{"id":288,"date":"2019-06-17T13:38:32","date_gmt":"2019-06-17T13:38:32","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=288"},"modified":"2019-06-17T13:43:38","modified_gmt":"2019-06-17T13:43:38","slug":"exercicios-integral","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/06\/17\/exercicios-integral\/","title":{"rendered":"Exerc\u00edcios (Integral)"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}$ $\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}$ $\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}$ $\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}$ $\\newcommand{\\dx}{\\,dx}$
\n1. Demonstre que as seguintes s\u00e3o equivalentes para um conjunto $X\\subseteq \\R$.<\/p>\n

    \n
  1. Para todo $\\varepsilon>0$ existe uma cobertura $\\{I_i\\mid i\\in\\N\\}$ de $X$ formada por intervalos abertos tal que $\\sum_\u00ec|I_i|\\leq\\varepsilon$.<\/li>\n
  2. Para todo $\\varepsilon>0$ existe uma cobertura $\\{I_i\\mid i\\in\\N\\}$ de $X$ formada por intervalos (n\u00e3o necessariamente abertos) tal que $\\sum_\u00ec|I_i|\\leq\\varepsilon$.<\/li>\n<\/ol>\n

    2. Demonstre que o conjunto de Cantor tem medida nula.<\/p>\n

    3. Seja $f:[a,b]\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o limitada. Para $x\\in[a,b]$ e $\\delta>0$, seja $$ \\omega(x,\\delta)=\\sup\\{f(x)\\mid x\\in[x-\\delta,x+\\delta]\\cap[a,b]\\}- \\inf\\{f(x)\\mid x\\in[x-\\delta,x+\\delta]\\cap[a,b]\\}. $$<\/p>\n

      \n
    1. Demonstre que existe $\\omega(x)=\\lim_{\\delta\\rightarrow 0}\\omega(x,\\delta)$.<\/li>\n
    2. Demonstre que $\\omega(x)=0$ se e somente se $f$ \u00e9 cont\u00ednua em $x$.<\/li>\n<\/ol>\n

      4. Sejam $f,\\ g:[a,b]\\rightarrow\\R$ fun\u00e7\u00f5es integr\u00e1veis.<\/p>\n

        \n
      1. Assuma que existe $k>0$ tal que $k\\leq|g(x)|$ para todo $x\\in[a,b]$. Demonstre que a fun\u00e7\u00e3o $f(x)\/g(x)$ \u00e9 integr\u00e1vel em $[a,b]$. Exiba um exemplo que mostra que a condi\u00e7\u00e3o que existe um tal $k$ \u00e9 necess\u00e1ria.<\/li>\n
      2. Assuma que $f(x)\\leq g(x)$ para todo $x\\in[a,b]$ e demonstre que $\\int_{a}^bf(x)\\dx\\leq\\int_{a}^bg(x)\\dx$.<\/li>\n
      3. Demonstre que $|f(x)|$ \u00e9 integr\u00e1vel e que $|\\int_{a}^bf(x)\\dx|\\leq\\int_{a}^b|f(x)|\\dx$.<\/li>\n<\/ol>\n

        5. Seja $a>0$ e seja $f:[-a,a]\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o integr\u00e1vel. Verifique as seguintes afirma\u00e7\u00f5es.<\/p>\n

          \n
        1. Se $f$ \u00e9 \u00edmpar ent\u00e3o $\\int_{-a}^af(x)\\dx=0$.<\/li>\n
        2. Se $f$ \u00e9 par ent\u00e3o $\\int_{-a}^af(x)\\dx=2\\int_{0}^af(x)\\dx$.<\/li>\n<\/ol>\n

          6. Seja $f:[a,b]\\rightarrow \\R$ uma fun\u00e7\u00e3o integr\u00e1vel com $f(x)\\geq 0$ para todo $x\\in[a,b]$, e assuma que $f$ \u00e9 continua em um ponto $c\\in[a,b]$ tal que $f(c)>0$. Demonstre que $\\int_a^bf(x)\\dx>0$.<\/p>\n

          7. Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz: Se $f,\\ g:[a,b]\\rightarrow\\R$ s\u00e3o fun\u00e7\u00f5es cont\u00ednuas, ent\u00e3o $$ \\left(\\int_a^b f(x)g(x)\\dx\\right)^2\\leq \\left(\\int_a^b f(x)^2\\dx\\right) \\left(\\int_a^b g(x)^2\\dx\\right). $$ [Dica: Use o Exerc\u00edcio 6 e consulte um livro de \u00e1lgebra linear.]<\/p>\n

          8. Seja $f:[a,\\infty)\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua, mon\u00f3tona n\u00e3o crescente tal que $f(x)>0$ para todo $x\\in\u00a0[a,\\infty)$. Mostre que se existir $\\int_a^\\infty f(x)dx$, ent\u00e3o $\\lim_{x\\rightarrow\\infty}f(x)=0$.<\/p>\n

          9. Calcule, se existir, cada uma das seguintes integrais impr\u00f3prias:
          \n$$
          \n\\int_{0}^\\infty \\frac{1}{(1+x)\\sqrt x}dx,\\quad \\int_{-\\infty}^\\infty \\frac{1}{1+x^6}dx,\\quad \\int_{-1}^1\\frac{1}{\\sqrt[3]x}dx.
          \n$$<\/p>\n

           <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

          $\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}$ $\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}$ $\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}$ $\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}$ $\\newcommand{\\dx}{\\,dx}$ 1. Demonstre que as seguintes s\u00e3o equivalentes para um conjunto $X\\subseteq \\R$. Para todo $\\varepsilon>0$ existe uma cobertura $\\{I_i\\mid i\\in\\N\\}$ de $X$ formada por intervalos abertos tal que $\\sum_\u00ec|I_i|\\leq\\varepsilon$. Para todo $\\varepsilon>0$ existe uma cobertura $\\{I_i\\mid i\\in\\N\\}$ de $X$ formada por intervalos (n\u00e3o necessariamente abertos) tal … Continue reading Exerc\u00edcios (Integral)<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/288"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=288"}],"version-history":[{"count":3,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/288\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":291,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/288\/revisions\/291"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=288"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=288"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=288"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}