{"id":251,"date":"2019-05-31T11:02:47","date_gmt":"2019-05-31T11:02:47","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=251"},"modified":"2019-06-03T13:47:43","modified_gmt":"2019-06-03T13:47:43","slug":"funcoes-derivaveis","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/05\/31\/funcoes-derivaveis\/","title":{"rendered":"Fun\u00e7\u00f5es deriv\u00e1veis"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\A}{\\mathcal A}\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}$Seja $f:X\\subseteq\\R\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o e seja $a\\in X\\cap X’$. Diz-se que $f(x)$ \u00e9 deriv\u00e1vel no ponto $a$ se existe
\n$$
\n\\lim_{x\\rightarrow a}\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{f(a+h)-f(a)}h.
\n$$
\nNeste caso o limite \u00e9 chamado de\u00a0derivado de $f(x)$ no ponto $a$\u00a0<\/em>e \u00e9 denotado por $f'(a)$.\u00a0<\/em>Se $f(x)$ \u00e9 deriv\u00e1vel em todos os pontos $a\\in X$, ent\u00e3o a fun\u00e7\u00e3o $f(x)$ \u00e9 dito deriv\u00e1vel<\/em>. Neste caso, pode-se definir uma nova fun\u00e7\u00e3o $f’:X\\rightarrow\\R$ com a regra $a\\mapsto f'(a)$. A fun\u00e7\u00e3o $f'(x)$ \u00e9 chamada a fun\u00e7\u00e3o derivada<\/em> de $f$.<\/p>\n

Lema.\u00a0<\/strong>Se $f:X\\rightarrow\\R$ \u00e9 deriv\u00e1vel em um ponto $a\\in X\\cap X’$, ent\u00e3o $f$ \u00e9 cont\u00ednua neste ponto.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Assuma que $f(x)$ \u00e9 deriv\u00e1vel no ponto $a$. Isto implica que
\n$$
\n\\lim_{x\\rightarrow a}(f(x)-f(a))=\\lim_{x\\rightarrow a}\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)=f'(a)\\lim_{x\\rightarrow a}(x-a)=0.
\n$$
\nPortanto $\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)=f(a)$ que implica que $f(x)$ \u00e9 cont\u00ednua em $a$.<\/p>\n

Similarmente \u00e0 derivada, pode-se definir as derivadas laterais<\/em> de $f:X\\subseteq\\R\\rightarrow\\R$. Assuma que $a\\in X\\cap X’_+$. Se existir o limite
\n$$
\n\\lim_{x\\rightarrow a+}\\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
\n$$
\nele \u00e9 dito derivada lateral \u00e0 direita<\/em> de $f(x)$ no ponto $a$. A derivada lateral \u00e0 esquerda<\/em> pode ser definida analogamente.<\/p>\n

Teorema.\u00a0<\/strong>Sejam $f,g:X\\subseteq\\R\\rightarrow\\R$ fun\u00e7\u00f5es deriv\u00e1veis no ponto $a\\in X\\cap X’$. As seguintes s\u00e3o v\u00e1lidas<\/p>\n

    \n
  1. $f(x)+g(x)$ \u00e9 deriv\u00e1vel no ponto $a$ e $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$.<\/li>\n
  2. $\\alpha f(x)$ \u00e9 deriv\u00e1vel no ponto $a$ e $(\\alpha f)'(a)=\\alpha f'(a)$.<\/li>\n
  3. $f(x)g(x)$ \u00e9 deriv\u00e1vel no ponto $a$ e $(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$.<\/li>\n
  4. Se $g(x)\\neq 0$ para todo $x\\in X$, ent\u00e3o $1\/g(x)$ \u00e9 deriv\u00e1vel no ponto $a$ e $(1\/g)'(a)=-g'(a)\/g(a)^2$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Demonstraremos apenas a afirma\u00e7\u00e3o 3. Considere
    \n\\begin{eqnarray*}
    \n\\lim_{x\\rightarrow a}\\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}&=&\\lim_{x\\rightarrow a}\\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}\\\\&=&\\lim_{x\\rightarrow a}\\frac{f(x)g(x)-f(a)g(x)+f(a)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}\\\\&=&\\lim_{x\\rightarrow a}\\frac{g(x)(f(x)-f(a))+f(a)(g(x)-g(a))}{x-a}\\\\&=&\\lim_{x\\rightarrow a}\\frac{g(x)(f(x)-f(a))}{x-1}+\\lim_{x\\rightarrow a}\\frac{f(a)(g(x)-g(a))}{x-a}\\\\&=&g(a)f'(a)+f(a)g'(a).
    \n\\end{eqnarray*}<\/p>\n

