{"id":325,"date":"2019-08-19T12:13:29","date_gmt":"2019-08-19T12:13:29","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=325"},"modified":"2019-08-21T22:10:57","modified_gmt":"2019-08-21T22:10:57","slug":"grupos-soluveis","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/08\/19\/grupos-soluveis\/","title":{"rendered":"Grupos sol\u00faveis"},"content":{"rendered":"

Seja $G$ um grupo. Se $x,y\\in G$, ent\u00e3o o comutador $[x,y]$ de $x,y$ \u00e9 definido por $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$. Em um grupo $G$, denotamos por $G’$ o subgrupo $G’=\\left< [x,y] \\mid x,y\\in G\\right>$ (o subgrupo gerado por comutadores). O subgrupo $G’$ \u00e9 chamado de subgrupo derivado,\u00a0<\/em>ou subgrupo comutador<\/em> de $G$.<\/p>\n

Um subgroupo $H\\leq G$ \u00e9 dito carater\u00edstico<\/em>, se $H$ \u00e9 invariente por automorfismos de $G$. Um subgrupo carater\u00edstico \u00e9 normal.<\/p>\n

Lema.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo e sejam $H$, $K$ subgroupos de $G$ tal que $K\\leq H\\leq G$.<\/p>\n

    \n
  1. Se $K$ \u00e9 carater\u00edstico em $H$ e $H$ \u00e9 carater\u00edstico em $G$, ent\u00e3o $K$ \u00e9 carater\u00edstico em $G$.<\/li>\n
  2. Se $K$ \u00e9 carater\u00edstico em $H$ e $H$ \u00e9 normal em $G$, ent\u00e3o $K$ \u00e9 normal em $G$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Exerc\u00edcio.<\/p>\n

    Lema. <\/strong>$G’$ \u00e9 um subgrupo carater\u00edstico de $G$. Em particular, $G’$ \u00e9 um subgrupo normal. Al\u00e9m disso, $G\/G’$ \u00e9 um grupo abeliano e se $N\\unlhd G$ tal que $G\/N$ \u00e9 abeliano, ent\u00e3o $G’\\leq N$. (Pode-se dizer que $G’$ \u00e9 o menor subgrupo normal de $G$ com quociente abeliano.)<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Exerc\u00edcio.<\/p>\n

    Podemos definir recursivamente $G”=(G’)’$, $G”’=(G”)’$. Obtemos uma s\u00e9rie chamada de s\u00e9rie derivada<\/em> ou s\u00e9rie comutador<\/em> de $G$. Os termos desta s\u00e9rie s\u00e3o subgrupos carater\u00edsticos, em particular, eles s\u00e3o normais em $G$. Os termos da s\u00e9rie derivada s\u00e3o denotados tamb\u00e9m por $G=G^{(0)}$, $G’=G^{(1)}$, $G”=G^{(2)}$, etc.<\/p>\n

    Lema.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo e seja\u00a0$G_0=G>\\cdots> G_k>\\cdots$ uma s\u00e9rie subnormal tal que $G_i\/G_{i+1}$ \u00e9 abeliano para todo $i$. Ent\u00e3o $G^{(i)}\\leq G_i$ vale para todo $i\\geq 0$.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>A afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 trivialmente verdadeira para $i=0$. Assuma que $G^{(i)}\\leq G_i$. Como $G_i\/G_{i+1}$ \u00e9 abeliano, temos que $G_i’\\leq G_{i+1}$. Logo
    \n$$
    \nG^{(i+1)}=(G^{(i)})’\\leq G_i’\\leq G_{i+1}.
    \n$$
    \nEnt\u00e3o a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira para $i+1$ e segue por indu\u00e7\u00e3o que ela \u00e9 verdadeira para todo $i$.<\/p>\n

    Corol\u00e1rio.<\/strong>\u00a0As seguintes s\u00e3o equivalentes para um grupo $G$.<\/p>\n

      \n
    1. Existe uma s\u00e9rie normal $G_0=G>\\cdots >G_k=1$ com quocientes abelianos.<\/li>\n
    2. Existe\u00a0 uma s\u00e9rie subnormal\u00a0$G_0=G>\\cdots> G_k=1$ com quocientes abelianos.<\/li>\n
    3. Existe $k$ tal que $G^{(k)}=1$.<\/li>\n<\/ol>\n

      Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>Segue dos resultados anteriores.<\/p>\n

      Um grupo $G$ \u00e9 dito sol\u00favel<\/em> se uma das afirma\u00e7\u00f5es do corol\u00e1rio anterior \u00e9 v\u00e1lida para $G$. O menor $k$ tal que $G^{(k)}=1$ \u00e9 chamado de comprimento derivado<\/em> de $G$.<\/p>\n

      Um grupo abeliano finito \u00e9 dito grupo abeliano elementar,,\u00a0<\/em>se existe um primo $p$, tal que $x^p=1$ para todo $x\\in G$. Pelo Teorema Fundamental dos Grupos Finitos Abelianos, temos que $G$ \u00e9 grupo abeliano elementar se e somente se $G=C_p\\times\\cdots \\times C_p$ com algum primo $p$. Em particular, um grupo abeliano elementar pode ser considerado como um espa\u00e7o vetorial sobre o corpo $\\mathbb F_p$.<\/p>\n

      Lema.<\/strong>\u00a0As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o v\u00e1lidas para um grupo $G$.<\/p>\n

        \n
      1. Se $\\varphi:G\\rightarrow K$ \u00e9 um homomorfismo, ent\u00e3o
        \n$$
        \n\\varphi(G^{(i)})=\\varphi(G)^{(i)}
        \n$$
        \npara todo $i\\geq 0$.<\/li>\n
      2. Se $N\\unlhd G$ e $Q=G\/N$, ent\u00e3o $Q^{(i)}= G^{(i)}N\/N$.<\/li>\n
      3. Se $G$ \u00e9 sol\u00favel e $H\\leq G$, $N\\unlhd G$, ent\u00e3o $H$ e $G\/N$ s\u00e3o sol\u00faveis.<\/li>\n
      4. Se $N\\unlhd G$, tal que $N$ e $G\/N$ s\u00e3o sol\u00faveis, ent\u00e3o $G$ \u00e9 sol\u00favel.<\/li>\n
      5. Se $G$ \u00e9 um p<\/em>-grupo finito, ent\u00e3o $G$ \u00e9 sol\u00favel.<\/li>\n
      6. Se $G$ \u00e9 finito, ent\u00e3o $G$ \u00e9 sol\u00favel se e somente se os fatores de composi\u00e7\u00e3o de $G$ s\u00e3o todos grupos c\u00edclicos de ordem prima.<\/li>\n
      7. Se $G$ \u00e9 finito e sol\u00favel e $N$ \u00e9 um subgrupo minimal normal de $G$, ent\u00e3o $N$ \u00e9 abeliano elementar.<\/li>\n<\/ol>\n

        Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>1. Indu\u00e7\u00e3o por $i$. Se $i=0$, ent\u00e3o n\u00e3o h\u00e1 nada para provar. Assuma que a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira para $i\\geq 0$.
        \nO subgrupo $G^{(i+1)}$ \u00e9 gerado por elementos da forma $[x,y]$ onde $x,y\\in G^{(i)}$. Como
        \n$$
        \n\\varphi([x,y])=[\\varphi(x),\\varphi(y)]\\in \\varphi(G^{(i)})’=(\\varphi(G)^{(i)})’=\\varphi(G)^{(i+1)},
        \n$$
        \nobtemos que $\\varphi(G^{(i+1)})\\leq \\varphi(G)^{(i+1)}$.
        \nAssuma agora que $[u,v]\\in\\varphi(G)^{(i+1)}$ com $u,v\\in \\varphi(G)^{(i)}$. Temos que existem $x,y\\in G^{(i)}$ tal que $\\varphi(x)=u$ e $\\varphi(y)=v$. Logo
        \n$$
        \n[u,v]=\\varphi([x,y])\\in \\varphi(G^{(i+1)})
        \n$$
        \ne $\\varphi(G)^{(i+1)}\\leq\u00a0\\varphi(G^{(i+1)})$.\u00a0 Temos equality.<\/p>\n

