{"id":273,"date":"2019-06-05T11:43:41","date_gmt":"2019-06-05T11:43:41","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=273"},"modified":"2019-06-05T12:05:13","modified_gmt":"2019-06-05T12:05:13","slug":"exercicios-funcoes-continuas","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/06\/05\/exercicios-funcoes-continuas\/","title":{"rendered":"Exerc\u00edcios: Fun\u00e7\u00f5es cont\u00ednuas"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}$ $\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}$ $\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}$ $\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}$<\/p>\n

1. Considere as seguintes fun\u00e7\u00f5es. Determine para cada fun\u00e7\u00e3o $f$ os pontos do seu dom\u00ednio nos quais $f$ \u00e9 cont\u00ednua.<\/p>\n

    \n
  1. $f:\\R\\rightarrow \\R$, $f(x)=x^k$ onde $k\\in\\N$;<\/li>\n
  2. $f:\\{x\\in \\R\\mid x\\geq 0\\}\\rightarrow \\R$, $f(x)=x^{1\/2}$;<\/li>\n
  3. $f:\\R\\rightarrow \\R$, $f(x)=\\lfloor x\\rfloor$ onde $\\lfloor x \\rfloor$ \u00e9 o maior inteiro que n\u00e3o \u00e9 maior que $x$;<\/li>\n
  4. $f:\\R\\rightarrow \\R$, $f(x)=x-\\lfloor x \\rfloor$;<\/li>\n
  5. $f:]0,1[\\rightarrow \\R$, $f(x)=1\/x$.<\/li>\n<\/ol>\n

    2. Determine quais das fun\u00e7\u00f5es no Exerc\u00edcio 1 s\u00e3o uniformemente cont\u00ednuas. Para cada $f$ que n\u00e3o \u00e9 uniformemente cont\u00ednua, ache um par $(a_n)$, $(b_n)$ de sequ\u00eancias tal que $a_n,\\ b_n$ s\u00e3o elementos do dom\u00ednio de $f$, $a_n-b_n\\rightarrow 0$, mas $f(a_n)-f(b_n)\\not\\rightarrow 0$.<\/p>\n

    3. Seja $f:\\R\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o. Demonstre que as seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o equivalentes:<\/p>\n

      \n
    1. $f$ \u00e9 cont\u00ednua;<\/li>\n
    2. para todo conjunto $X\\subseteq \\R$ aberto, $f^{-1}(X)$ \u00e9 aberto;<\/li>\n
    3. para todo conjunto $X\\subseteq \\R$ fechado, $f^{-1}(X)$ \u00e9 fechado.<\/li>\n<\/ol>\n

      4. Seja $I$ um intervalo e seja $f:I\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o mon\u00f3tona tal que $f(I)$ \u00e9 um intervalo. Demonstre que $f$ \u00e9 cont\u00ednua.<\/p>\n

      5. Seja $f:[0,1]\\rightarrow \\R$ cont\u00ednua tal que $f(0)=f(1)$. Demonstre que existe $x\\in[0,1\/2]$ tal que $f(x)=f(x+1\/2)$.<\/p>\n

      6. Uma fun\u00e7\u00e3o $f:X\\rightarrow\\R$ \u00e9 dita\u00a0lipschitziana<\/i>\u00a0se existe uma constante $k >0$ tal que $|f(x)-f(y)|\\leq k|x-y|$ para todo $x,\\ y\\in X$. Demonstre que uma fun\u00e7\u00e3o lipschitziana \u00e9 uniformemente cont\u00ednua, mas existem fun\u00e7\u00f5es uniformemente cont\u00ednuas que n\u00e3o s\u00e3o lipschitzianas.<\/p>\n

      7. Sejam $f,g:X\\subseteq\\R\\rightarrow\\R$ duas fun\u00e7\u00f5es uniformemente cont\u00ednuas. Demonstre as seguintes afirma\u00e7\u00f5es:<\/p>\n

        \n
      1. $f(x)+g(x)$ \u00e9 uniformemente cont\u00ednua;<\/li>\n
      2. se $f(x)$ e $g(x)$ s\u00e3o limitadas, ent\u00e3o $f(x)g(x)$ \u00e9 uniformemente cont\u00ednua;<\/li>\n
      3. $x\\mapsto\\min\\{f(x),g(x)\\}$ e $x\\mapsto\\max\\{f(x),g(x)\\}$ s\u00e3o uniformemente cont\u00ednuas.<\/li>\n
      4. d\u00ea exemplo para mostrar que a condi\u00e7\u00e3o que $f(x)$ e $g(x)$ s\u00e3o limitadas \u00e9 necess\u00e1ria em item 2.<\/li>\n<\/ol>\n

        Seja $f:[a,\\infty]\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o. Dizemos que $f(x)$ possui limite em $\\infty$ se existir $L\\in\\R$ tal que para todo $\\varepsilon>0$ existe $A\\geq a$ tal que $|f(x)-L|\\leq\\varepsilon$ sempre que $x\\geq A$. Neste caso escreve-se que $\\lim_{x\\rightarrow\\infty} f(x)=L$. O limite de uma fun\u00e7\u00e3o em $-\\infty$ pode ser definida analogamente.<\/p>\n

        8. Seja $f:\\R\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua tal que existem os limites $\\lim_{x\\rightarrow\\infty}f(x)$ e\u00a0$\\lim_{x\\rightarrow-\\infty}f(x)$. Mostre que $f(x)$ \u00e9 uniformemente cont\u00ednua.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        $\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}$ $\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}$ $\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}$ $\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}$ 1. Considere as seguintes fun\u00e7\u00f5es. Determine para cada fun\u00e7\u00e3o $f$ os pontos do seu dom\u00ednio nos quais $f$ \u00e9 cont\u00ednua. $f:\\R\\rightarrow \\R$, $f(x)=x^k$ onde $k\\in\\N$; $f:\\{x\\in \\R\\mid x\\geq 0\\}\\rightarrow \\R$, $f(x)=x^{1\/2}$; $f:\\R\\rightarrow \\R$, $f(x)=\\lfloor x\\rfloor$ onde $\\lfloor x \\rfloor$ \u00e9 o maior inteiro que n\u00e3o \u00e9 maior … Continue reading Exerc\u00edcios: Fun\u00e7\u00f5es cont\u00ednuas<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/273"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=273"}],"version-history":[{"count":4,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/273\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":277,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/273\/revisions\/277"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=273"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=273"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=273"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}