    Teorema.\u00a0<\/strong>Sejam $f:X\\rightarrow Y$ e $g:Y\\rightarrow\\R$ fun\u00e7\u00f5es e assuma que $a\\in X\\cap X’$ e $b=f(a)\\in Y\\cap Y’$. Se $f$ \u00e9 deriv\u00e1vel no ponto $a$ e $g$\u00a0 \u00e9 deriv\u00e1vel no ponto $b$, ent\u00e3o $g\\circ f$ \u00e9 deriv\u00e1vel no ponto $a$ e $(g\\circ f)'(a)=g'(f(a))\\cdot f'(a)$.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Seja $(x_n)$ uma sequ\u00eancia com $x_n\\in X\\setminus\\{a\\}$ e $x_n\\rightarrow a$. Ponha $y_n=f(x_n)$. Sejam
    \n$$
    \nN_1=\\{n\\in\\N^+\\mid f(x_n)\\neq f(a)\\}
    \n$$
    \ne
    \n$$
    \nN_2=\\{n\\in\\N^+\\mid f(x_n)=f(a)\\}.
    \n$$
    \nSe $n\\in N_1$, ent\u00e3o
    \n$$
    \n\\frac{g(f(x_n))-g(f(a))}{x_n-a}=\\frac{g(y_n)-g(b)}{y_n-b}\\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}.
    \n$$
    \nPortanto, se $N_1$ \u00e9 infinito, ent\u00e3o
    \n$$
    \n\\lim_{n\\in N_1,n\\rightarrow\\infty}\\frac{g(f(x_n))-g(f(a))}{x_n-a}=g'(b)f'(a).
    \n$$
    \nSimilarmente, se $N_2$ \u00e9 infinito, ent\u00e3o $f'(a)=0$, e
    \n$$
    \n\\lim_{n\\in N_2,n\\rightarrow\\infty}\u00a0\\frac{g(f(x_n))-g(f(a))}{x_n-a}=0=g'(f(a))f'(a)
    \n$$
    \nPortanto, em qualquer hip\u00f3tese vale que
    \n$$
    \n\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{g(f(x_n))-g(f(a))}{x-a}=g'(b)f'(a).
    \n$$.
    \nComo a sequ\u00eancia $(x_n)$ foi escolhido arbitrariamente,
    \n$$
    \n\\lim_{x\\rightarrow a}\\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}=g'(b)f'(a).
    \n$$<\/p>\n

    Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Seja $f:X\\rightarrow Y$ uma bije\u00e7\u00e3o com inversa $g:Y\\rightarrow X$. Assuma que $f(x)$ \u00e9 deriv\u00e1vel em $a\\in X\\cap X’$ e $g(y)$ \u00e9 cont\u00ednua em $b=f(a)$. Ent\u00e3o $g$ \u00e9 deriv\u00e1vel no ponto $b$ se e somente se $f'(a)\\neq 0$. Neste caso $g'(b)=1\/f'(a)$.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>Verifiquemos primeiro que $b\\in Y\\cap Y’$. Claramente, $f(a)=b\\in Y$. Como $x\\in X’$, existe uma sequ\u00eancia $(x_n)$ tal que $x_n\\in X\\setminus\\{a\\}$ e $x_n\\rightarrow a$. Como $f$ \u00e9 injetiva e cont\u00ednua no ponto $a$, temos que $f(x_n)\\neq f(a)=b$ e que $f(x_n)\\rightarrow b$. Portanto $b\\in Y’$.<\/p>\n

