e9m equivalentes.<\/p>\n

Assuma agora que $G_1\\neq H_1$ e seja $K=G_1\\cap H_1$. Pelo lema anterior, $G\/G_1\\cong H_1\/K$ e $G\/H_1\\cong G_1\/K$. Seja $K_i=G_i\\cap K$ para $i\\geq 1$. Ent\u00e3o $K_i\\unlhd G_i$ e $K_{i+1}\\unlhd K_i$. Considere o mapa
\n$$
\nK_i\\rightarrow G_i\/G_{i+1},\\quad x\\mapsto xG_{i+1}.
\n$$
\nO n\u00facleo deste mapa \u00e9 $K_i\\cap G_{i+1}=K_{i+1}$, ent\u00e3o o mapa
\n$$
\nK_i\/K_{i+1}\\rightarrow G_i\/G_{i+1},\\quad xK_{i+1}\\mapsto x G_{i+1}
\n$$
\n\u00e9 bem definido e \u00e9 injetivo. Portanto, $K_i\/K_{i+1}$ pode ser considerado como um subgrupo normal de $G_i\/G_{i+1}$. Como\u00a0$G_i\/G_{i+1}$ \u00e9 simples, temos que $K_i\/K_{i+1}$ \u00e9 trivial ou \u00e9 simples. Portanto, por apagar as duplica\u00e7\u00f5es da cadeia
\n$$
\nG_1>K_1>K_2>\\cdots>K_k=1
\n$$
\nobtemos duas s\u00e9ries de composi\u00e7\u00e3o do grupo $G_1$:
\n$$
\nG_1>L_1>\\cdots>L_r=1
\n$$
\ne
\n$$
\nG_1>G_2>\\cdots>G_k=1.
\n$$
\nPela hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o obtemos que as duas s\u00e9ries s\u00e3o equivalentes.<\/p>\n

Similarmente, temos duas s\u00e9ries de composi\u00e7\u00e3o para $H_1$:
\n$$
\nH_1>L_1>\\cdots>L_r=1\\quad\\mbox{e}\\quad H_1>H_2>\\cdots>H_m=1.
\n$$
\nEstas s\u00e9ries s\u00e3o equivalentes pelo hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o. Portanto, \u00e9 suficiente provar que
\n$$
\nG>G_1>L_1>\\cdots>L_r=1\\quad\\mbox{e}\\quad G>H_1>L_1>\\cdots>L_r=1
\n$$
\ns\u00e3o equivalentes. Isto \u00e9 de fato verdadeiro, pois $G\/G_1\\cong H_1\/K_1$ e
\n$G\/H_1\\cong G_1\/K_1$. $\\Box$<\/p>\n

De fato, vale o seguinte teorema mais geral.<\/p>\n

Teorema (Schreier).<\/strong> Cada par de s\u00e9ries subnormais de um grupo possui refinamentos que s\u00e3o equivalentes.<\/p>\n

Note que o Teorema de Schreier tamb\u00e9m implica o Teorema de Jordan-H\u00f6lder.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Seja $G$ um grupo e seja \\begin{equation}\\label{cad} G_0=G>G_1>\\cdots >G_k=1 \\end{equation} uma cadeia de subgrupos. O comprimento da cadeia \\eqref{cad} \u00e9 $k$.\u00a0 Esta cadeia \u00e9 dita normal se $G_i\\unlhd G$ para todo $i$; ela \u00e9 dita subnormal se $G_i\\unlhd G_{i-1}$ vale para todo $i$.\u00a0 Uma cadeia normal \u00e9 automaticamente subnormal. Uma cadeia $$ H_0=G>H_1>\\cdots >H_m=1 $$ … Continue reading O Teorema de Jordan-H\u00f6lder<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/333"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=333"}],"version-history":[{"count":3,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/333\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":644,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/333\/revisions\/644"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=333"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=333"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=333"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}