{"id":225,"date":"2019-05-20T11:34:47","date_gmt":"2019-05-20T11:34:47","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=225"},"modified":"2019-05-20T12:14:57","modified_gmt":"2019-05-20T12:14:57","slug":"funcoes-continuas","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/05\/20\/funcoes-continuas\/","title":{"rendered":"Fun\u00e7\u00f5es cont\u00ednuas"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\A}{\\mathcal A}$Seja $X\\subseteq\\R$ um conjunto, $f:X\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o, e $a\\in X$. Dizemos que a fun\u00e7\u00e3o $f$ \u00e9 cont\u00ednua no ponto $a$<\/em>\u00a0 se para todo $\\varepsilon>0$ existe $\\delta>0$ tal que $|f(x)-f(a)|\\leq\\varepsilon$ sempre que $|x-a|\\leq\\delta$.<\/p>\n

Uma fun\u00e7\u00e3o $f:X\\subseteq\\R\\rightarrow\\R$ \u00e9 dito cont\u00ednua<\/em> (em $X$) se $f(x)$ for cont\u00ednua no ponto $a$ para todo $a\\in X$.<\/p>\n

Lema.<\/strong> Seja $f:X\\subseteq\\R\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o e $a\\in X\\cap X’$. As seguintes s\u00e3o equivalentes.<\/p>\n

    \n
  1. $f(x)$ \u00e9 cont\u00ednua em $a$;<\/li>\n
  2. existe o $\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)$ e \u00e9 igual a $f(a)$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Lema. <\/strong>Se $f$ \u00e9 cont\u00ednua no ponto $a$, ent\u00e3o existem $A>0$ e $\\delta>0$ tal que $|f(x)|\\leq A$ para todo $x\\in X\\cap (a-\\delta,a+\\delta)$.<\/p>\n

    Lema. <\/strong>Sejam $f,g,h:X\\rightarrow\\R$ e $a\\in X$ tais que $f(x)\\leq g(x)\\leq h(x)$ para todo $x\\in X$. Assuma que $f(x)$ e $h(x)$ s\u00e3o cont\u00ednuas no ponto $a$ e que $f(a)=h(a)$.\u00a0 Ent\u00e3o $g(x)$ \u00e9\u00a0 cont\u00ednua em $a$.<\/p>\n

    Lema.<\/strong> Sejam $f,g:X\\rightarrow\\R$ e $a\\in X$ tais que $f(x)$ e $g(x)$ s\u00e3o cont\u00ednuas em $a$ e $f(a)<g(a)$. Ent\u00e3o existe $\\delta>0$ tal que $f(x)< g(x)$ para todo $x\\in X\\cap(a-\\delta,a+\\delta)$.<\/p>\n

    Corol\u00e1rio. <\/strong>Seja $f:X\\rightarrow\\R$ e $a\\in X$. Se $f(x)$ \u00e9 cont\u00ednua em $a$ e $f(a)>0$, ent\u00e3o existe $\\delta>0$ tal que $f(x)> 0$ para todo $x\\in X\\cap(a-\\delta,a+\\delta)$.<\/p>\n

    Corol\u00e1rio. <\/strong>Sejam $X\\subseteq\\R$, $a\\in X$, e $f,g:X\\rightarrow\\R$ tais que $f(x)\\leq g(x)$ para todo $x\\in X$ e assuma ainda que $f(x)$ e $g(x)$ s\u00e3o cont\u00ednuas em $a$. Tem-se que $f(a)\\leq g(a)$.<\/p>\n

    Teorema. <\/strong>Sejam $X\\subseteq\\R$, $a\\in X$ e $f:X\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o. As seguintes s\u00e3o equivalentes.<\/p>\n

      \n
    1. $f(x)$ \u00e9 cont\u00ednua em $a$;<\/li>\n
    2. se $(x_n)$ \u00e9 uma sequ\u00eancia tal que $x_n\\in X$ e $x_n\\rightarrow a$ ent\u00e3o $f(x_n)\\rightarrow f(a)$;<\/li>\n
    3. se $(x_n)$ \u00e9 uma sequ\u00eancia tal que $x_n\\in X$ e $x_n\\rightarrow a$ ent\u00e3o $f(x_n)$ \u00e9 convergente.<\/li>\n<\/ol>\n

      Teorema. <\/strong>Sejam $f,g:X\\subseteq\\R\\rightarrow\\R$ fun\u00e7\u00f5es, $a\\in X$. Assuma que $f(x)$ e $g(x)$ s\u00e3o cont\u00ednuas em $a$. Ent\u00e3o as fun\u00e7\u00f5es $f(x)+g(x)$, $f(x)g(x)$, $\\alpha f(x)$ (com $\\alpha\\in\\R$) s\u00e3o cont\u00ednuas em $a$. Se $g(x)\\neq 0$ para $x\\in X$, ent\u00e3o $f(x)\/g(x)$ \u00e9 cont\u00ednua em $a$.<\/p>\n

      Teorema. <\/strong>Sejam $X,Y\\subseteq\\R$, $f:X\\rightarrow Y$, $g:Y\\rightarrow\\R$ fun\u00e7\u00f5es, $a\\in X$, $b\\in Y$ e assuma que $f(x)$ \u00e9 cont\u00ednua em $a$ e que $g(x)$ \u00e9 cont\u00ednua em $b=f(a)$. Ent\u00e3o $g\\circ f$ \u00e9 cont\u00ednua em $a$.<\/p>\n

       <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      $\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\A}{\\mathcal A}$Seja $X\\subseteq\\R$ um conjunto, $f:X\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o, e $a\\in X$. Dizemos que a fun\u00e7\u00e3o $f$ \u00e9 cont\u00ednua no ponto $a$\u00a0 se para todo $\\varepsilon>0$ existe $\\delta>0$ tal que $|f(x)-f(a)|\\leq\\varepsilon$ sempre que $|x-a|\\leq\\delta$. Uma fun\u00e7\u00e3o $f:X\\subseteq\\R\\rightarrow\\R$ \u00e9 dito cont\u00ednua (em $X$) se $f(x)$ for cont\u00ednua no ponto $a$ para todo $a\\in X$. … Continue reading Fun\u00e7\u00f5es cont\u00ednuas<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/225"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=225"}],"version-history":[{"count":4,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/225\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":229,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/225\/revisions\/229"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=225"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=225"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=225"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}