{"id":241,"date":"2019-05-29T12:16:37","date_gmt":"2019-05-29T12:16:37","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=241"},"modified":"2019-05-31T13:48:48","modified_gmt":"2019-05-31T13:48:48","slug":"funcoes-continuas-sobre-conjuntos-compactos-e-funcoes-uniformemente-continuas","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/05\/29\/funcoes-continuas-sobre-conjuntos-compactos-e-funcoes-uniformemente-continuas\/","title":{"rendered":"Fun\u00e7\u00f5es cont\u00ednuas sobre conjuntos compactos e fun\u00e7\u00f5es uniformemente cont\u00ednuas"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\A}{\\mathcal A}\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}$
\nLema.<\/strong>Seja $X\\subseteq\\R$ um conjunto compacto e seja $f:X\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua. Ent\u00e3o $f(X)$ \u00e9 compacto.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Seja $(y_n)$ uma sequ\u00eancia em $f(X)$. Ent\u00e3o existe uma sequ\u00eancia $(x_n)$ em $X$ tal que $y_n=f(x_n)$.\u00a0 Como $X$ \u00e9 compacto, $(x_n)$ possui uma subsequ\u00eancia $(x_{k_n})$ convergente. tal que $x_{k_n}\\rightarrow a$ com $a\\in X$. Como $f(x)$ \u00e9 cont\u00ednua, $y_{k_n}=f(x_{k_n})\\rightarrow f(a)$. Acabamos de demonstrar que toda sequ\u00eancia $(y_n)$ de termos em $f(X)$ possui uma subsequ\u00eancia convergente com limite em $f(X)$. Portanto $f(X)$ \u00e9 compacto.<\/p>\n

Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Sejam $X$ \u00e9 um conjunto compacto e $f:X\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua. Ent\u00e3o $\\inf f(X)$ e $\\sup f(X)$ pertencem a $f(X)$. Portante existem $a,b\\in X$ tal que $f(a)\\leq f(x)\\leq f(b)$ vale para todo $x\\in X$.<\/p>\n

Teorema.\u00a0<\/strong>Seja $X$ um\u00a0conjunto compacto e $f:X\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua e injetiva. Ent\u00e3o $f^{-1}:f(X)\\rightarrow X$ \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Seja $Y=f(X)$, e seja $g:Y\\rightarrow X$ a inversa de $f$. Assuma que $b\\in Y$. Assuma que $(y_n)$ \u00e9 uma sequ\u00eancia de termos em $Y$ tal que $y_n\\rightarrow b$. Defina $x_n=g(y_n)$. Ent\u00e3o $(x_n)$ \u00e9 uma sequ\u00eancia de termos em $X$. Como a sequ\u00eancia $x_n$ \u00e9 limitada, \u00e9 suficiente provar que $a=g(b)$ \u00e9 o \u00fanico valor de ader\u00eancia de $(x_n)$. Assuma que $(x_{k_n})$ \u00e9 uma subsequ\u00eancia de $(x_n)$ tal que $x_{k_n}\\rightarrow a’$. Como $X$ \u00e9 compacto, $a’\\in X$.\u00a0 Dado que $f(x)$ \u00e9 cont\u00ednua,\u00a0 $$
\nf(a’)=\\lim_{n\\rightarrow\\infty}f(x_{k_n})=\\lim_{n\\rightarrow\\infty}y_{k_n}=b=f(a).
\n$$
\nIsto implica que $f(a’)=f(a)$. Como $f$ \u00e9 cont\u00ednua, obtemos que $a’=a$.<\/p>\n

Exemplo.\u00a0<\/strong>Seja $f:[0,1]\\cup (2,3]\\rightarrow [0,1]\\cup(1,2]$ a fun\u00e7\u00e3o definida por
\n$$
\nf(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}
\nx & \\mbox{se $x \\in [0,1]$}\\\\
\nx-1 & \\mbox{se $x\\in (2,3]$}.\\end{array}\\right.
\n$$
\nEnt\u00e3o $f$ \u00e9 cont\u00ednua, mas $f^{-1}$ n\u00e3o \u00e9.<\/p>\n

