$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}$ $\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}$ $\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}$ $\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}$<\/p>\n
Seja $I$ um invtervalo, assuma que $f:I\\rightarrow \\R$ \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o deriv\u00e1vel em $I$ e seja $a\\in I$. Denote por $f'(x)$ a derivada no ponto $x\\in I$. Se a fun\u00e7\u00e3o $f’:I\\rightarrow \\R$ \u00e9 deriv\u00e1vel em $a$, ent\u00e3o dizemos que $f$ \u00e9\u00a0duas vezes deriv\u00e1vel em $a\\in I$<\/i>. A valor $(f’)'(a)$ ser\u00e1 denotado por $f”(a)$ ou por $f^{(2)}(a)$. Similarmente, se existe $f”(x)$ para todo $x\\in I$ e $f”(x)$ \u00e9 deriv\u00e1vel em $a$, ent\u00e3o definimos $f”'(a)=f^{(3)}(a)=(f”)'(a)$. Assim por adiante, definimos $f^{(n)}=(f^{n-1})'(a)$ se existir. Neste caso dizemos que $f(x)$ \u00e9\u00a0$n$ vezes deriv\u00e1vel no ponto $a$<\/i>. Note que para $f^{(n)}(a)$ existir, n\u00e3o \u00e9 suficiente que $f^{(n-1)}(a)$ exista; precisamos que exista $f^{(n-1)}(x)$ para todo $x$ em uma vizinhan\u00e7a de $a$. Se $f(x)$ \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua, ent\u00e3o frequentamente escrevermos $f^{(0)}(x)=f(x)$.<\/p>\n
Para um intervalo $I$, definimos
\n$$
\nC^n(I)=\\{f:I\\rightarrow\\R\\mid \\mbox{existe $f^{(n)}(x)$ para todo $x\\in I$ e $f^{(n)}(x)$ \u00e9 cont\u00ednua em $I$}\\}$$
\ne
\n$$
\nC^\\infty(I)=\\bigcap_{n\\geq 0} C^{(n)}(I).
\n$$
\nQuando n\u00e3o tiver perigo de confus\u00e3o, escrevemos $C^n$ e $C^\\infty$ em vez de $C^n(I)$ e $C^\\infty(I)$, respetivamente. Se $f\\in C^n$, ent\u00e3o dizemos que\u00a0f \u00e9 de classe $C^n$<\/i>. O s\u00edmbolo $C^0(I)=C^0$ denote a classe de fun\u00e7\u00f5es cont\u00ednuas $f:I\\rightarrow\\R$.<\/p>\n
Seja $f:I\\rightarrow \\R$ tal que $f(x)$ \u00e9 $n$ vezes deriv\u00e1vel em $a\\in I$. O\u00a0polin\u00f4mio de Taylor de ordem $n$ da fun\u00e7\u00e3o $f$ no ponto $a$<\/i>\u00a0\u00e9 o polin\u00f4mio: $$ p(h)=f(a)+\\frac{f'(a)}{1!}h+\\frac{f”(a)}{2!}h^2+\\cdots+\\frac{f^n(a)}{n!}h^n=\\sum_{\u00ec=0}^n\\frac{f^{(i)}}{i!}h^i. $$<\/p>\n
Lemma.<\/b>\u00a0$p(h)$ \u00e9 o \u00fanico polin\u00f4mio de grau menor ou igual a $n$ tal que $p^{(i)}(0)=f^{(i)}(a)$ para todo $i=0,\\ldots,n$.<\/p>\n
Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0Calculemos primeiro a $i$-\u00e9simo deriv\u00e1do de um mon\u00f4mio: $$ (h^k)^{(i)}=\\left\\{ \\begin{array}{ll} k(k-1)\\cdots (k-i+1)h^{(k-i)} & \\mbox {se $i\\leq k$;}\\\\ 0 & \\mbox{se $i> k$}. \\end{array}\\right. $$ Assim, $$ p^{(i)}(0)=i(i-1)\\cdots 1 \\frac{f^{(i)}(a)}{i!}h^{i-i}=f^{(i)}(a) \\quad\\mbox{para todo}\\quad i=0,\\ldots,n. $$ Provaremos agora a unicidade de $p(h)$. Seja $q(h)$ um polin\u00f4mio tal que $q^{(i)}(0)=f^{(i)}(a)$ para todo $i=0,\\ldots,n$. Assuma que $$ q(h)=\\beta_0+\\beta_1 h+\\beta_2 h^2+\\cdots+\\beta_n h^n. $$ Pela formula acima, $$ f^{(i)}(a)=q^{(i)}(0)=i(i-1)\\cdots 1\\beta_i, $$ que implica que $\\beta_i=f^{(i)}(a)\/i!$ para todo $i=0,\\ldots,n$. Portanto os coeficientes de $q(h)$ s\u00e3o iguais aos coeficientes de $p(h)$ e $q(h)=p(h)$.<\/p>\n Precisaremos do seguinte lema.<\/p>\n Lemma.<\/b>\u00a0Seja $J$ um intervalo tal que $0\\in J$ e $r:J\\rightarrow \\R$ uma fun\u00e7\u00e3o $n$ vezes deriv\u00e1vel no ponto $a=0$. Ent\u00e3o as seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o equivalentes.