{"id":260,"date":"2019-06-03T11:14:18","date_gmt":"2019-06-03T11:14:18","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=260"},"modified":"2019-06-03T13:58:45","modified_gmt":"2019-06-03T13:58:45","slug":"funcoes-derivaveis-em-um-intervalo","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/06\/03\/funcoes-derivaveis-em-um-intervalo\/","title":{"rendered":"Fun\u00e7\u00f5es deriv\u00e1veis em um intervalo"},"content":{"rendered":"<p>$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\A}{\\mathcal A}\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}$<strong>Teorema (Darboux).\u00a0<\/strong>Assuma que $f:[a,b]\\rightarrow\\R$ \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o deriv\u00e1vel e $d\\in\\R$ tal que $f'(a)&lt;d&lt;f'(b)$. Ent\u00e3o existe $c\\in(a,b)$ tal que $f'(c)=d$.<\/p>\n<p><strong>Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0Assuma primeiro que $d=0$. A fun\u00e7\u00e3o $f$ \u00e9 cont\u00ednua e atinge seu valor m\u00ednimo em um ponto $c\\in[a,b]$. Como $f'(a)&lt;0$ e $f'(b)&gt;0$, temos que $c\\neq a$ e $c\\neq b$. Logo $c\\in(a,b)$. Neste caso um teorema anterior implica que $f'(c)=0$.<\/p>\n<p>Assuma agora que $d\\neq 0$. Neste caso considere a fun\u00e7\u00e3o $g:[a,b]\\rightarrow\\R$, $g(x)=f(x)-dx$. Temos que $g(x)$ \u00e9 deriv\u00e1vel e que $g'(x)=f'(x)-d$, ent\u00e3o $g(x)$ satisfaz, $g'(a)&lt;0&lt;g'(b)$. Pelo argumento no par\u00e1grafo anterior, existe $c\\in (a,b)$ tal que\u00a0 $g'(c)=0$ que implica que $f'(c)=d$.<\/p>\n<p><strong>Teorema (Rolle).\u00a0<\/strong>Seja $f:[a,b]\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua. Se $f(x)$ for deriv\u00e1vel em $(a,b)$ e $f(a)=f(b)$, ent\u00e3o existe $c\\in(a,b)$ tal que $f'(c)=0$.<\/p>\n<p><strong>Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>Por um teorema anterior, $f(x)$ atinge seu m\u00ednimo $m$ e m\u00e1ximo $M$ em $[a,b]$. Um destes pontos precisa ser diferente de $a$ ou $b$, pois no caso contr\u00e1rio $f(x)$ seria constante, e neste caso $f'(c)=0$ vale para todo $c\\in(a,b)$. Se, digamos, $m\\in(a,b)$, ent\u00e3o $f'(c)=0$.<\/p>\n<p><strong>Teorema (Teorema do Valor M\u00e9dio de Lagrange).\u00a0<\/strong>Seja $f:[a,b]\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua e deriv\u00e1vel em $(a,b)$. Existe $c\\in(a,b)$ tal que $f'(c)=(f(a)-f(b))\/(a-b)$.<\/p>\n<p><strong>Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Defina $g:[a,b]\\rightarrow\\R$ pondo $g(x)=f(x)-dx$ onde $d=(f(a)-f(b))\/(a-b)$. Note que $g(a)=g(b)$. Pelo Teorema de Rolle, existe $c\\in(a,b)$ tal que $g'(c)=0$. Logo $f'(c)=d=(f(a)-f(b))\/(a-b)$,<\/p>\n<p><strong>Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Seja $f:I\\rightarrow \\R$ uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua e deriv\u00e1vel para todo ponto interno $a$ de $I$. Se $f'(x)=0$ para todo ponto interno $x\\in I$, ent\u00e3o $f(x)$ \u00e9 constante.<\/p>\n<p><strong>Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>Dados $x,y\\in I$, existe $c\\in(x,y)$ tal que $0=f'(c)=(f(x)-f(y))\/(x-y)$. Portanto $f(x)=f(y)$.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\A}{\\mathcal A}\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}$Teorema (Darboux).\u00a0Assuma que $f:[a,b]\\rightarrow\\R$ \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o deriv\u00e1vel e $d\\in\\R$ tal que $f'(a)&lt;d&lt;f'(b)$. Ent\u00e3o existe $c\\in(a,b)$ tal que $f'(c)=d$. Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0Assuma primeiro que $d=0$. A fun\u00e7\u00e3o $f$ \u00e9 cont\u00ednua e atinge seu valor m\u00ednimo em um ponto $c\\in[a,b]$. Como $f'(a)&lt;0$ e $f'(b)&gt;0$, temos que $c\\neq a$ e $c\\neq b$. 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