    Assuma que $g$ \u00e9 deriv\u00e1vel no ponto $b$. Neste caso $g\\circ f=\\mbox{id}_X$, e ent\u00e3o $(g\\circ f)'(a)=1$. Por outro lado, a regra da cadeia nos fornece,
    \n$$
    \n1=(g\\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a).
    \n$$
    \nPortanto, $g'(b)=g'(f(a))=1\/f'(a)$.
    \nReciprocamente, assuma que $f'(a)\\neq 0$. Seja $y_n\\in Y\\setminus\\{b\\}$ uma sequ\u00eancia de pontos tal que\u00a0 $y_n\\rightarrow b$. Como $g$ \u00e9 cont\u00ednua em $b$, obtemos que $x_n\\rightarrow g(b)=a$ onde $x_n=g(y_n)$. Portanto,
    \n\\begin{eqnarray*}
    \n\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{g(y_n)-g(b)}{y_n-b}&=&\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(\\frac{y_n-b}{g(y_n)-g(b)}\\right)^{-1}\\\\&=&
    \n\\left(\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{y_n-b}{g(y_n)-g(b)}\\right)^{-1}\\\\&=&
    \n\\left(\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}\\right)^{-1}=1\/f'(a).
    \n\\end{eqnarray*}
    \nLogo existe $g'(b)$ e \u00e9 igual a $1\/f'(a)$.<\/p>\n

    Teorema.<\/strong> Seja $f:X\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o deriv\u00e1vel no ponto $a\\in X\\cap X’_+$ com $f’_+(a)>0$. Ent\u00e3o existe $\\delta>0$ tal que se $x\\in(a,a+\\delta)$, ent\u00e3o $f(a)<f(x)$.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0Temos
    \n$$
    \n\\lim_{x\\rightarrow a+}\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f’_+(a)>0.
    \n$$
    \nUsando a defini\u00e7\u00e3o de limite com $\\varepsilon =f’_+(a)\/2$, obtemos que existe $\\delta>0$ tal que $(f(x)-f(a))(x-a)>0$ se $x\\in(a,a+\\delta)$. Se $x$ \u00e9 tal n\u00famero real, ent\u00e3o $x-a>0$ e segue que $f(x)-f(a)>0$; ou seja $f(x)>f(a)$.<\/p>\n

    Pode-se demonstrar analogamente o seguinte teorema.<\/p>\n

    Teorema.<\/strong> Seja $f:X\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o deriv\u00e1vel no ponto $a\\in X\\cap X’_-$ com$ f’_-(a)>0$. Ent\u00e3o existe $\\delta>0$ tal que se $x\\in(a-\\delta,a)$, ent\u00e3o $f(x)<f(a)$.<\/p>\n

    Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Se $f:X\\rightarrow\\R$ \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o mon\u00f3tona e n\u00e3o crescente [n\u00e3o decrescente], ent\u00e3o\u00a0\u00a0as suas derivadas laterais (onde existem) s\u00e3o n\u00e3o positivos [n\u00e3o negativos].<\/p>\n

    Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Seja $f:X\\rightarrow\\R$ e $a\\in X\\cap X’_+\\cap X’_-$. Se $f'(a)>0$, ent\u00e3o existe $\\delta>0$ tal que tal que se $a-\\delta<x<a<y<a+\\delta$, ent\u00e3o $f(x)< f(a)<f(y)$.<\/p>\n

    Corol\u00e1rio.<\/strong>\u00a0\u00a0<\/strong>Seja $f:X\\rightarrow\\R$ e $a\\in X\\cap X’_+\\cap X’_-$ tal que $f(x)$ \u00e9 deriv\u00e1vel em $a$.\u00a0 Se $f(x)$ possui um m\u00e1ximo (ou m\u00ednimo) local em $a$, ent\u00e3o $f'(a)=0$.<\/p>\n

     <\/p>\n

     <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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