        2. Seja $\\varphi:G\\rightarrow G\/N$ o homomorfismo natural. Por parte (1), tem-se que
        \n$$
        \nQ^{(i)}=\\varphi(G)^{(i)}=\\varphi(G^{(i)})=G^{(i)}N\/N.
        \n$$<\/p>\n

        3. Assuma que $G$ \u00e9 sol\u00favel e assuma que $G^{(k)}=1$ para algum $k$. Pode-se verificar por indu\u00e7\u00e3o que $H^{(i)}\\leq G^{(i)}$ vale para todo $i\\geq 0$. Portanto, $H^{(k)}=1$ e segue que $H$ \u00e9 sol\u00favel.<\/p>\n

        Seja agora $N\\unlhd G$ e assuma que $Q=G\/N$. Por parte (2), temos que $(G\/N)^{(k)}= G^{(k)}N\/N=1$. Logo $(G\/N)^k=1$ e portanto $G\/N$ \u00e9 sol\u00favel.<\/p>\n

        4. Assuma que $N\\unlhd G$ e $G\/N$ s\u00e3o sol\u00faveis. Seja $Q=G\/N$. Existe $m$ tal que $Q^{(m)}=1$. Isto quer dizer que $G^{(m)}\\leq N$. Existe $l$ tal que $N^{(l)}=1$. Afirmamos que $G^{(m+l)}=1$. De fato,
        \n$$
        \nG^{(m+l)}=(G^{(m)})^{(l)}\\leq N^{(l)}=1.
        \n$$
        \nLogo, $G$ \u00e9 sol\u00favel.<\/p>\n

        5. Provaremos por indu\u00e7\u00e3o por $|G|$. Se $|G|=1$, n\u00e3o h\u00e1 nada para provar. Assuma que $G$ \u00e9 um $p$-grupo finito de ordem $p^n$ e assuma que $p$-grupos de ordem menor que $p^n$ s\u00e3o sol\u00faveis. Como $G$ \u00e9 um $p$-grupo finito, $Z(G)$ \u00e9 um subgrupo normal n\u00e3o trivial de $G$. Al\u00e9m disso, $Z(G)$ \u00e9 abeliano e, pela hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o, $G\/Z(G)$ \u00e9 sol\u00favel. Portanto, $G$ \u00e9 sol\u00favel pela afirma\u00e7\u00e3o anterior.<\/p>\n

        6. Claro.<\/p>\n

        7. Seja $N$ um subgrupo minimal normal de $G$. Como $N’$ \u00e9 um subgrupo carater\u00edstico em $N$, temos que $N’$ \u00e9 normal de $G$, que implica, pela minimalidade de $N$, que $N’=1$. Logo $N$ \u00e9 um grupo abeliano finito. Pelo Teorema Fundamental dos Grupos Abelianos Finitos, $N=N_{p_1}\\times \\cdots \\times N_{p_k}$ onde $N_{p_i}$ \u00e9 o $p_i$-subgrupo de Sylow de $N$. Cada $N_{p_i}$ \u00e9 carater\u00edstico em $N$, e normal em $G$. Pela minimalidade de $N$, temos que $N=N_{p_1}$; isto \u00e9, $N$ \u00e9 um $p$-grupo abeliano. Finalmente, observe que
        \n$$
        \nN^p=\\{x^p\\mid x\\in N\\}
        \n$$
        \n\u00e9 um subgrupo carater\u00edstico em $N$ que implica que $N^p=1$; ou seja $N$ \u00e9 abeliano elementar.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        Seja $G$ um grupo. Se $x,y\\in G$, ent\u00e3o o comutador $[x,y]$ de $x,y$ \u00e9 definido por $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$. Em um grupo $G$, denotamos por $G’$ o subgrupo $G’=\\left< [x,y] \\mid x,y\\in G\\right>$ (o subgrupo gerado por comutadores). O subgrupo $G’$ \u00e9 chamado de subgrupo derivado,\u00a0ou subgrupo comutador de $G$. Um subgroupo $H\\leq G$ \u00e9 dito carater\u00edstico, … Continue reading Grupos sol\u00faveis<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/325"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=325"}],"version-history":[{"count":6,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/325\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":327,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/325\/revisions\/327"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=325"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=325"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=325"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}