Uma fun\u00e7\u00e3o $f:X\\subseteq\\R\\rightarrow\\R$ \u00e9 dita uniformemente cont\u00ednua se para todo $\\varepsilon>0$ existe $\\delta>0$ tal que $|x-y|\\leq \\delta$ implica que $|f(x)-f(y)|\\leq \\varepsilon$ para todo $x,y\\in X$.<\/p>\n

Exemplo.\u00a0<\/strong>Seja $f:[a,b]\\rightarrow\\R$, $f(x)=x^2$. Seja $\\varepsilon>0$. Assuma que $M>0$ \u00e9 um real tal que $[a,b]\\subseteq [-M,M]$ e seja $\\delta\\leq\\varepsilon\/(2M)$. Sejam $x,y\\in[a,b]$ tal que $|x-y|\\leq\\delta$.\u00a0 Ent\u00e3o
\n$$
\n|f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=|x-y||x+y|\\leq 2M|x-y|\\leq 2M\\delta\\leq\\varepsilon.
\n$$<\/p>\n

Exemplo.\u00a0<\/strong>Seja $f:\\R\\rightarrow\\R$, $f(x)=x^2$. Assuma que $\\varepsilon=1$. Seja $\\delta>0$ arbitr\u00e1rio e assuma $n\\in \\N^+$ tal que $n>1\/(2\\delta)$. Pondo $x=n$ e $y=n+\\delta$, calculemos que
\n$$
\n|f(x)-f(y)|=(n+\\delta)^2-n^2=2n\\delta+\\delta^2>2n\\delta>1.
\n$$
\nLogo esta fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 uniformemente cont\u00ednua.<\/p>\n

Exemplo.\u00a0<\/strong>Seja $f:(0,1]\\rightarrow\\R$, $f(x)=1\/n$. Seja $\\varepsilon=1\/2$. Assuma que $\\delta>0$ arbitr\u00e1rio e seja $n\\in \\N^+$ tal que $1\/n-1\/(n+1)\\leq\\delta$. Pondo $x=1\/n$ e $y=1\/(n+1)$, obtemos que
\n$$
\n|f(x)-f(y)|=1>\\varepsilon.
\n$$
\nPortanto esta fun\u00e7\u00e3o tamb\u00e9m n\u00e3o \u00e9 uniformemente cont\u00ednua.<\/p>\n

Teorema.\u00a0<\/strong>Seja $f:X\\subseteq\\R\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o. As seguintes s\u00e3o equivalentes:<\/p>\n

    \n
  1. $f(x)$ \u00e9 uniformemente cont\u00ednua em $X$;<\/li>\n
  2. se $(x_n)$ \u00b4e $(y_n)$ s\u00e3o sequ\u00eancias em termos em $X$ tais que $(x_n-y_n)\\rightarrow 0$, ent\u00e3o $(f(x_n)-f(y_n))\\rightarrow 0$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>1.$\\Rightarrow$2. Assuma que $f(x)$ \u00e9 uniformemente cont\u00ednua e que $(x_n)$ e $(y_n)$ s\u00e3o sequ\u00eancias de termos em $X$ tais que $(x_n-y_n)\\rightarrow 0$. Seja $\\varepsilon>0$. Existe $\\delta>0$ tal que $|x-y|\\leq\\delta$ implica $|f(x)-f(y)|\\leq\\varepsilon$. Existe ainda $n\\in \\N^+$ tal que se $n\\geq N$, ent\u00e3o $|x_n-y_n|\\leq\\delta$. Isto quer dizer que se $n\\geq N$, ent\u00e3o\u00a0\u00a0$|x_n-y_n|\\leq\\delta$, e consequentemente $|f(x_n)-f(y_n)|\\leq\\varepsilon$. Logo $(f(x_n)-f(y_n))\\rightarrow 0$.<\/p>\n

    2.$\\Rightarrow$1. Assuma que vale a afirma\u00e7\u00e3o 2. Assuma ainda que $f(x)$ n\u00e3o \u00e9 uniformemente cont\u00ednua em $X$. Existe $\\varepsilon>0$ tal que para todo $\\delta>0$ existem $x,y\\in X$ com $|x-y|\\leq\\delta$, mas $|f(x)-f(y)|>\\varepsilon$. Seja $n\\in\\N^+$ e ponha $\\delta=1\/n$. Ent\u00e3o existem $x_n,y_n$ tal que $|x_n-y_n|\\leq \\delta$ mas $|f(x_n)-f(y_n)|>\\varepsilon$. Consideranto $(x_n)$ e $(y_n)$ como sequ\u00eancias, elas n\u00e3o satisfazem a afirma\u00e7\u00e3o 2,, que \u00e9 uma contradi\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