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0Provaremos primeiro por indu\u00e7\u00e3o em $n$ que afirma\u00e7\u00e3o (1) implica (2). Seja $n=1$; usando que $r$ \u00e9 cont\u00ednua, obtemos que $$ 0=r'(0)=\\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{r(h)-r(0)}{h-0}= \\lim_{h\\rightarrow 0}r(h)\/h. $$ Assuma agora que a afirma\u00e7\u00e3o est\u00e1 provada para $n-1$. Para provar a afirma\u00e7\u00e3o para $n$, assuma que $r:J\\rightarrow\\R$ \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o tal que (1) est\u00e1 v\u00e1lida. Aplicando a hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o para $r’:J\\rightarrow\\R$, obtemos que $\\lim_{h\\rightarrow 0}r'(h)\/h^{n-1}=0$. Seja $h\\in J\\setminus\\{0\\}$. Pelo Teor\u00e9ma do Valor M\u00e9dio, existe $c_h\\in[0,h]$ (ou $c_h\\in [h,0]$ se $h$ for negativo), tal que $r'(c_h)=(r(h)-r(0))\/(h-0)=r(h)\/h$. Logo $$ \\frac{r(h)}{h^n}=\\frac{r(h)}h\\frac{1}{h^{n-1}}= \\frac{r'(c_h)}{h^{n-1}}, $$ e portanto $$ \\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{r(h)}{h^n}= \\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{r'(c_h)}{h^{n-1}}= \\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{r'(c_h)}{c_h^{n-1}}\\frac{c_h^{n-1}}{h^{n-1}}= 0 $$ pois $|c_h^{n-1}\/h^{n-1}|\\leq 1$.<\/p>\n Provaremos agora por indu\u00e7\u00e3o em $n$ que afirma\u00e7\u00e3o (2) implica afirma\u00e7\u00e3o (1). Seja $n=1$. Neste caso sabe-se que $\\lim_{h\\rightarrow 0}r(h)=\\lim_{h\\rightarrow 0}hr(h)\/h=0$. Por continuidade, $r(0)=0$. Similarmente, $r'(0)=\\lim_{h\\rightarrow 0}r(h)\/h=0$.<\/p>\n Assuma agora que a afirma\u00e7\u00e3o (2) implica a afirma\u00e7\u00e3o (1) para $n-1$. Seja $r:J\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o $n$ vezes deriv\u00e1vel tal que $\\lim_{h\\rightarrow 0}r(h)\/h^n=0$. Defina $\\varphi:J\\rightarrow\\R$, pela regra $$ \\varphi(x)=r(x)-\\frac{r^{(n)}(0)}{n!}x^n. $$ A fun\u00e7\u00e3o $\\varphi$ \u00e9 $n$ vezes deriv\u00e1vel em $0$. Al\u00e9m disso, verifica-se que $\\varphi^{(i)}(0)=r^{(i)}(0)$ para todo $i=1,\\ldots,n-1$. Al\u00e9m disso Teorema (F\u00f3rmula de Taylor Infinitesimal)<\/b>\u00a0Assuma que $f:I\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o definida em um intervalo $I$ e que $f(x)$ \u00e9 $n$ vezes deriv\u00e1vel em $a\\in I$. Se $h\\in\\R$ tal que $a+h\\in I$, ent\u00e3o Al\u00e9m disso, $p(h)=\\sum_{\u00ec=0}^n \\frac{f^{(i)}(a)}{i!}h^i$ \u00e9 o \u00fanico polin\u00f4mio de grau menor ou igual a $n$ tal que $\\lim_{h\\rightarrow 0}(f(a+h)-p(h))\/h^n=0$.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0Calculemos a $i$-\u00e9sima derivada de $r(h)$ para $i=0,\\ldots,n$: $$ r^{(i)}(0)=f^{(i)}(a+0)-f^{(i)}(a)=0. $$ Logo $\\lim_{h\\rightarrow 0}r(h)\/h^n=0$, como foi afirmado.<\/p>\n A unicidade de $p(h)$: O polin\u00f4mio $p(h)$ satisfaz $p^{(i)}(0)=f^{(i)}(a)$ para todo $i=0,\\ldots,n$. Pelo primeiro lema da p\u00e1gina, $p(h)$ \u00e9 \u00fanico.<\/p>\n Observa\u00e7\u00e3o:<\/b>\u00a0Por substitui\u00e7\u00e3o de vari\u00e1vel $b=a+h$ (e $h=b-a$), a F\u00f3rmula de Taylor \u00e9 frequentamente escrita como $$ f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+\\frac{f”(a)}{2}(b-a)^2+\\cdots+\\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^n+ r(b-a)= $$ $$ \\sum_{\u00ec=0}^n \\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(b-a)^i+r(b-a). $$<\/p>\n Exemplo.