$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}$ $\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}$ $\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}$ $\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}$1. Seja $f:X\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o e seja $a\\in X\\cap X’$. Mostre que as seguintes s\u00e3o equivalentes:<\/p>\n
2. (Regra de L’Hospital) Sejam $f,\\ g:X\\rightarrow\\R$ fun\u00e7\u00f5es deriv\u00e1veis em um ponto $a\\in X\\cap X’$ e assuma que $f(a)=g(a)=0$. Se $g'(a)\\neq 0$, ent\u00e3o $\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)\/g(x)=f'(a)\/g'(a)$.<\/p>\n
3. Seja $f:\\R^+\\rightarrow\\R$ definida por $f(x)=\\sqrt[n]x$ com $n\\in\\N$. Calcule a derivada de $f$ sem usar que $x\\mapsto \\sqrt[n]x$ \u00e9 a inversa de $x\\mapsto x^n$.<\/p>\n
4. Uma fun\u00e7\u00e3o $f:\\R\\rightarrow \\R$ \u00e9 dita\u00a0par<\/i>\u00a0se $f(-x)=f(x)$ para todo $x\\in \\R$; a fun\u00e7\u00e3o $f(x)$ \u00e9 dita\u00a0\u00edmpar<\/i>\u00a0se $f(-x)=-f(x)$ para todo $x\\in \\R$. Demonstre que a derivada, se existir, de uma fun\u00e7\u00e3o par \u00e9 \u00edmpar, e a derivada, se existir, de uma fun\u00e7\u00e3o \u00edmpar \u00e9 par.<\/p>\n
5. Seja $I$ um intervalo e $f:I\\rightarrow \\R$ uma fun\u00e7\u00e3o deriv\u00e1vel (em todo ponto $a\\in I)$. Seja $a$ um ponto interior a $I$ tal que $f'(a)=0$ e existe $f”(a)$ tal que $f”(a)\\neq 0$. Mostre que $f(x)$ tem m\u00ednimo local ou m\u00e1ximo local em $a$.\u00a0Demonstre por exibir um exemplo que a condi\u00e7\u00e3o $f”(a)\\neq 0$ \u00e9 necess\u00e1ria para concluir que $f(x)$ tem m\u00ednimo local ou m\u00e1ximo local em $a$.<\/p>\n
6. Seja $f:[a,b]\\rightarrow \\R$ uma fun\u00e7\u00e3o deriv\u00e1vel em $[a,b]$ com $f'(x)\\geq 0$ para todo $x\\in [a,b]$ e assuma que $f'(x)=0$ vale somente para um n\u00famero finito de $x\\in[a,b]$. Demonstre que $f$ \u00e9 crescente.<\/p>\n
7. Seja $f:[a,b]\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o deriv\u00e1vel em $[a,b]$ tal que $|f'(x)|\\leq k$ para todo $x\\in [a,b]$. Mostre que a fun\u00e7\u00e3o $f$ \u00e9 lipschitziana; ou seja $|f(x)-f(y)|\\leq k|x-y|$ para todo $x,\\ y\\in[a,b]$.<\/p>\n
8. Seja $f:\\R\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o e defina $$ M=\\{a\\in\\R\\mid f(x)\\mbox{ possui m\u00ednimo ou m\u00e1ximo local estrito em $a$}\\}. $$ Demonstre que $M$ \u00e9 enuver\u00e1vel.<\/p>\n
Nos seguintes exerc\u00edcios $I$ e $J$ denotam intervalos.<\/p>\n
9. Para $n\u22650$, defina a fun\u00e7\u00e3o $f_n:\\R\\rightarrow\\R$ como $f_n(x)=x^n|x|$. Demonstre que $f_n(x)$ \u00e9 $n$ vezes deriv\u00e1vel, mas n\u00e3o \u00e9 $n+1$ vezes derirv\u00e1vel.<\/p>\n
10. Seja $I$ aberto e $g:I\\rightarrow\\R$ cont\u00ednua em $I$ exceto no ponto $a\\in I$. Assuma tamb\u00e9m que existem os limites laterais $\\lim_{x\\rightarrow a+}g(x)=A$ e $\\lim_{x\\rightarrow a-}g(x)=B$ e que $A\\neq B$. Demonstre que n\u00e3o existe uma fun\u00e7\u00e3o $f:I\\rightarrow\\R$ tal que $f'(x)=g(x)$.<\/p>\n
11. Seja $f:\\R\\rightarrow\\R$ a fun\u00e7\u00e3o definida por $f(x)=x^5\/(1+x^6)$. Calcule $f^{(2001)}(0)$.<\/p>\n
12. Seja $f:I\\rightarrow\\R$ de classe $C^\\infty$. Suponha que existe $K>0$ tal que $|f^{(n)}(x)|\\leq K$ para todo $x\\in I$ e $n\\geq 0$. Demonstre que $$ f(x)=\\sum_{i=0}^\\infty \\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i $$ para todo $x,\\ x_0\\in I$.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}$ $\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}$ $\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}$ $\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}$1. Seja $f:X\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o e seja $a\\in X\\cap X’$. Mostre que as seguintes s\u00e3o equivalentes: $f(x)$ \u00e9 deriv\u00e1vel em $a$; existe uma fun\u00e7\u00e3o $\\eta:X\\rightarrow\\R$ tal que $f(x)=f(a)+\\eta(x)(x-a)$ para todo $x\\in X$ e $\\eta(x)$ \u00e9 cont\u00ednua em $a$. 2. (Regra de L’Hospital) Sejam $f,\\ g:X\\rightarrow\\R$ fun\u00e7\u00f5es deriv\u00e1veis em … Continue reading Exerc\u00edcios: Derivado<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/281"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=281"}],"version-history":[{"count":5,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/281\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":287,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/281\/revisions\/287"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=281"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=281"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=281"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}