    Teorema.\u00a0<\/strong>Se $X$ \u00e9 um conjunto compacto e $f:X\\rightarrow\\R$ \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o\u00a0 cont\u00ednua, ent\u00e3o $f$ \u00e9 uniformemente cont\u00ednua em $X$.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Assuma que $f(x)$ n\u00e3o \u00e9 uniformemente cont\u00ednua. Seja $\\varepsilon>0$ um n\u00famero real que n\u00e3o satisfaz a defini\u00e7\u00e3o de continuidade uniforme. Seja $n\\in\\N^+$. Existem $x_n,y_n\\in X$ tal que $|x_n-y_n|\\leq 1\/n$ mas $|f(x_n)-f(y_n)|>\\varepsilon$. Ent\u00e3o $(x_n-y_n)\\rightarrow 0.$ Como $X$ \u00e9 compacto, existe uma subsequ\u00eancia $(x_{k_n})$ convergente com limite $a\\in X$. Como $(x_{k_n}-y_{k_n})\\rightarrow 0$, obtemos que $y_{k_n}\\rightarrow a$. Logo
    \n$$
    \nf(x_{k_n})-f(y_{k_n})\\rightarrow f(a)-f(a)=0
    \n$$
    \nque contradiz ao fato que $|f(x_{k_n})-f(y_{k_n})|>\\varepsilon$.<\/p>\n

    Teorema.<\/strong> Se $X$ \u00e9 compacto e $f:X\\rightarrow\\R$ \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o uniformemente cont\u00ednua, ent\u00e3o existe $\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)$ para todo $a\\in X’$.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Seja $a\\in X’$ e seja $(x_n)$ uma sequ\u00eancia de termos em $X$ tal que $x_n\\rightarrow a$. Seja $\\varepsilon>0$. Existe $\\delta>0$ tal que $|x-y|\\leq\\delta$ implica que $|f(x)-f(y)|\\leq \\varepsilon$ para todo $x,y\\in X$. Existe tamb\u00e9m $N\\in \\N^+$ tal que $|x_n-x_m|\\leq\\delta$ se $n,m\\geq N$. Assuma que $n\\geq N$. Ent\u00e3o $|x_n-x_m|\\leq\\delta$ se $n,m\\geq N$ e portanto $|f(x_n)-f(y_n)|\\leq \\varepsilon$. Isto implica que $f(x_n)$ \u00e9 uma sequ\u00eancia de Cauchy que \u00e9 convergente. Portanto existe $\\lim_{x\\rightarrow a}f(x_n)$.<\/p>\n

    Se $f:X\\rightarrow\\R$ \u00e9 como no teorema anterior, ent\u00e3o pode-se definir $\\bar f:\\overline X\\rightarrow\\R$ como $\\bar f(x)=f(x)$ se $x\\in X$ e $\\bar f(x)=\\lim_{y\\rightarrow x}f(y)$ se $x\\not\\in X$. A fun\u00e7\u00e3o $\\bar f$ \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua tal que $\\bar f|_X=f$. Ou seja, fun\u00e7\u00f5es uniformemente cont\u00ednuas podem ser extendidas ao fecho do seu dom\u00ednio.<\/p>\n

    Teorema.\u00a0<\/strong>Se $f:X\\subseteq\\R\\rightarrow \\R$ \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o uniformemente cont\u00ednua e $X$ \u00e9 um conjunto limitado, ent\u00e3o $f(X)$ \u00e9 limitado.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0Defina $\\bar f:\\overline X\\rightarrow\\R$ como no par\u00e1grafo anterior. Ent\u00e3o $\\overline X$ \u00e9 limitado e fechado; ou seja, $\\overline X$ \u00e9 compacto. Por um teorema anterior, $\\bar f(\\overline X)$ \u00e9 compacto, e assim ele \u00e9 limitado. Portanto $f(X)$ \u00e9 tamb\u00e9m limitado.<\/p>\n

     <\/p>\n

     <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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