<\/b>\u00a0A f\u00f3rmula de Taylor quer dizer que fun\u00e7\u00f5es deriv\u00e1veis podem ser aproximadas por fun\u00e7\u00f5es polinomiais. A condi\u00e7\u00e3o que $\\lim_{h\\rightarrow 0}r(h)\/h^n=0$ significa que “$r(h)$ converge rapidamente a 0 enquanto $h$ converge a $0$”. Considere a fun\u00e7\u00e3o $f(x)=\\sqrt x$ no intervalo $I=]0,\\infty[$ e seja $a=1$. Aproximaremos a fun\u00e7\u00e3o $f(x)$ em uma vizinhan\u00e7a de $a$ por um polin\u00f4mio de grau $2$. Calculemos que $$ f(1)=1,\\quad f'(1)=\\frac 12,\\quad f”(x)=-\\frac 14. $$ Logo a f\u00f3rmula de Taylor diz, para $0<b$, que $$ f(b)=1+\\frac 12(b-1)-\\frac 18(b-1)^2+r(b-1) $$ onde a fun\u00e7\u00e3o $r(h)$ \u00e9 “pequena” para valores $b$ na proximidade de $1$. Portanto na proximidade do ponto $a=1$, a fun\u00e7\u00e3o $f(x)=\\sqrt x$ est\u00e1 pr\u00f3xima \u00e0 fun\u00e7\u00e3o polinomial $p(b)=1+1\/2(b-1)-1\/8(b-1)^2$. De fato, \u00e9 f\u00e1cil verificar por\u00a0WolframAlpha<\/a>\u00a0que as curvas das duas fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o muito pr\u00f3ximas na proximidade do ponto $a=1$. Para experimentar, cole a instru\u00e7\u00e3o\u00a0Plot[{x^(1\/2), 1+1\/2(x-1)-1\/8*(x-1)^2}, {x, 1\/2, 3\/2}]<\/mark>\u00a0no espa\u00e7o em baixo. Vai ver que as curvas das duas fun\u00e7\u00f5es est\u00e3o de fato muito pr\u00f3ximas.<\/p>\nA f\u00f3rmula de Taylor<\/h3>\n
\n
\n\\begin{eqnarray*}
\n\\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{\\varphi(h)}{h^{n-1}}&=& \\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{r(h)}{h^{n-1}}- \\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{r^{(n)}(0)h^{n}}{n!h^{n-1}}\\\\&=& \\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{r(h)}{h^{n-1}}-\\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{r^{(n)}(0)h}{n!}\\\\&=&\\lim_{h\\rightarrow 0}h\\frac{r(h)}{h^{n}}=0.
\n\\end{eqnarray*}
\nObtemos pela hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o que $\\varphi(0)=\\varphi'(0)=\\cdots=\\varphi^{(n-1)}(0)=0$. Pela observa\u00e7\u00e3o acima, isso implica que $r(0)=r'(0)=\\cdots=r^{(n-1)}(0)=0$. Ent\u00e3o s\u00f3 temos de mostrar que $r^{(n)}(0)=0$. Ora, uma conta direta mostra que $$ \\varphi^{(n)}(0)=r^{(n)}(0)-r^{(n)}(0)=0. $$ Portanto, a fun\u00e7\u00e3o $\\varphi(x)$ satisfaz a condi\u00e7\u00e3o (1) do lema, e j\u00e1 provamos que condi\u00e7\u00e3o (1) implica (2). Logo $\\lim_{h\\rightarrow 0}\\varphi(h)\/h^{n}=0$. Portanto
\n\\begin{eqnarray*}
\n0&=&\\lim_{h\\rightarrow 0}\\varphi(h)\/h^n=\\lim_{h\\rightarrow 0} \\frac{r(h)-r^{(n)}(0)h^n\/n!}{h^n}\\\\&=& \\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{r(h)}{h^n}-\\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{r^{(n)}(0)}{n!}=-\\frac{r^{(n)}(0)}{n!}.
\n\\end{eqnarray*}
\nIsso implica que $r^{(n)}(0)=0$ que quer\u00edamos mostrar.<\/p>\n
\n\\begin{eqnarray*}
\nf(a+h)&=&f(a)+f'(a)h+\\frac{f”(a)}{2}h^2+\\cdots+\\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n+ r(h)\\\\&=&\\sum_{\u00ec=0}^n \\frac{f^{(i)}(a)}{i!}h^i+r(h)
\n\\end{eqnarray*}
\nonde $r(h)$ \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o definida em um intervalo $J$ tal que $0\\in J$ e $\\lim_{h\\rightarrow 0}r(h)\/h^n=0$.<\/p>\n